第03讲 分式方程及应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学上册《知识解读•题型专练》

第03讲 分式方程及应用 知识点1：分式方程的概念 知识点2：分式方程的解法 知识点3：分式方程的应用 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【题型一 分式方程定义】 【典例1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【题型二 解分式方程】 【典例2】解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式1】解分式方程： (1)； (2)． 【变式2】解分式方程： (1)， (2)． 【变式3】解分式方程 (1)； (2)． 【题型三 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【变式1】若分式方程 有增根，求k的值． 【变式2】关于的分式方程无解，求的值． 【变式3】要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型四 分式方程应用-工程问题】 【典例4】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【变式1】我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 【变式2】某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【变式3】赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【题型五 分式方程应用-行程问题】 【典例5】小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 【变式1】“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【变式2】《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【变式3】某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【题型六 分式方程应用-销售问题】 【典例6】某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【变式1】某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【变式2】2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【变式3】列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【题型七 分式方程应用-其他问题】 【典例7】为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【变式1】得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某快递公司引入，两种无人配送车来提高快递的配送效率，已知型无人配送车比型无人配送车每天可以多送件快递，如果型无人配送车处理件快递需要的天数与型无人配送车处理件快递需要的天数相同，那么型无人配送车每天可以配送多少件快递？ 【变式2】某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ (2)现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 【变式3】2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．将方程 去分母，两边同乘后的式子为（   ） 3．若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．方程的解是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 6．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 7．关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（    ） A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠1 二、填空题 8．已知分式的值为，那么 ． 9．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 ． 10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费2000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程是 ． 11．下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第 （填序号）步开始出现错误的． 解：方程两边同乘， 得，，① 解得，② 经检验，是原分式方程的解．③ 12．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 13．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 三、解答题 14．解方程 (1) (2) 15．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 16．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 17．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式方程及应用 知识点1：分式方程的概念 知识点2：分式方程的解法 知识点3：分式方程的应用 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【题型一 分式方程定义】 【典例1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 【变式2】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式3】在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【题型二 解分式方程】 【典例2】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为； （2）解：， 去分母得，， 解得，        检验：将代入，        ∴原方程无解． 【变式1】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【详解】（1）两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； （2）两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 【变式2】解分式方程： (1)， (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． （2）解：∵． 方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 【变式3】解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． （1）方程两边同时乘以即可求解； （2）方程两边同时乘以即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解． 【题型三 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 【变式1】若分式方程 有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 【变式2】关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．分式方程先去分母，化简得，根据分式方程无解得到，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 化简得：， 方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式，解分式方程得出，结合原分式方程的解为负数即可得出，解不等式即可得出的取值范围，再根据分式方程的增根情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得：， ∵原分式方程的增根为或， 又∵方程的解为负数，故增根不符合题意， 为使原方程有解，还需满足， ∴， 解得：， 综上所述，且． 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型四 分式方程应用-工程问题】 【典例4】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【答案】(1)台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2)； (3)购买型台，型台． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； （2）解：依题意得：， 整理得：； （3）解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立， 解得：， 答：购买型台，型台． 【变式1】我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 【答案】(1)2 (2)8 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里，用总量除以速度表示时间，根据时间差列方程求解． （2）设需要y个人工工作队，使用1辆换轨车和y 个人工队同时作业总速度为每小时公里，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，根据速度乘以时间为完成的工作总量要不小于公里列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里 解得 经检验是原方程的解， 公里， 答：一辆型快速换轨车每小时更换钢轨2公里； （2）解：设需要y个人工工作队， ， ∴至少需要 8 个人工工作队． 【变式2】某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【答案】(1)规定的工期为天 (2)能完成，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设规定的工期为天，则乙完成需要天，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天，再根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设规定的工期为天，则乙完成需要天， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴规定的工期为天； （2）解：能完成，理由如下： 由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天， ， 故先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成． 【变式3】赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【题型五 分式方程应用-行程问题】 【典例5】小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 【答案】原计划的行驶速度是 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是，根据“实际比原计划多用了15分钟”，列出等量关系，即可求解． 【详解】解：设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是， 根据题意：， 解得：， 经检验，当是原分式方程的解， 答：原计划的行驶速度是． 【变式1】“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【详解】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 【变式2】《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 【变式3】某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【答案】中巴车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设中巴车的速度为，则大巴车的速度为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：中巴车的速度为． 【题型六 分式方程应用-销售问题】 【典例6】某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)6 (2)11 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批饮料购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，即可求出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为元，利用销售利润=销售单价×销售数量－进货总价，结合获利不少于4200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元， 依题意得：，解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为6元． （2）第一批饮料购进数量为：（瓶）， 第二批饮料购进数量为：（瓶）， 设销售单价为元， 依题意得：，解得， 答：销售单价至少为11元． 【变式1】某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2)该超市最多购进B型文具袋个； 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； 【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 【变式2】2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元 (2)A种商品至少购进10件 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键． （1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价． （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量． 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； （2）解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 【变式3】列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】(1)每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 (2)a的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； （2）解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 【题型七 分式方程应用-其他问题】 【典例7】为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【答案】(1)，； (2)升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式； （1）根据升级一条甲类、乙类生产线需投入资金间的关系，可得出升级1条甲类生产线需投入万元，再利用用万元升级甲类生产线的条数升级条甲类生产线需投入金额，可用含的代数式表示出用万元升级甲类生产线的条数； （2）根据用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：升级条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，且升级条乙类生产线需投入万元， 升级条甲类生产线需投入万元， 用万元升级甲类生产线的条数为条． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【变式1】得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某快递公司引入，两种无人配送车来提高快递的配送效率，已知型无人配送车比型无人配送车每天可以多送件快递，如果型无人配送车处理件快递需要的天数与型无人配送车处理件快递需要的天数相同，那么型无人配送车每天可以配送多少件快递？ 【答案】件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型无人配送车每天可以配送件快递，则型无人配送车每天可以配送件快递，根据题意列出分式方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型无人配送车每天可以配送件快递，则型无人配送车每天可以配送件快递， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：型无人配送车每天可以配送件快递． 【变式2】某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ (2)现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是 (2)公司至少安排A型机器人5台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程与不等式是解题的关键； （1）设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是．根据等量关系：A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同，列出分式方程，求解并检验即可； （2）设A型机器人有m台，则B型机器人有台．根据数量关系：10台机器人运送不少于的货物，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是． 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是． （2）解：设A型机器人有m台，则B型机器人有台． 由题意得：， 解不等式得：． 公司至少安排A型机器人5台． 【变式3】2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 【答案】(1)每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件； (2)至少需要安排6台A型机器． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，根据一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，列出分式方程，即可解答； （2）设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，依题意，得 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件． （2）解：设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据题意得 解得： 答：至少需要安排6台A型机器． 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 2．将方程 去分母，两边同乘后的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，根据等式的性质方程两边乘得出，问题即可作答． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 故选：D． 3．若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程解答即可，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， 解得， 故选：． 4．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 5．方程的解是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出后代入分母检验即可求解． 【详解】解： 即 解得 检验：将代入原方程的分母，，，故符合题意； 故选： D． 6．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 7．关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（    ） A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠1 【答案】D 【分析】解分式方程得： m + x -3=2-x即x=，由题意可知x≠2，即可得到m． 【详解】解： 方程两边同时乘以2-x得： m+x -3=2-x, 2x=5-m， x= ∵分式方程有解 ∴2-x≠0， ∴ x≠2， 即≠2， ∴m ≠1． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键． 二、填空题 8．已知分式的值为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；由题意得分式方程，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 9．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费2000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设纯电汽车每百公里的耗电费为 元，则每百公里的耗油费为 元，根据燃油汽车耗费 7000 元油费行驶的路程与纯电汽车耗费 2000 元电费行驶的路程相同，列出分式方程； 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为 元，则每百公里的耗油费为 元， 根据题意得，； 故答案为： 11．下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第 （填序号）步开始出现错误的． 解：方程两边同乘， 得，，① 解得，② 经检验，是原分式方程的解．③ 【答案】② 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先写出解分式方程的正确步骤，再对比嘉嘉同学的错误过程，即可得出答案． 【详解】解：正确解答为：方程两边同乘， 得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ∴该解答过程是从第②步开始出现错误的． 故答案为：②． 12．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【详解】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 13．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟悉分式方程的解法．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：4． 三、解答题 14．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键是不能忽视验根． （1）先去分母化为整式方程，再求解并验根； （2）先去分母化为整式方程，再求解并验根． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得：， 经检验是分式方程的根； （2） 去分母，得， 解得：， 经检验是分式方程的增根，原方程无解． 15．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 16．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为分式方程的解， 则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 17．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 (2)800件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $