专题03 运动的合成与分解、恒力作用下的曲线运动（培优讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习高效培优系列

该高中物理高考复习讲义聚焦运动的合成与分解、恒力作用下的曲线运动核心考点，按考情精析、重难考点深解（含运动合成与分解、平抛斜抛、类平抛类斜抛）、解题思维优化（典例精析+方法提炼+变式巩固）逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建“化曲为直”分析框架，突破关联速度、临界极值等难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如小船渡河模型分情况突破最短时间与位移问题，平抛运动结合频闪实验培养科学探究能力。设置基础到综合分层变式题，配合功能关系综合题训练，助力学生高效提升矢量运算与实际问题转化能力，为教师把控复习节奏提供系统教学支持。

专题03 运动的合成与分解、恒力作用下的曲线运动 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】运动的合成与分解 【考点02】平抛与斜抛 【考点03】类平抛与类斜抛 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】关联速度 【题型02】运动的合成与分解 【题型03】平抛与斜抛 【题型04】类平抛 【题型05】类斜抛 【题型06】相关实验 核心考向聚焦 主战场转移：关联速度常与功能进行综合，平抛与斜抛常与体育运动进行综合，类平抛、类斜抛常常出现在匀强电场中。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决恒力作用下的曲线运动问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：矢量运算能力，化曲为直的能力，匀变速直线运动与牛顿定律进行综合的能力。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不能很快找到解决方法：对运动过程的受力特点（恒力）认识不足，导致想不到该如何处理（运动的合成与分解）。不能很快找到表达式：恒力作用的曲线运动问题中，对各个分运动之间的关系理解不深，列不出方程。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，恒力作用下的曲线运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化化曲为直等高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 运动的合成与分解 一、曲线运动的条件和特征 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： 4．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间． 5．速率变化的判断 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 2．运动性质的判断 加速度(或合外力) 三、小船渡河模型 渡河 时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ ◇考点 02 平抛与斜抛 一、平抛运动的规律及应用 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy. 5．两个推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α . 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 三、探究平抛运动的特点 1．实验思路 用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度． 2．实验器材 末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等． 3．实验过程 (1)安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否竖直． (2)安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否水平，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能静止在直轨道上的任意位置，则表明斜槽末端已调水平，如图． (3)描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹． (4)确定坐标原点及坐标轴：选定斜槽末端处小球球心在白纸上的投影的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴． 4．数据处理 (1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 (2)计算平抛物体的初速度 5．注意事项 (1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了． (2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等． (3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点． ◇考点 03 类平抛与类斜抛 一、带电粒子在匀强电场中的偏转 1．带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝. ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝. ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝. 2．两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． ◇题型 01 关联速度 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏省盐城市建湖县第二中学·三模）如图所示，半径为R的竖直圆环在电动机作用下，可绕水平轴O转动，圆环边缘固定一只质量为m的连接器。轻杆通过轻质铰链将连接器与活塞连接在一起，活塞质量为M，与固定竖直管壁间摩擦不计。当圆环逆时针匀速转动时，连接器动量的大小为p，活塞在竖直方向上运动。从连接器转动到与O等高位置A开始计时，经过一段时间连接器转到最低点B，此过程中，活塞发生的位移为x，重力加速度取g。求连接器： （1）所受到的合力大小F； （2）转到动量变化最大时所需的时间t； （3）从A转到B过程中，轻杆对活塞所做的功W。 典例2（2025·河北省秦皇岛市·二模）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置与水平方向夹角为37°，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为5L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，、，运动中细绳始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 细绳对甲的拉力先做正功后做负功 B. 甲运动B点的加速度为0.8g C. 甲静止时拉力大小为1.4mg D. 甲运动B点的速度大小为 方｜法｜提｜练 要依据运动的实际效果分解速度。 将实际速度沿绳（或杆）与垂直于绳（或杆）进行分解。 常与功能关系或者能量守恒进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图，两根轻杆与质量为M的球甲通过轻质铰链连接。轻杆长度都为L，C、D为两个完全相同的物块，质量都为m，开始时，两轻杆处在竖直方向，C、D恰好与杆接触，C、D都静止在水平地面上。某时刻受扰动，两杆推动C、D物体分别向左右运动，当为时，杆与物体仍未分离。甲、C、D在同一竖直平面内运动，忽略一切摩擦，重力加速度为g，在甲球从静止开始运动到落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 当为时， B. 当为时， C. 当为时， D. 左杆末端与物体C一定会在甲落地前分离 变式2（2025·宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学·二模）（多选）如图所示，半径为R的光滑大圆环用一细杆固定在竖直平面内，质量为m的小球A套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质量为m的滑块B连接，并一起套在杆上，小球A和滑块B之间用长为的轻杆分别通过铰链连接，当小球A位于圆环最高点时、弹簧处于原长；此时给A一个微小扰动（初速度视为0），使小球A沿环顺时针滑下，当杆与大圆环相切时小球A的速度为（g为重力加速度）。不计一切摩擦，A、B均可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A. 小球A、滑块B和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒 B. 当杆与大圆环相切时B的速度为 C. 小球A从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中滑块B的重力势能减小 D. 小球A从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中弹簧的弹性势能增加了 变式3（2025·安徽省·一模）如图所示，细绳一端固定在天花板上，另一端跨过一光滑动滑轮和两固定在天花板上的光滑定滑轮，动滑轮下端挂有一重物。某人抓住绳的一端，从右侧定滑轮正下方A点以的速度匀速移动到B点，此时细绳与水平方向的夹角为。已知重物质量为，右侧定滑轮与A点的竖直高度，重力加速度，，不考虑滑轮的大小和质量，下列说法正确的是（　　） A. 重物匀速上升 B. 人到达B点时，重物重力的功率大小为200W C. 整个过程人对重物做功为100J D. 人行走时，对地面的摩擦力方向水平向右 ◇题型 02 运动的合成与分解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·福建省莆田市·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A. 图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B. 图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C. 图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D. 图甲和图乙中小船均做曲线运动 典例2（2025年甘肃卷第4题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A. B. C. D. 方｜法｜提｜练 求时间，可以利用合运动，也可以利用分运动。 有方向的规律，可以分方向使用。 注意各分运动的独立性。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是（　　） A B. C. D. 变式2（2025·辽宁省名校联盟·三模）如图所示，是在哈尔滨举行的第九届亚冬会跳台滑雪赛道的简化图。可视为质点的运动员在t=0时刻从M点由静止自由滑下，经过水平滑道NP段后飞出，落在斜坡上的Q点。若不计运动员经过N点的动能损失，忽略其运动过程中受到的阻力。用vx、vy、v、a分别表示该过程中运动员水平方向的速度大小、竖直方向的速度大小、实际运动的速度大小、加速度大小，t表示其运动的时间，下列图像中正确的是（　　） A. B. C. D. 变式3（2025年安徽卷第6题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A. B. C. D. ◇题型 03 平抛与斜抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025年河北卷第14题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 （1）求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 （2）若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 典例2（2022年山东卷第11题）（多选）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A. B. C. D. 方｜法｜提｜练 平抛与斜抛问题，必然要考查运动的合成与分解，一般采用水平、竖直分解的方法。 涉及斜面的平抛，有时候沿斜面、垂直于斜面分解更好。 碰到三维的问题，要多角度改画为平面图。 经常与其它过程、功能、动量进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A. B C. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，光滑水平面上有一个固定台，固定台上有一半径为的光滑圆弧轨道。固定台右边有一个顶部为光滑圆弧轨道且底面光滑的滑块，滑块与固定台的距离为，滑块质量为，其上圆弧轨道两端等高，且左端处半径与水平方向的夹角为。现让一个质量为的光滑小球从固定台圆弧轨道顶端上方某高度处由静止释放，它沿切线进入圆弧轨道，从点抛出后，又恰好沿切线从点进入滑块顶部的圆弧轨道。小球最终从点离开滑块。重力加速度取为。求： （1）小球到达点时的速度大小 （2）释放点到圆弧轨道顶端的距离 （3）小球从点离开滑块后能上升的最大高度及上升到最高点所用的时间 变式3（2023年河北卷第8题）如图，质量为的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成角．质量为的小物块以的初速度从木板左端水平向右滑行，与木板间的动摩擦因数为0.5．当到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时沿圆弧切线方向滑上轨道．待离开轨道后，可随时解除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为取取． （1）求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块和木板的速度大小； （2）求物块到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度； （3）物块运动到最大高度时会炸裂成质量比为的物块和物块，总质量不变，同时系统动能增加，其中一块沿原速度方向运动．为保证之一落在木板上，求从物块离开轨道到解除木板锁定的时间范围． ◇题型 04 类平抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽省马鞍山市·二模）如图所示，一质量为m的小球在空中某处，以速度v斜向下抛出、方向与竖直方向成60°，小球受到水平向左大小为的风力，小球落到水平地面时，速度方向竖直向下，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 小球在空中运动时受到的合力为 B. 小球在空中运动的时间为 C. 小球抛出点离地高度为 D. 若只撤去风力作用，小球在空中运动时间会变短 典例2（2025年重庆卷第5题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A. 具有不同比荷 B. 电势能均随时间逐渐增大 C. 到达M、N的速度大小相等 D. 到达K所用时间之比为 方｜法｜提｜练 类平抛问题主要考查运动的合成与分解。 关键是建立合适的平面直角坐标系。 两轴互相独立，等时性联系。 两轴上分别应用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律。 常与静电场进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图，在倾角为θ＝30°的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　） A. a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小相等 B. 若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍 C. 若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍 D. a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍 变式2（2025·湖北省七市州·二模）（多选）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，在同一水平直线上、两点处分别把两个质量均为的小球同时抛出。小球1抛出时速度大小为，方向水平，小球2抛出时速度与水平方向成，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，两球在点相遇，是连线中垂线上一点。已知两球电荷量大小均为，电场强度大小为为重力加速度，不计空气阻力和两球间的相互作用，两球从抛出到点相遇的过程中（　　） A. 球1带正电，球2带负电 B. 该过程中两球速度的变化量相等 C. 该过程中两球机械能的变化量相同 D. 两球相遇时球1和球2的速度大小之比为 变式3（2023年北京卷第20题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。 （1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； （2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。 a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。 ◇题型 05 类斜抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广西壮族自治区·三模）风洞是空气动力学研究和试验中广泛使用的工具。如图所示，在地面的M点以竖直向上的初速度v0抛出一小球，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，竖直方向只受重力。经过一段时间后小球将以速度水平向左经过N点，最终落回地面上，不计风力以外的空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 小球在N点之后做平抛运动 B. 小球上升和下落过程运动时间相等 C. 仅增大初速度，小球的水平位移不变 D. 仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率增大 典例2（2025·湖南省株洲市·一模）（多选）如图，空间存在匀强电场，质量为m、电荷量为q的小球沿图中实线先后通过同一竖直面平面内的P、Q两点，通过两点时速率相同，P、Q两点连线与竖直方向的夹角为θ，则在小球从P运动到Q的过程中（　　） A. 小球到达实线中点时速率最小 B. 小球动量的变化率先减小后增大 C. 该电场的场强不应小于 D. 小球在P点的电势能大于在Q点的电势能 方｜法｜提｜练 类斜抛问题主要考查运动的合成与分解。 关键是建立合适的平面直角坐标系。 两轴互相独立，等时性联系。 两轴上分别应用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律。 常与静电场进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东省青岛市·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长斜面，质量为m、带电量为+q的小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°。已知匀强电场的电场强度，重力加速度为g，不计空气阻力。小球从抛出到落回斜面的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 机械能不变 B. 离斜面最远时动能最小 C. 运动时间为 D. 运动的时间为 变式2（2025·山东省滨州市市·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（ ） A. 若电场力水平向右，电场力最小 B. 间电势差 C. 小球速度竖直向下时，速度的大小为 D. 若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方 变式3（2025·陕西省宝鸡市·三模）竖直平面内存在一方向未知的匀强电场，在时刻将一个质量为、电荷量为的小球，从A点以速度水平向右抛出，经过一段时间后，小球以大小为速度竖直向下经过B点。已知AB两点之间的高度差为，水平距离为，重力加速度g取。求： （1）AB两点间的电势差； （2）匀强电场场强E的大小和方向。 ◇题型 06 相关实验 典｜例｜精｜析 典例1（2023年北京卷第17题）用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。 （1）关于实验，下列做法正确的是___________（填选项前的字母）。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 D．水平抛出小球 （2）图1所示的实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。图2为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可判断A球竖直方向做___________运动；根据___________，可判断A球水平方向做匀速直线运动。 （3）某同学使小球从高度为的桌面水平飞出，用频闪照相拍摄小球的平抛运动（每秒频闪25次），最多可以得到小球在空中运动的___________个位置。 （4）某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图3所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为___________。 典例2（2025·四川省绵阳市·三模）在“探究平抛运动的特点”实验中：同学们进行了如下几组实验： （1）如图甲所示，实验一：保持仪器离地高度不变，用小锤打击弹性金属片，改变打击弹片的力度，发现A、B两球都同时落地。实验二：改变仪器离地高度、再用小锤打击弹性金属片，发现A、B两球仍然都同时落地。关于这两个实验的分析，正确的是（　　） A 实验一说明：平抛运动水平初速度大小不影响空中运动时间 B. 实验二说明：平抛运动水平初速度大小不影响空中运动时间 C. 两个实验都说明：平抛运动沿水平方向的分运动是匀速直线运动 D. 两个实验都说明：平抛运动沿竖直方向分运动与自由落体运动相同 （2）用如图乙所示的实验装置描绘平抛运动的轨迹，下列操作正确的是（　　） A. 安装装置时要使平抛轨道的抛射端处于水平位置 B. 建立坐标系的原点位置要在小球中心离开轨道处 C. 每次向下移动接球挡板的高度变化必须相等 D. 在描绘某一平抛运动轨迹时，定位板的位置可以不同 （3）同学们用二维运动传感器得到比较精确的平抛运动轨迹，并在坐标纸上建立了如图丙所示的坐标系，坐标纸的每小格边长为，、、是轨迹上的三个点，当地重力加速度为。 ①钢球离开轨道时速度_________（用或表示）。 ②测得轨迹上多个点的坐标值，并在图丁所示的坐标系中描点连线，得到一条过坐标原点的直线。这说明测得的轨迹________（选填“是”或“不是”）抛物线。测得图丁中直线斜率为，则与之间的关系是__________。 方｜法｜提｜练 主要方法有描迹法、频闪法、利用传感器法。 若利用描迹法，关键是保证多次重复同一个平抛运动。 如利用频闪法，关键是熟悉匀变速直线运动的特殊规律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江省哈尔滨市第九中学·二模）学习小组利用距离传感器研究平抛运动的规律，实验装置如图1所示。某次实验得到了不同时刻小球的位置坐标图，如图2所示，其中点为抛出点，标记为，其他点依次标记为。相邻点的时间间隔均为。把各点用平滑的曲线连接起来就是平抛运动的轨迹图。 （1）经数据分析可得小球竖直方向为自由落体运动，若根据轨迹图计算当地的重力加速度，则需要知道的物理量为___________（单选，填下列选项字母序号），重力加速度的表达式为___________（用所选物理量符号和题中所给物理量符号表示）。 A.测量第个点到的竖直距离 B.测量第个点到的水平距离 C.测量第个点到的距离 （2）若测出重力加速度，描点连线画出图线为过原点的一条直线，如图3所示，则说明平抛运动的轨迹为抛物线。可求出平抛运动的初速度为___________m/s（结果保留2位有效数字）。 变式2（2025·湖南省邵阳市·三模）利用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。某实验小组利用其来探究平抛运动的特点，设计原理图如图甲所示，物体A从O点水平抛出做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它运动的平面内安放着超声-红外接收装置B。B盒装有、两个超声-红外接收器（处于O点正下方），并与计算机相连。、各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体A的距离，进而确定物体A的位置，通过计算机可以即时给出A的坐标。试回答下列问题： （1）为了使计算机描出的物体做平抛运动轨迹更加准确，物体A应挑选（　　） A. 体积大的木球 B. 体积小的钢球 C. 体积小的木球 （2）如图甲所示，某实验小组让物体A在图示位置同时发射超声波脉冲和红外线脉冲，以抛出点O为坐标原点建立坐标系，若还测出了O点到、的距离，重力加速度未知，则由题中条件可以求出（　　） A. 物体A的初速度 B. 物体A的位置坐标 C. 物体A的运动时间 D. 物体A此时的速度方向 （3）以物体A的初速度方向为轴方向，竖直向下的方向为轴方向，在某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹如图乙所示，数据的采集频率为25Hz。由图乙轨迹图线分析可知，物体A平抛的初速度大小为__________________（结果保留2位有效数字）；该实验测得当地的重力加速度偏小，可能的原因是__________________。 变式3（2023年6月浙江卷第16题I（1））实验题 Ⅰ.（1）在“探究平抛运动的特点”实验中 ①用图1装置进行探究，下列说法正确的是________ A.只能探究平抛运动水平分运动的特点 B.需改变小锤击打的力度，多次重复实验 C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点 ②用图2装置进行实验，下列说法正确的是________ A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平 B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动 C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下 ③用图3装置进行实验，竖直挡板上附有复写纸和白纸，可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端，钢球从斜槽上P点静止滚下，撞击挡板留下点迹0，将挡板依次水平向右移动x，重复实验，挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点，竖直向下建立坐标轴y，各点迹坐标值分别为。测得钢球直径为d，则钢球平抛初速度为________。 A. B. C. D. 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 运动的合成与分解、恒力作用下的曲线运动 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】运动的合成与分解 【考点02】平抛与斜抛 【考点03】类平抛与类斜抛 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】关联速度 【题型02】运动的合成与分解 【题型03】平抛与斜抛 【题型04】类平抛 【题型05】类斜抛 【题型06】相关实验 核心考向聚焦 主战场转移：关联速度常与功能进行综合，平抛与斜抛常与体育运动进行综合，类平抛、类斜抛常常出现在匀强电场中。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决恒力作用下的曲线运动问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：矢量运算能力，化曲为直的能力，匀变速直线运动与牛顿定律进行综合的能力。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不能很快找到解决方法：对运动过程的受力特点（恒力）认识不足，导致想不到该如何处理（运动的合成与分解）。不能很快找到表达式：恒力作用的曲线运动问题中，对各个分运动之间的关系理解不深，列不出方程。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，恒力作用下的曲线运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化化曲为直等高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 运动的合成与分解 一、曲线运动的条件和特征 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： 4．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间． 5．速率变化的判断 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 2．运动性质的判断 加速度(或合外力) 三、小船渡河模型 渡河 时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ ◇考点 02 平抛与斜抛 一、平抛运动的规律及应用 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy. 5．两个推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α . 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 三、探究平抛运动的特点 1．实验思路 用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度． 2．实验器材 末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等． 3．实验过程 (1)安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否竖直． (2)安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否水平，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能静止在直轨道上的任意位置，则表明斜槽末端已调水平，如图． (3)描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹． (4)确定坐标原点及坐标轴：选定斜槽末端处小球球心在白纸上的投影的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴． 4．数据处理 (1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 (2)计算平抛物体的初速度 5．注意事项 (1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了． (2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等． (3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点． ◇考点 03 类平抛与类斜抛 一、带电粒子在匀强电场中的偏转 1．带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝. ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝. ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝. 2．两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． ◇题型 01 关联速度 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏省盐城市建湖县第二中学·三模）如图所示，半径为R的竖直圆环在电动机作用下，可绕水平轴O转动，圆环边缘固定一只质量为m的连接器。轻杆通过轻质铰链将连接器与活塞连接在一起，活塞质量为M，与固定竖直管壁间摩擦不计。当圆环逆时针匀速转动时，连接器动量的大小为p，活塞在竖直方向上运动。从连接器转动到与O等高位置A开始计时，经过一段时间连接器转到最低点B，此过程中，活塞发生的位移为x，重力加速度取g。求连接器： （1）所受到的合力大小F； （2）转到动量变化最大时所需的时间t； （3）从A转到B过程中，轻杆对活塞所做的功W。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）连接器做匀速圆周运动的速度 则连接器做匀速圆周运动所受到的合力大小 （2）当连接器转到右侧与A点对称位置时动量变化最大，此时用时间 （3） 设连接器在A点时连杆与竖直方向的夹角为θ，则此时连杆的速度为 而对活塞 可知活塞的速度 当连接器到达B点时，活塞的速度为零，则从A到B，对活塞由动能定理 解得 典例2（2025·河北省秦皇岛市·二模）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置与水平方向夹角为37°，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为5L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，、，运动中细绳始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 细绳对甲的拉力先做正功后做负功 B. 甲运动B点的加速度为0.8g C. 甲静止时拉力大小为1.4mg D. 甲运动B点的速度大小为 【答案】C 【解析】A．甲从A点运动到B点的过程中，由于细绳对甲的拉力方向与甲的速度方向的夹角小于，所以细绳对甲的拉力一直做正功，故A错误； B．甲运动B点，由于绳子对甲的拉力方向垂直于杆，则沿杆方向只有重力沿杆向下的分力，所以甲运动B点的加速度为 故B错误； C．甲静止时，以乙为对象，根据受力平衡可得细绳拉力大小为 以甲为对象，沿杆方向根据受力平衡可得拉力大小为 故C正确； D．甲运动B点时，由于绳子与杆垂直，则此时甲沿绳子方向的分速度为0，此时乙的速度为0；从A点运动到B点的过程中，根据系统机械能守恒可得 解得甲运动B点的速度大小为 故D错误。 故选C。 方｜法｜提｜练 要依据运动的实际效果分解速度。 将实际速度沿绳（或杆）与垂直于绳（或杆）进行分解。 常与功能关系或者能量守恒进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图，两根轻杆与质量为M的球甲通过轻质铰链连接。轻杆长度都为L，C、D为两个完全相同的物块，质量都为m，开始时，两轻杆处在竖直方向，C、D恰好与杆接触，C、D都静止在水平地面上。某时刻受扰动，两杆推动C、D物体分别向左右运动，当为时，杆与物体仍未分离。甲、C、D在同一竖直平面内运动，忽略一切摩擦，重力加速度为g，在甲球从静止开始运动到落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 当为时， B. 当为时， C. 当为时， D. 左杆末端与物体C一定会在甲落地前分离 【答案】ABD 【解析】A．设左杆的下端点为A，由对称性易知杆与竖直方向成角，由关联速度知 得 又 可得 故A正确； B．从杆竖起到过程，对整个系统，由机械能守恒，得 又 联立解得 B正确； C．A与C没有分离前，C物体一直向左加速，A对C有向左的弹力，对端点A分析，易知杆对A的力沿杆斜向下，故杆对球甲的力沿杆斜向上.由对称性知，两杆对球甲的合力向上，故 C错误； D．由甲与端点A的速度关系知，当球甲落地瞬间，端点A速度为0，端点A速度先变大后变小，端点A速度最大时，C的速度也是最大，C的加速度为零，与端点A之间的弹力为零，A与C分离，D正确。 故选ABD。 变式2（2025·宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学·二模）（多选）如图所示，半径为R的光滑大圆环用一细杆固定在竖直平面内，质量为m的小球A套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质量为m的滑块B连接，并一起套在杆上，小球A和滑块B之间用长为的轻杆分别通过铰链连接，当小球A位于圆环最高点时、弹簧处于原长；此时给A一个微小扰动（初速度视为0），使小球A沿环顺时针滑下，当杆与大圆环相切时小球A的速度为（g为重力加速度）。不计一切摩擦，A、B均可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A. 小球A、滑块B和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒 B. 当杆与大圆环相切时B的速度为 C. 小球A从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中滑块B的重力势能减小 D. 小球A从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中弹簧的弹性势能增加了 【答案】CD 【解析】A．轻质弹簧、小球A、滑块B和轻杆组成的系统机械能守恒，故A错误； B．当轻杆与大圆环相切时，设此时轻杆与竖直方向的夹角为，将B的速度沿轻杆和垂直轻杆方向分解，可得 根据几何关系有 联立解得，故B错误； C．开始时滑块B距离圆环最高点的距离为，小球A从圆环最高点到达与大圆环相切时，滑块B距离圆环最高点的距离为 滑块B下降距离为 可得滑块B重力势能减小量为 故C正确； D．A到达杆与大圆环相切的过程中，由能量守恒可得弹簧的弹性势能增加量为 根据几何关系可得整个过程A重力势能的减小量为 联立解得 故D正确。 故选CD。 变式3（2025·安徽省·一模）如图所示，细绳一端固定在天花板上，另一端跨过一光滑动滑轮和两固定在天花板上的光滑定滑轮，动滑轮下端挂有一重物。某人抓住绳的一端，从右侧定滑轮正下方A点以的速度匀速移动到B点，此时细绳与水平方向的夹角为。已知重物质量为，右侧定滑轮与A点的竖直高度，重力加速度，，不考虑滑轮的大小和质量，下列说法正确的是（　　） A. 重物匀速上升 B. 人到达B点时，重物重力的功率大小为200W C. 整个过程人对重物做功为100J D. 人行走时，对地面的摩擦力方向水平向右 【答案】B 【解析】A．在B点绳末端，由关联速度可得，沿绳方向的分速度 人向右移动过程中，减小，v不变，故增大，即重物加速上升，A错误； B．人到达B点时，由动滑轮特点，物体上升速度 即重物重力的功率 B正确； C．由能量守恒定律，人对重物做的功等于重物机械能的增量，右侧绳长增长 重物上升的高度 则 C错误； D．人行走时，受到的静摩擦力水平向右，人对地面的摩擦力水平向左，D错误。 故选B。 ◇题型 02 运动的合成与分解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·福建省莆田市·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A. 图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B. 图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C. 图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D. 图甲和图乙中小船均做曲线运动 【答案】A 【解析】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确； BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误； D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。 故选A。 典例2（2025年甘肃卷第4题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 方｜法｜提｜练 求时间，可以利用合运动，也可以利用分运动。 有方向的规律，可以分方向使用。 注意各分运动的独立性。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，可知 合速度方向沿轨迹的切线，加速度方向指向轨迹凹的一侧。 故选C。 变式2（2025·辽宁省名校联盟·三模）如图所示，是在哈尔滨举行的第九届亚冬会跳台滑雪赛道的简化图。可视为质点的运动员在t=0时刻从M点由静止自由滑下，经过水平滑道NP段后飞出，落在斜坡上的Q点。若不计运动员经过N点的动能损失，忽略其运动过程中受到的阻力。用vx、vy、v、a分别表示该过程中运动员水平方向的速度大小、竖直方向的速度大小、实际运动的速度大小、加速度大小，t表示其运动的时间，下列图像中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】D．设MN的倾角为θ，从M到N过程中，运动员加速度大小为 该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线；从N到P过程中，运动员加速度大小为0；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，加速度大小为g，该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线，且比从M到N过程的加速度大，故D正确； A．从M到N过程中，根据速度的分解有 所以图像为过原点的倾斜直线，由于不计运动员经过N点时的机械能损失，所以在N点处vx突变为到达N点瞬间的合速度，会突然增大，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vx不变，图像为平行于t轴的直线；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，vx也不变，故A错误； B．从M到N过程中，根据速度的分解有 则该段时间内图像为过原点的倾斜直线，在N点处vy突变为零，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vy始终为零；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，即 该段时间内图像为倾斜直线，且斜率比从M到N过程的大，故B错误； C．运动员在斜面上做匀加速直线运动，则 在NP段做匀速直线运动，速度不变，在空中做平抛运动，有 该过程中图线为曲线，故C错误。 故选D。 变式3（2025年安徽卷第6题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度与M在竖直方向的分速度大小相等， 设M做匀速圆周运动的角速度为，半径为r，其竖直方向分速度 即 则D正确，ABC错误。 故选D。 ◇题型 03 平抛与斜抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025年河北卷第14题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 （1）求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 （2）若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【答案】（1）0.6m （2）IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【解析】 【小问1详解】 小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m 【小问2详解】 物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有－μNΔt = vx′－vx，IN = NΔt 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 典例2（2022年山东卷第11题）（多选）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】设网球飞出时的速度为，竖直方向 代入数据得 则 排球水平方向到点的距离 根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量 平行墙面的速度分量 反弹后，垂直墙面的速度分量 则反弹后的网球速度大小为 网球落到地面的时间 着地点到墙壁的距离 故BD正确，AC错误。 故选BD。 方｜法｜提｜练 平抛与斜抛问题，必然要考查运动的合成与分解，一般采用水平、竖直分解的方法。 涉及斜面的平抛，有时候沿斜面、垂直于斜面分解更好。 碰到三维的问题，要多角度改画为平面图。 经常与其它过程、功能、动量进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A. B C. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【解析】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，光滑水平面上有一个固定台，固定台上有一半径为的光滑圆弧轨道。固定台右边有一个顶部为光滑圆弧轨道且底面光滑的滑块，滑块与固定台的距离为，滑块质量为，其上圆弧轨道两端等高，且左端处半径与水平方向的夹角为。现让一个质量为的光滑小球从固定台圆弧轨道顶端上方某高度处由静止释放，它沿切线进入圆弧轨道，从点抛出后，又恰好沿切线从点进入滑块顶部的圆弧轨道。小球最终从点离开滑块。重力加速度取为。求： （1）小球到达点时的速度大小 （2）释放点到圆弧轨道顶端的距离 （3）小球从点离开滑块后能上升的最大高度及上升到最高点所用的时间 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 小问1详解】 小球从A点抛出后做平抛运动，从B点沿切线进入滑块顶部的圆弧轨道，设小球在A点的速度为，小球在B点的速度为，则有 在B点竖直方向速度 竖直方向 水平方向 两式联立解得，， 【小问2详解】 根据动能定理，对小球有 解得 【小问3详解】 小球从B点进入圆弧轨道后，小球对圆弧有向左下方的压力，圆弧向左运动，当小球运动到圆弧最低点时，圆弧向左的速度最大，进入圆弧右侧部分时，小球对圆弧有向右下方的压力，圆弧向左减速运动，根据对称性，当小球从右端C点离开圆弧时，圆弧的速度恰好减小到零，根据系统的机械能守恒可知，小球的速度大小不变，方向与竖直方向夹角为，离开圆弧后，小球做斜抛运动，上升的时间 上升的最大高度 变式3（2023年河北卷第8题）如图，质量为的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成角．质量为的小物块以的初速度从木板左端水平向右滑行，与木板间的动摩擦因数为0.5．当到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时沿圆弧切线方向滑上轨道．待离开轨道后，可随时解除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为取取． （1）求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块和木板的速度大小； （2）求物块到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度； （3）物块运动到最大高度时会炸裂成质量比为的物块和物块，总质量不变，同时系统动能增加，其中一块沿原速度方向运动．为保证之一落在木板上，求从物块离开轨道到解除木板锁定的时间范围． 【答案】（1），；（2），；（3）或 【解析】（1）设物块的初速度为，木板与轨道底部碰撞前，物块和木板的速度分别为和，物块和木板的质量分别为和，物块与木板间的动摩擦因数为，木板长度为，由动量守恒定律和功能关系有 由题意分析，联立式得 （2）设圆弧轨道半径为，物块到圆弧轨道最高点时斜抛速度为，轨道对物块的弹力为．物块从轨道最低点到最高点，根据动能定理有 物块到达圆弧轨道最高点时，根据牛顿第二定律有 联立式，得 设物块拋出时速度水平和竖直分量分别为和 斜抛过程物块上升时间 该段时间物块向左运动距离为 ． 物块距离地面最大高度 ． （3）物块从最高点落地时间 设向左为正方向，物块在最高点炸裂为，设质量和速度分别为和、，设，系统动能增加．根据动量守恒定律和能量守恒定律得 解得 或． 设从物块离开轨道到解除木板锁定时间范围： （a）若，炸裂后落地过程中的水平位移为 炸裂后落地过程中的水平位移为 木板右端到轨道底端的距离为 运动轨迹分析如下 了保证之一落在木板上，需要满足下列条件之一 Ⅰ．若仅落在木板上，应满足 且 解得 Ⅱ．若仅落在木板上，应满足 且 不等式无解； （b）若，炸裂后落地过程中水平位移为0，炸裂后落地过程中水平位移为 木板右端到轨道底端的距离为 运动轨迹分析如下 为了保证之一落在木板上，需要满足下列条件之一 Ⅲ．若仅落在木板上，应满足 且 解得 Ⅳ．若仅落在木板上，应满足 且 解得 ． 综合分析（a）（b）两种情况，为保证之一一定落在木板上，满足条件为 或 ◇题型 04 类平抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽省马鞍山市·二模）如图所示，一质量为m的小球在空中某处，以速度v斜向下抛出、方向与竖直方向成60°，小球受到水平向左大小为的风力，小球落到水平地面时，速度方向竖直向下，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 小球在空中运动时受到的合力为 B. 小球在空中运动的时间为 C. 小球抛出点离地高度为 D. 若只撤去风力作用，小球在空中运动时间会变短 【答案】B 【解析】A．对小球的受力分析如图所示 根据平行四边形定则，可得小球在空中运动时受到的合力为 故A错误； B．将初速度沿水平方向和竖直方向分解，如图所示 可知水平方向的分速度和竖直方向的分速度分别为， 由题知，小球落到水平地面时，速度方向竖直向下，即水平方向的速度减为零，r所以在水平方向上，根据牛顿第二定律有 解得 则小球在空中运动的时间为 故B正确； C．小球在竖直方向上做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，则小球抛出点离地高度为 故C错误； D．若只撤去风力作用，竖直方向的运动情况不变，即初速度仍为，加速度仍为重力加速度，又高度保持不变，根据 可知小球在空中运动时间不变，故D错误。 故选B。 典例2（2025年重庆卷第5题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A. 具有不同比荷 B. 电势能均随时间逐渐增大 C. 到达M、N的速度大小相等 D. 到达K所用时间之比为 【答案】D 【解析】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 方｜法｜提｜练 类平抛问题主要考查运动的合成与分解。 关键是建立合适的平面直角坐标系。 两轴互相独立，等时性联系。 两轴上分别应用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律。 常与静电场进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图，在倾角为θ＝30°的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　） A. a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小相等 B. 若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍 C. 若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍 D. a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍 【答案】B 【解析】B．当a球落到斜面时，有 解得 则a球落到斜面时的速度为 因为，若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也变为之前的2倍，故B正确； A．由以上分析可知a球落到斜面上用时为 此时a球的位移为 b球的水平位移为 沿斜面向下的位移为 b球的位移为 a、b两球的位移大小不相等，故A错误； C．根据 若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小不是变为之前的2倍，故C错误； D．a球落到斜面上时，a球的速度大小为 此时b球的速度大小为 故D错误。 故选B。 变式2（2025·湖北省七市州·二模）（多选）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，在同一水平直线上、两点处分别把两个质量均为的小球同时抛出。小球1抛出时速度大小为，方向水平，小球2抛出时速度与水平方向成，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，两球在点相遇，是连线中垂线上一点。已知两球电荷量大小均为，电场强度大小为为重力加速度，不计空气阻力和两球间的相互作用，两球从抛出到点相遇的过程中（　　） A. 球1带正电，球2带负电 B. 该过程中两球速度的变化量相等 C. 该过程中两球机械能的变化量相同 D. 两球相遇时球1和球2的速度大小之比为 【答案】AD 【解析】A．两球运动时间相同，水平方向位移相同，1、2两球水平方向速度相等， 得 由竖直方向位移相同，具有向上初速度的加速度更大可得，故球2所受电场力向下，球1所受电场力向上，球1带正电，球2带负电，故A正确； B．对球1， 对球2， 据 且相等，1、2两球速度变化量不相等，故B错误； C．电场力对球1做负功，对球2做正功，球1机械能减少，球2机械能增加，两球机械能变化量不同，故C错误。 D．1、2两球运动时间为，竖直方向 得 相遇时球1速度 球2速度，， 故D正确。 故选AD。 变式3（2023年北京卷第20题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。 （1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； （2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。 a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。 【答案】（1）；（2）a、；b、25% 【解析】（1）只要紧靠上极板颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有 竖直方向 根据牛顿第二定律 又 解得 （2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向 且 解得 b.带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 在竖直方向颗粒匀速下落 的颗粒带电荷量为 颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 设只有距下极板为的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落 解得 的颗粒被收集的百分比 ◇题型 05 类斜抛 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广西壮族自治区·三模）风洞是空气动力学研究和试验中广泛使用的工具。如图所示，在地面的M点以竖直向上的初速度v0抛出一小球，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，竖直方向只受重力。经过一段时间后小球将以速度水平向左经过N点，最终落回地面上，不计风力以外的空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 小球在N点之后做平抛运动 B. 小球上升和下落过程运动时间相等 C. 仅增大初速度，小球的水平位移不变 D. 仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率增大 【答案】B 【解析】A．过N点后，小球还受水平风力，不满足平抛运动只受重力特征，A错误； B．竖直方向上，先竖直上抛再做自由落体运动，由对称性时间相等，B正确； C．增大初速度运动时间增大，水平位移增大，C错误； D．增大风力，小球回到地面水平速度增大，竖直分速度不变，重力的瞬时功率不变，D错误。 故选B。 典例2（2025·湖南省株洲市·一模）（多选）如图，空间存在匀强电场，质量为m、电荷量为q的小球沿图中实线先后通过同一竖直面平面内的P、Q两点，通过两点时速率相同，P、Q两点连线与竖直方向的夹角为θ，则在小球从P运动到Q的过程中（　　） A. 小球到达实线中点时速率最小 B. 小球动量的变化率先减小后增大 C. 该电场的场强不应小于 D. 小球在P点的电势能大于在Q点的电势能 【答案】AC 【解析】A．题意可知，小球通过PQ两点时速率相同，即合力做功为0，则合力方向垂直于PQ连线，可知小球该过程做类斜抛运动，则PQ连线的中垂线与轨迹交点为类斜抛运动的最高点，所以小球到达实线中点时合力做负功最多，该点速率最小，故A正确； B．小球运动过程中只受电场力和重力，由于二者均为恒力，故其合力也为恒力，由动量定理推导式可得 可知小球动量的变化率为电场力和重力的合力，故小球动量的变化率不变，故B错误； C．设电场力与PQ夹角为α如图 由于电场力和重力合力垂直与PQ连线，故沿PQ方向有 解得 故电场的场强不应小于，故C正确； D．由于PQ过程电场力和重力做的总功为0，但由于该过程重力做正功，所以该过程电场力做负功，则小球电势能增加，即小球在P点的电势能小于在Q点的电势能，故D错误。 故选AC。 方｜法｜提｜练 类斜抛问题主要考查运动的合成与分解。 关键是建立合适的平面直角坐标系。 两轴互相独立，等时性联系。 两轴上分别应用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律。 常与静电场进行综合。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东省青岛市·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长斜面，质量为m、带电量为+q的小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°。已知匀强电场的电场强度，重力加速度为g，不计空气阻力。小球从抛出到落回斜面的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 机械能不变 B. 离斜面最远时动能最小 C. 运动时间为 D. 运动的时间为 【答案】D 【解析】A．小球从抛出到落回斜面的过程中，电场力做功会改变机械能，故机械能不守恒，故A错误； B．以斜面为参考系，建立沿斜面向上（x 轴）和垂直斜面向上（y 轴）的坐标系，小球受重力 mg（竖直向下）和电场力 qE（水平向右），沿斜面方向（x 轴）：电场力分量：（沿斜面向上） 重力分量：（沿斜面向下） 根据牛顿第二定律 解得加速度（沿斜面向下） 垂直斜面方向（y 轴）： 电场力分量（垂直斜面向下） 重力分量：（垂直斜面向下） 根据牛奶第二定律 解得加速度（垂直斜面向下） 初速度与斜面方向夹角为，分解到斜面坐标系，沿x轴为 沿y轴为 离斜面最远时（y 方向速度为 0），时间  此时x方向速度  设合力与竖直方向的夹角为，则 故 此时合力与速度成钝角，速度大小继续减小，故离斜面最远时动能不是最小，故B错误； CD． 落回斜面时 由  解得，故C错误，D正确。 故选D。 变式2（2025·山东省滨州市市·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（ ） A. 若电场力水平向右，电场力最小 B. 间电势差 C. 小球速度竖直向下时，速度的大小为 D. 若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方 【答案】D 【解析】A．小球经过AB两点时速度大小相等，有对称性可知在AB两点时速度方向与AB连线的夹角大小相等，设为α，由几何关系可知α=60°，小球所受的合力方向沿AB的垂直平分线方向斜向下，方向与水平线夹角为30°，由平行四边形定则可知，若场强方向沿BA向上时电场力最小，场强最小，选项A错误； B．从A到B根据动能定理 可知 选项B错误； C．小球速度竖直向下时，此时速度方向与AB夹角为30°，小球沿AB方向的速度为 不变，则小球速度竖直向下时速度的大小为 选项C错误； D．由图可知，若电场力的大小为，合力大小也为mg，此时电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方，选项D正确。 故选D。 变式3（2025·陕西省宝鸡市·三模）竖直平面内存在一方向未知的匀强电场，在时刻将一个质量为、电荷量为的小球，从A点以速度水平向右抛出，经过一段时间后，小球以大小为速度竖直向下经过B点。已知AB两点之间的高度差为，水平距离为，重力加速度g取。求： （1）AB两点间的电势差； （2）匀强电场场强E的大小和方向。 【答案】（1） （2），与水平方向成斜向左上方 【解析】 【小问1详解】 带电小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理得 解得AB两点间的电势差为 【小问2详解】 由题意可得，带电小球从A点运动到B点的过程中，水平方向做末速为零的匀减速运动，竖直方向做初速为零的匀加速运动，设匀强电场在水平方向的分量大小为，则由牛顿第二定律 由运动学公式 代入数据解得，方向水平向左。 设匀强电场在竖直方向的分量大小为，假设方向竖直向下，则有， 代入数据解得： 所以匀强电场在竖直方向的分量大小为，方向竖直向上，则匀强电场场强E的大小为 即与水平方向成，斜向左上方。 ◇题型 06 相关实验 典｜例｜精｜析 典例1（2023年北京卷第17题）用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。 （1）关于实验，下列做法正确的是___________（填选项前的字母）。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 D．水平抛出小球 （2）图1所示的实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。图2为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可判断A球竖直方向做___________运动；根据___________，可判断A球水平方向做匀速直线运动。 （3）某同学使小球从高度为的桌面水平飞出，用频闪照相拍摄小球的平抛运动（每秒频闪25次），最多可以得到小球在空中运动的___________个位置。 （4）某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图3所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为___________。 【答案】 ①. ABD ②. 自由落体运动 ③. A球相邻两位置水平距离相等 ④. 10 ⑤. 【解析】（1）[1]A．用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，选择体积小质量大的小球可以减小空气阻力的影响，A正确； B．本实验需要借助重垂线确定竖直方向，B正确； CD．实验过程先打开频闪仪，再水平抛出小球，C错误，D正确。 故选ABD。 （2）[2][3]根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可以判断出A球竖直方向做自由落体运动；根据A球相邻两位置水平距离相等，可以判断A球水平方向做匀速直线运动。 （3）[4]小球从高度为0.8m的桌面水平抛出，根据运动学公式，解得 频闪仪每秒频闪25次，频闪周期 故最多可以得到小球在空中运动个数为 （4）[5]如图、分别表示水平和竖直方向，设重垂线方向与y轴间的夹角为，建立坐标系存在两种情况，如图所示 当建立的坐标系为、时，则x轴方向做匀减速运动，根据逐差法计算加速度有 y轴方向在 联立解得 当建立的坐标系为、时，则x轴方向做匀加速运动，根据逐差法计算加速度有 y轴方向在 联立解得 综上所述，重垂线方向与y轴间夹角的正切值为 典例2（2025·四川省绵阳市·三模）在“探究平抛运动的特点”实验中：同学们进行了如下几组实验： （1）如图甲所示，实验一：保持仪器离地高度不变，用小锤打击弹性金属片，改变打击弹片的力度，发现A、B两球都同时落地。实验二：改变仪器离地高度、再用小锤打击弹性金属片，发现A、B两球仍然都同时落地。关于这两个实验的分析，正确的是（　　） A 实验一说明：平抛运动水平初速度大小不影响空中运动时间 B. 实验二说明：平抛运动水平初速度大小不影响空中运动时间 C. 两个实验都说明：平抛运动沿水平方向的分运动是匀速直线运动 D. 两个实验都说明：平抛运动沿竖直方向分运动与自由落体运动相同 （2）用如图乙所示的实验装置描绘平抛运动的轨迹，下列操作正确的是（　　） A. 安装装置时要使平抛轨道的抛射端处于水平位置 B. 建立坐标系的原点位置要在小球中心离开轨道处 C. 每次向下移动接球挡板的高度变化必须相等 D. 在描绘某一平抛运动轨迹时，定位板的位置可以不同 （3）同学们用二维运动传感器得到比较精确的平抛运动轨迹，并在坐标纸上建立了如图丙所示的坐标系，坐标纸的每小格边长为，、、是轨迹上的三个点，当地重力加速度为。 ①钢球离开轨道时速度_________（用或表示）。 ②测得轨迹上多个点的坐标值，并在图丁所示的坐标系中描点连线，得到一条过坐标原点的直线。这说明测得的轨迹________（选填“是”或“不是”）抛物线。测得图丁中直线斜率为，则与之间的关系是__________。 【答案】（1）AD （2）AB （3） ①. ②. 是 ③. 【解析】 【小问1详解】 A．实验一高度相同时即使初速度不同两球也会同时落地，说明平抛运动水平初速度大小不影响空中运动时间，选项A正确； B．实验二高度不同时，两球仍能同时落地，只能说明两球竖直方向的运动相同，不能说明水平速度不影响小球运动的时间，选项B错误； CD．无论是改变打击力度改变初速度还是改变高度，两球总是同时落地，则两个实验都说明两物体在竖直方向的运动完全相同，即平抛运动沿竖直方向的分运动与自由落体运动相同，选项D正确，C错误。 故选AD。 【小问2详解】 A．安装装置时要使平抛轨道的抛射端处于水平位置，以保证小球做平抛运动，选项A正确； B．建立坐标系的原点位置要在小球在轨道末端时球心在竖直木板的投影位置，即要在小球中心离开轨道处位置，选项B正确； C．每次向下移动接球挡板的高度变化不一定必须相等，选项C错误； D．在描绘同一平抛运动轨迹时，定位板的位置必须相同，故D错误； 故选AB。 【小问3详解】 ①[1]竖直方向有Δy=2L0=gT2 水平方向有3L=v0T 解得 ②[2][3]根据平抛运动规律有：x=v0t，y=gt2 结合几何关系，变形整理得： 在图丁所示的y-x2坐标系中描点连线，得到一条过坐标原点的直线，这说明测得的轨迹是抛物线。 图像的斜率为 解得 方｜法｜提｜练 主要方法有描迹法、频闪法、利用传感器法。 若利用描迹法，关键是保证多次重复同一个平抛运动。 如利用频闪法，关键是熟悉匀变速直线运动的特殊规律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江省哈尔滨市第九中学·二模）学习小组利用距离传感器研究平抛运动的规律，实验装置如图1所示。某次实验得到了不同时刻小球的位置坐标图，如图2所示，其中点为抛出点，标记为，其他点依次标记为。相邻点的时间间隔均为。把各点用平滑的曲线连接起来就是平抛运动的轨迹图。 （1）经数据分析可得小球竖直方向为自由落体运动，若根据轨迹图计算当地的重力加速度，则需要知道的物理量为___________（单选，填下列选项字母序号），重力加速度的表达式为___________（用所选物理量符号和题中所给物理量符号表示）。 A.测量第个点到的竖直距离 B.测量第个点到的水平距离 C.测量第个点到的距离 （2）若测出重力加速度，描点连线画出图线为过原点的一条直线，如图3所示，则说明平抛运动的轨迹为抛物线。可求出平抛运动的初速度为___________m/s（结果保留2位有效数字）。 【答案】（1） ①. A ②. （2）0.70 【解析】 【小问1详解】 [1]根据平抛运动的规律，在竖直方向是做自由落体运动，所以需要测量第n个点到O的竖直距离。 故选A。 [2]在竖直方向，根据 解得 【小问2详解】 由图3可知，图线为过原点的一条直线，则有 其中k为定值，说明平抛运动的轨迹为抛物线。 根据平抛运动的规律，在水平方向有 在竖直方向有 联立可得 则有 由图3可得 可得 变式2（2025·湖南省邵阳市·三模）利用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。某实验小组利用其来探究平抛运动的特点，设计原理图如图甲所示，物体A从O点水平抛出做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它运动的平面内安放着超声-红外接收装置B。B盒装有、两个超声-红外接收器（处于O点正下方），并与计算机相连。、各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体A的距离，进而确定物体A的位置，通过计算机可以即时给出A的坐标。试回答下列问题： （1）为了使计算机描出的物体做平抛运动轨迹更加准确，物体A应挑选（　　） A. 体积大的木球 B. 体积小的钢球 C. 体积小的木球 （2）如图甲所示，某实验小组让物体A在图示位置同时发射超声波脉冲和红外线脉冲，以抛出点O为坐标原点建立坐标系，若还测出了O点到、的距离，重力加速度未知，则由题中条件可以求出（　　） A. 物体A的初速度 B. 物体A的位置坐标 C. 物体A的运动时间 D. 物体A此时的速度方向 （3）以物体A的初速度方向为轴方向，竖直向下的方向为轴方向，在某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹如图乙所示，数据的采集频率为25Hz。由图乙轨迹图线分析可知，物体A平抛的初速度大小为__________________（结果保留2位有效数字）；该实验测得当地的重力加速度偏小，可能的原因是__________________。 【答案】（1）B （2）BD （3） ①. 1.5##1.6##1.7 ②. 受空气阻力 【解析】 【小问1详解】 为减小空气阻力对平抛运动的影响，物体应选择体积小、密度大的材质。钢球密度大、体积小，空气阻力相对重力可忽略，故选B。 【小问2详解】 B．设A点坐标为（x，y），由几何关系可得， 由题意可知，、、、均已知，联立可解得x、y，即可确定物体A的位置坐标，B正确； AC．由平抛位移公式可得， 由于重力加速度g未知，故无法求得运动时间t及初速度v0，AC错误； D．由速度偏角公式可得 由位移偏角公式可得 对比可得 故可确定物体A此时的速度方向，D正确。 故选BD。 【小问3详解】 [1]数据的采集频率为25Hz，时间间隔为 水平方向为匀速直线运动，图中相邻两个时间间隔内的水平位移为，则初速度 [2]该实验测得当地的重力加速度偏小，原因可能是物体受空气阻力，竖直方向加速度小于。 变式3（2023年6月浙江卷第16题I（1））实验题 Ⅰ.（1）在“探究平抛运动的特点”实验中 ①用图1装置进行探究，下列说法正确的是________ A.只能探究平抛运动水平分运动的特点 B.需改变小锤击打的力度，多次重复实验 C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点 ②用图2装置进行实验，下列说法正确的是________ A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平 B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动 C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下 ③用图3装置进行实验，竖直挡板上附有复写纸和白纸，可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端，钢球从斜槽上P点静止滚下，撞击挡板留下点迹0，将挡板依次水平向右移动x，重复实验，挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点，竖直向下建立坐标轴y，各点迹坐标值分别为。测得钢球直径为d，则钢球平抛初速度为________。 A. B. C. D. 【答案】Ⅰ.（1）①B；②C；③D 解析：Ⅰ.（1）①用图1装置可以探究平抛运动竖直方向做自由落体运动的特点，需要改变小锤击打的力度，多次重复实验，B正确，AC错误。②用图2装置进行实验，斜槽轨道M没必要光滑，但末端必须水平，A错误；上下调节挡板N时，不需要等间距移动，B错误；小钢球必须从斜槽M上同一位置静止滚下，C正确。③用图3装置进行实验，根据平抛运动规律有，联立解得，AB错误；根据平抛运动规律有，联立解得，C错误，D正确。 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $