例析同角三角函数基本关系式的常考题型&源于课本的正弦平方差公式的应用-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

中学生教理化智皱种与拓熙车12月 例析同角三角函数 基本关系式的常考题型 ■丁振新 题型一：利用同角关系求值的两种思维 方法 例1 若1ana=一子，cosu<0,则sina 解法l:由tana=- 3得sina= 3 cosa,结合sina十cosa=1得6cosa +cos'a 6cos'a=1,即cos'a=1 25 25。因为 5,所以sina= cosa0,所以cosa= 3 4cos a=. 3 5 、3 解法2：由tana=-,cosa<0,可知a 在第二象限，所以sina>0。注意到tana= 点睛：当角α的范围不确定且涉及开平 方时，常因三角函数值的符号问题而对角α 分区间（象限）讨论。 题型二：正余弦齐次式计算中的“弦切互 化”和“1”的妙用 例2已知tan0= 则 1 sin'0+sin0 os30+sin0cos'日 _o 解析：原式= sin0+sin 0(sin20+cos20) cos3θ+sin0cos20 _2sin'g十sin0cos'0_2tan'9+tan日_1 cos0+sin 0cos20 1+tan 0 2 点睛：已知角a的正切求关于sina, cosa的齐次式的关键是化为关于tana的式 10 子，再代人求值。 题型三：三姊妹sin0士cos0与sin0cos0 沟通中“平方、开方及正负号选择”的应用 例3（多选题）已知8∈(0，π)，sin0十 c0s0= 5,则下列结论正确的是( )。 A.sin8cos日=-1 25 B.9∈() C.sin a-cos D.tan 0=- 4 3 解析：对于A,由sin0+cos0=5,两边平 方得1十2sin0cos0= 云即nme0=是A 正确。由日∈(0，π)，可得sin0>0,由A知 cos0<0,所以9∈（受，），B正确。sing cos=1-2sin Ocos 0= √1+25=5C错 7 误。由sin0-cos0=5,sin0十cos0=5,解 得sin0= 5,c0s9= ，所以tan9= 3 3,D 正确。应选ABD。 点睛：已知sina土cosa=k的求值问题， 常用整体代入的方法来解决。 题型四：三角函数的化简 例4若受<a<x,化简√n2 1+sin a 一simc的结果是一· 1+sin a 解析：因为受<a<元，所以0<sina<1, 一1<cosa<0。故原式= (1+sin a) 1-sin'a (1-sin a) 1+sin a -1-sin a 1-sin'a cos a (1+sin a)-(1-sin a) 2sina -cos a cosa -2tan ao 点晴：利用同角三角函数关系化简的关 键是弦切互化、去根号，借助因式分解或平方 关系求得结果。 作者单位：南宁市第三十六中学 (责任编辑王琼霞) 高一数学如阳售种与哲骨中学生最理化 源于课本的正弦平方差公式的应用 ■杜海洋（特级教师） 一、公式介绍 sin(A-B)a sin2A-sin2B=sin(A+B)sin (A-B) 由△ABC为锐角三角形，即0<A< (正弦平方差公式，证明过程略)。 21 二、公式的应用 0<B<2,可得-2<A一B<2,结合y 1.在求值中的应用 例1o-w sinz在(-受，受)上单调递增得B=A一B, 12 )。 即A=2B。因为△ABC为锐角三角形，所 A.2 B③ 3 C② 2 0<B<, 解：（方法1）cos2元 以0<A=2B< 2 解得答<B<牙。 -cos(-）=cos-sim是-cos 0<C=x-3B< 2, 。应选D。 =sin A=sin 2B2sin Bcos B b sin B sin B sin B 2cosB∈（√E,√3）. 变式2：记△ABC的内角A,B,C的对 sir是-sn(段+)sm(g)-sin 边分别为a,b,c,已知c=2√2，b2-a2=16, sin-9 。应选D。 则角C的最大值为一。 提示：由c=2√2，b2-a2=16得b2 变式1：若sin(a十A)sim(a-g)=子则 a2=2c2,结合正弦定理得sinB-sinA= 2sinC,所以sinB-sinA=sin(A+B)· cos 2a-cos 28=_ 提示：因为sin(a十B)sin(a-B)=sina sin(B-A)=2sin'C,所以sinC= 2 sin(B- 一 sin'B= 1-c0s2a-1-cos23_ 2 2 A)≤2，所以角C的最大值为若。 cos 28-cos 2a1 4,所以cos2a-cos2g= 3.在证明中的应用 例3记△ABC的内角A,B,C的对边 1 分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)= sin Bsin(C-A),证明：2a2=b2十c2。 2.在取值范围（最值）中的应用 证明：（方法1）因为sin Csin(A-B)= 例2已知△ABC是锐角三角形，若 sin Bsin(C-A),所以sin Csin Acos B- sin'A一sin'B=sin Bsin C,则分的取值范围 sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin B. 是 sin Acos C,所以ac·a2+c-b -2bc· 2ac 解：已知sinA一sinB=sin Bsin C,由 b2+c2-a2 正弦平方差公式得sinA一sinB=sin(A+ 2bc =-ab·a+b2-c 2ab ，整理得 B)sin(A-B)=sin Bsin C。由C=x-(A a2+c2-b2 -a2+b2-c2 十B),可得sinC=sin(A+B),所以sinB= -(b2+c2-a2)= 2 2 11 中学生款理化架四被掉与拓展车12月 所以2a2=b2十c2。 (方法2)由sinC=sin(A+B),sinB= sin(C+A),结合sin Csin(A-B)=sinB· sin(C一A),可得sin(A+B)sin(A一B)= sin(A十C)sin(C一A)。由正弦平方差公式 得sinA-sinB=sinC-sinA,结合正弦 定理得2a2=b十c2。 变式3：在锐角△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足a2一b2=bc。 求证：A=2B。 提示：（方法1）因为a2=b2十c2 2bcc0sA=b2+bc,所以c-b=2 bcos A。由 正弦定理得sinC一sinB=2 sin Bcos A。由 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos A. sinB,代入得sin Acos B-cos Asin B= sinB,即sin(A一B)=sinB。因为在锐角 △ABC中，0<A,B<受，所以A-B=B,所 以A=2B。 (方法2)由正弦定理得sinA一sinB= sin Bsin C,所以(sinA+sinB)(sinA sinB)=sin Bsin C,所以2sinA十B. 2 cos AB.2sin A B cos ABsin(A+ 2 2 2 B)·sin(A-B)=sin Bsin C。因为sin(A +B)=sinC≠0，所以sin(A-B)=sinB。 因为在锐角△ABC中，0<A,B<5,所以 A-B=B,所以A=2B。 (方法3)由正弦定理得sin'A一sinB= sin Bsin C,结合正弦平方差公式得sin(A+ B)sin(A-B)=sin Bsin C,所以sinB sin(A一B)。因为在锐角△ABC中，0<A, B<受所以B=A-B,所以A=2B. 4.在三角函数中的应用 例4已知函数f(x)=sinx一 sin(x-g）xeR. (1)求函数∫(x)的最小正周期。 (2)求函数f(x)在区间[-于，]上的 取值范围。 12 解：(1)函数f(x)=sin(x十x-石）· sin(x-x+5）=sin(2x-5)sin石 合n(2x-一若），所以函数于(x)的最小正周 期7-经- 2)当x∈[--]时，2x-∈ [-]当xe[-晋]时2x- ∈[-受，]，则函数f(x)在区间[吾， -]上是减函数，在区间[一石，]上是增 函数，所以f(-罗)=-子，f(-)= -之，f()=后，所以函数f(x)在区间 [一营]上的最大值为9最小值为一 故函数fx)在区间[吾，]上的取值范 国是[ 变式4：函数f(x)=sim(x十) sim(e-)是()。 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 提示：因为函数f(x)=sim(x+于） sin(a-牙)=sin(e+牙+x-)sn(x十 至-x+于)=sin2xsin2=sin2x,所以函 数∫(x)的最小正周期T=π。又因为 f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x), 所以函数∫(x)是最小正周期为元的奇函数。 应选A。 作者单位：成都经济技术开发区实验中学校 (责任编辑王琼霞)