2025年新高考全国卷中解析几何客观题的试题分析及解题启示-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

解题篇经典题突破方法中学生数理化 高三数学2025年12月 2025年新高考全国卷中解析几何客观题的 试题分析及解题启示 ■河南省信阳市固始县信合外国语高级中学 胡亚运 2025年新高考全国卷对解析几何客观 足为B。若直线BF的方程为y=一2x十2， 题（工卷3道小题，Ⅱ卷2道小题）的考查遵 则|AF|=()。 循“两小或三小”，基本为一道容易题、一道或 A.3 B.4 C.5 D.6 两道中高档题，侧重于考查基本概念、几何性 质等，总体难度不是很高。本文旨在通过对 解法一：由题意知，F(兮0小，准线方程 2025年新高考全国卷中解析几何客观题的 为x=一 。设A(xy),则B(台y） 分析，追根溯源，回归教材，深入探究丰富的 解题思路，在此基础上，提供备考策略，为同 因为直线BF的方程为y=一2x十2，所以 学们的复习备考提供一些帮助。 yw= -2×(-2)+2, 一、真题呈现及解法探究 解得 p=2,因为点 特点一：聚焦主干知识，强化基础考查 0=-2×+2， y0=4。 2 例1(2025年新高考全国I卷第3 A在C上，所以16=4x。,即x。=4,所以 题)己知双曲线C的虚轴长为实轴长的√7 1AF=x+台-=4+1=5， 倍，则C的离心率为()。 故选C。 A√2 B.2C.√7 D.22 解法二：由题意知，直线BF:y=一2x十 解法一：（定义法）由题意得2b=√7× 2与x轴的交点即为焦点F(1,0),则抛物线 2a,所以2=7，所以双曲线C的离心率e= 的准线方程为x=一1，抛物线的方程为y= 4x,所以B(一1,4)，则可设A(xA,4),将其 =√1+（） =2√2。 代入抛物线的方程得xA=4,所以A(4,4), 故选D。 则|AF|=√(4-1)+(4-0)7=5。 解法二：（特殊值法）取a=1,则b=√7， 故选C。 ,点评：本题考查直线与抛物线的位置关 c=Va+不=2厄，故e=合=2E。 系等基本概念，特别是抛物线的定义、标准方 故选D。 程及简单几何性质，需要能将代数表达转化 解法三：（排除法）由题意得c>b=√7a, 为几何特征，将几何特征翻译为代数表达，整 合具体情境特征，选择合理的解决路径。 故C的离心率e=￡>7，因为选项A,B,C 例3(2025年新高考全国I卷第7 都小于或等于√7，所以D正确。 题)已知圆x2十(y十2)2=r(r>0)上到直线 故选D。 y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两个， 点评：本题主要考查双曲线的实轴长、虚 则r的取值范围是( 轴长、焦距及离心率等基本概念，考查同学们 A.(0,1) B.(1,3) 对圆锥曲线基本知识的掌握程度和基本的逻 C.(3,+∞) D.(0,十∞) 辑推理能力。 解法一：圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆 例2(2025年新高考全国Ⅱ卷第6 心为(0，一2)，半径为r,圆心到直线y= 题)设抛物线C:y2=2px(力>0)的焦点为 F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂 Bx+2的距离4=2+2到 =2,由圆x2十 W1+3 41 中学生款理化贺韁学怒典案破方清 (y十2)=r(r>0)上到直线y=√3x十2的 C.AB|≥6 距离为1的点有且仅有2个，得d一1<r< D.|AE·|BE≥18 d+1,所以r∈(1,3)。 解析：由题意知F(侵0)，结合抛物线的 故选B。 解法二：由题意知，圆x2十(y十2)2=r 定义知|AD「=|AF|,所以A正确；由通径 最短得AB|≥2p=6,所以C正确；设AB: (r>0)的圆心为E(0,一2)，半径为r。圆心 E(0,一2)到直线y=3x十2的距离d= x=my+ 之，A(x,y1),B(x,y),联立 3 10×√3-(-2)+21 =2, 3 √/(5)+(-1)9 x=my十2'消去x整理得y-6my一9 由图1可知，当r=1时，圆 y2=6.x, E上有且仅有一个点A到 0,则y1十y2=6m,y1y2=一9，所以x1+ 直线y=√5x+2的距离等 x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,所以1AB|= 于1；当r=3时，圆E上有 3 且仅有点B,C,D到直线 图1 +2+4+多=6m:十6，当m=0时， y=√3x+2的距离等于1；当r∈(1,3)时，圆 E(-名，O),|AEI=√AF+EF- E上有且仅有两个点到直线y=√3x十2的 3√2，|AB|=2p=6,此时|AE|≠|AB|,所以 距离等于1。 B错误；由上知，当=0时，1AE=|BE 故选B。 =3√2，则|AE1·1BE|=18,当m≠0时， 解法三：到直线y=√5x+2的距离为1 的点显然是与之平行的两平行线，当圆x?十 EF=一六y十是E(-号3m),则EF (y十2)=r2的半径r足够大时，显然两直线 =√9十9m,所以SA= 1 -1AE1· 都与圆相交，故排除CD;当r→0时，而圆 x2十(y十2)2=r2的圆心(0，-2)到直线 |BEIsin∠AEB= |ABI·IEF|= 2 |2+2 √3x一y+2=0的距离d= =2, 1 √（√3）2+1 (6m2+6)V9+9m>9,lAE1·1BE1≥ 显然不满足题意，故排除A。 18 故选B。 Sin∠AEB>18,综上可得1AE1·1BE1≥ 点评：本题考查点到直线的距离公式，直 18,所以D正确。 线与圆的位置关系等基本知识，考查数形结 故选ACD。 合、分类讨论等数学思想，以及运算求解能力， ,点评：试题考查同学们对圆锥曲线与直 试题背景源于教材，难度适中，要求同学们能 线的位置关系及度量关系的理解，考查对抛 将求圆的半径转化为求圆心到直线的距离。 物线概念的几何意义（包括焦，点、准线等）的 特点二：体现多想少算，落实“双减” 掌握，涉及抛物线焦点弦的二级结论，试题的 例4(2025年新高考全国I卷第10 四个选项之间存在一定的联系，减轻了同学 题)（多选）已知抛物线C:y=6x的焦点为 们的计算负担，符合“双减”的课程改革理念。 F,过F的一条直线交C于A、B两点，过A 特点三：坚持综合性考查，突出选拔功能 作直线l:x= 含的垂线，垂足为D,过F且 例5(2025年新高考全国Ⅱ卷第11 与AB垂直的直线交L于E,则()。 题)多透)双曲线C后 =1(a>0,b> A.ADI=AF 0)的左、右焦点分别是F:、F2,左、右顶点分 B.AE=AB 别为A1、A2,以F1F2为直径的圆与C的一 42 解整数买脑方清中学生款理化 条渐近线交于M、N两点，且∠NA:M-, MA,P-2M4|XMA,cos若，即4a2=2c 则( )o 十2a'-2√3a+c×√-aX%,则13a' A.∠AMA2=T 6 c2,所以|AM|2=16a,A2M2=12a2,所以 B.MA=2MA, |AM≠2|A,M,故B错误；对于C,根据13a C.C的离心率为13 =c2,有e=√3，故C正确；对于D,当a=√2 D.当a=√2时，四边形NA1MA,的面 时，A1M|=√32，|A,M|=√24，所以四边形 积为8√3 解法一：如图2，不妨 A,MA,N的面积S=A,MXA,M1sin若 设点M在第一象限，渐近 =V配×V×是-8v5,放D正确. 线为一名。对于A,由 故选ACD。 对称性可知，四边形 点评：本题以双曲线为背景，以对△AMO NAMA2为平行四边形， 的分析为切入，点，从数与形两个角度来描述双 所以∠A1MA2=元一 图2 曲线的性质。△A,MO中的边角关系是双曲线 的半焦距、半实轴长和渐近线之间性质特征的 ∠NAM=若，故A正 直接体现，同时也是双曲线标准方程中a,b,c 确；对于B,由题意知，OM=ON=c,所以 数量关系的体现。试题涵盖除双曲线外的多个 MA:和NA,垂直于x轴，故∠MA,A,=5 几何图形，如直线、圆、三角形、四边形，同学们 需要综合运用几何图形的性质，以及代数或儿 何方法，结合具体图形特征来选择解决问题的 IMA 吾-号，由正孩定理得A in 合理途径，对同学们的逻辑思维能力有一定的 sin- 要求，具有很好的选拔功能。 2a 二、课本溯源 后，故B错误：对于C,由前述分析知 b 题源1（人教A版选择性必修第一册 1 e-c 第124页例3)求双曲线9y2-16x2=144的 tan =√1+a 实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐 √1十(23)2=√个3，故C正确；对于D,由前 近线方程。 题源2（人教A版选择性必修第一册 述分析知，平行四边形MA1NA2的面积S= 第138页练习第2题)点M(m,4)在抛物线 2ab=4√3a2=8√3，故D正确。 y2=24x上，F为焦点，直线MF与准线相交 故选ACD。 于点N,求|FN|。 解法二：对于A,根据双曲线的对称性知 题源3（湘教版选择性必修第一册第 四边形A1MA2N为平行四边形，因为 ∠MAN=,所以∠MA,N=若，故A正 172页复习题三第14题)若双曲线C,二-岁 确；对于B,在△A1MO中，|A1M|2=a十c =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x一2)2+ y=4所截得的弦长为2，求C的离心率。 -2 aos∠M0A,=a+c'+2ae×2=3a 三、备考策略 +c2,在△A2MO中，|A,M12=a2+c2 通过对2025年解析几何客观题的分析， 发现解析几何客观主要题涉及两个专题：①直 2 ac cos∠MOA2=a2+c2-2ac×a=c2 线与圆；②圆维曲线的定义、方程与性质。下 a,在△A2MA1中，1A2A11=|MA12+ 面总结一下命题特点及解题策略： 43 中学生数理化 演练篇核心考点演练 高三数学2025年12月 “解析几何”跟踪训练 ■湖南省郴州市第二中学 颜昀晖 一、单选题 6.已知抛物线y2=2x,过点P(2,0)的 1.若双曲线的一条渐近线为y=x,则该 直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 双曲线的离心率为( 点，则y十y的最小值是()。 A.√3 B.√2C.5 D.2√2 A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点 7.设动点P到点A(一1,0)和B(1,0)的 A(2√2，a)在抛物线上，则|AF|=( )。 距离分别为d1和d2,∠APB=20,且存在常 A.1 B.4 C.2 D.3 数入(0入<1)，使得d1d,(1一cos20)=2入， 则ld1-d2=( ) 3已知椭圆C:十1的左、右焦点 A.2√1-入 B.T 分别为F1、F,,直线L过点F,且与C交于 C.√2-A D.2√2-入 A、B两点，则△ABF,的周长为()。 A.4 B.6 C.8 D.10 8.若点P在椭圆C:3十y=1上， 4.已知双曲线x2一4y2一64=0上一点 A(√5,0)，将AP逆时针旋转90°得到A P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P (若向量a=(m,n)绕其起点逆时针旋转90 与另外一个焦点的距离等于( )。 得到b,则b=(一n,m),点R在椭圆C2: A.13 B.17 C.15 D.16 5.如图1，已知 x+苦=4>0)上，且满足A=A, 线段PD的中点M 则椭圆C,的长轴长的取值范围是( )。 的轨迹是椭圆之十 A.[2√2,62] B.[2w2,6] C.[2√5,6√2] D.[2√3,63] y2=1,且PD⊥x 二、多选题 轴，D为垂足，则点 P的轨迹长度是 图1 9.已知双曲线C:x2一 3 =1,则下列对 ()。 双曲线C判断正确的是( )。 A.3π B.元 C.2π D.4π A焦点在y轴上 图ma南a图商ama南酒m高amam金a阁m图a面aa面图面am面y图图ma南面a面高ma南图am商ama面a念 (1)解析几何小题为压轴小题或半压轴 杂的平面关系，所以抛物线的问题易出基础 小题成为一种常态，高考题中的小题很少考 题，难题多以直线与抛物线的位置关系为主， 查二级结论性的问题，可适当补充二级结论， 考查解析法，巧解的较少，这和双曲线或椭圆 不宜以二级结论为主。 在方法上有区别，复习中要注意总结。 (2)直线与圆的位置关系的基础性小题 (5)高考解析几何题一般不给图形，以考 的地位逐渐提高，圆的切线是命题热点。 查同学们的建模能力。 (3)椭圆和双曲线一般考查的是曲线的 选择题和填空题体现基础性、综合性、应用 定义和性质的综合，以平面几何关系为解题 性的考查，需要同学们在掌握概念、公式、定理的 的主线，以方程、函数、解三角形、不等式为解 基础上，灵活运用所学知识解决问题。以定义 题的工具，很少用解析法联立解小题。 和性质为基础，综合平面几何关系与解三角形 (4)由于抛物线自身较简单，难以构建复 是常用方法和策略。 (责任编辑王福华) 44