重难点专题1圆锥曲线中离心率问题题型训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

重难点专题1圆锥曲线中离心率问题 重难点题型1由标准方程求离心率 1．（25-26高二上·安徽亳州·期中）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助离心率定义计算即可得. 【详解】可化为，则离心率． 故选：B. 2．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出、，从而求出，即可求出离心率. 【详解】椭圆，则，， 所以， 所以离心率. 故选：C 3．（25-26高三上·贵州·月考）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率的求法求得正确答案. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， . 故选：B 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 5．（25-26高三上·全国·月考）椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出，根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆方程可化为，长半轴，半焦距， 于是离心率． 故选：D． 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题可得， 故选：A 8．（2025·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 9．（2025·浙江绍兴·三模）已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出离心率. 【详解】因为椭圆的左顶点为， 所以，则，所以该椭圆的离心率. 故答案为： 10．（2025·湖南·三模）椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意,得到,求出离心率 【详解】由椭圆的标准方程可得,则， 则. 故答案为：. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据离心率公式直接求解即可 【详解】由椭圆得， 故答案为： 重难点题型2由简单几何性质求离心率 12．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 可得，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 13．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，化简得，解得，故C正确. 故选：C 14．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点到渐近线的距离公式即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为. 因为，所以，，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 15．（19-20高二下·安徽·期末）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的斜率为即可求解. 【详解】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故， 故选：A 16．（23-24高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率的公式求解即可. 【详解】由题意，故，故. 故选：B 17．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 18．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据焦距定义得到，再利用椭圆离心率公式即可得到答案. 【详解】因为焦距，所以， 所以，离心率为. 故答案为：. 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线是，所以， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 20．（24-25高三上·青海玉树·月考）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则其离心率为 【答案】/ 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以离心率为， 故答案为：. 重难点题型3通过几何特征建立数量关系 21．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D    22．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接，根据直线的斜率有 ，从而得到，.设，则，根据双曲线定义 ，在和中，由余弦定理得①.②.两式结合得，计算离心率即可. 【详解】如图，连接，因为直线的斜率为，所以 ， 结合，所以，. 设，则，因为，， 所以 ， 在中，由余弦定理得 ， 即 ， 整理得①. 在中，由余弦定理得 ， 即 ，整理得②. 由①②可得，即，所以的离心率为. 故选：B. 23．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，根据求出，，再在中求出，利用算两次的思想即可求出关于的等式，进而求出离心率. 【详解】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则， ， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率. 故选：A 24．（24-25高二下·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据双曲线方程及性质求出的长度，再利用正三角形性质和双曲线定义建立关于离心率的方程，从而求得离心率. 【详解】由题可知：过作轴的垂线交双曲线于两点，所以. 又因为是正三角形，所以为直角三角形且；所以. 根据双曲线定义可知：，即，解得. 所以. 故选：. 25．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】结合图形对称性，根据条件推出，借助于，易求得离心率. 【详解】    如图，设双曲线的渐近线分别与直线交于点， 依题意，直线垂直平分，则， 由渐近线的对称性知，，故， 在中，因，则， 故，解得. 故选：B. 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取、，分析可知直线的倾斜角为，结合斜率公式可求出的值，再利用双曲线的离心率公式可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 双曲线的两条渐近线方程为， 不妨取、，为等腰直角三角形， 由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 27．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知椭圆与抛物线有公共焦点F，与的交点为A，B，且A，B，F三点共线，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，即得，令，求出，利用A，B，F三点共线，得，化简即可求得的离心率. 【详解】因为与有公共焦点，所以，即． 令，得．根据对称性，不妨取． 因为三点共线，所以， 因为，则得 即，解得或舍去． 故选：C. 28．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 29．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率 【详解】由是一个等边三角形，可得 即，则有，即 则双曲线C的离心率 故选：A 30．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知分别是椭圆的左、右焦点，动直线与交于两点，当的周长最大时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆的定义求出的周长最大时动直线的位置，结合已知和离心率的定义可得结果. 【详解】因为的周长为： ，当且仅当三点共线时等号成立， 即直线过点时的周长最大，此时， 所以，即，所以，即， 故选：D. 31．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. 32．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，若，其中为坐标原点，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过椭圆的对称性及椭圆定义求出，然后通过列式计算求出离心率. 【详解】由椭圆的对称性可得， 则， 所以，， 又，得， 所以 所以. 故选：C. 33．（23-24高二上·浙江杭州·期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义和得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率. 【详解】设，则，， 由双曲线定义得，故， 由勾股定理得，即①， 连接，则，故， 由勾股定理得，即②， 由②得，代入①得，故. 故选：C 34．（2023·江西南昌·二模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义及线段的关系建立方程，解出再利用双曲线离心率公式计算即可 【详解】因为，，， 所以，所以． 由双曲线的定义得：， 所以， 所以 在中， 所以． 故双曲线的离心率为. 故选：D. 35．（2024·福建厦门·三模）已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用渐近线方程和过焦点的垂线方程可求得垂足点A坐标为，再由向量关系去求出点的坐标，再代入双曲线方程可得离心率的关系式，最后可解得. 【详解】 由右焦点作一条渐近线的垂线，可设直线方程为：， 与该渐近线方程：，联立方程组解得：， 即点A坐标为，再设点，则由可得： ，即， 把该点代入椭圆方程可得：， 化简得：，由双曲线的离心率可得： ，解得：， 因为双曲线的离心率，所以， 故选：B. 36．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 37．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的一个顶点为，虚轴的一个端点为，直线与的一条渐近线相交于点，点恰好在以实轴为直径的圆上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线的性质，结合点恰好在以实轴为直径的圆上，可得为等边三角形，进而可得离心率. 【详解】不妨设双曲线，，，， ， 所以直线与其中一条渐近线平行， 又直线与另一渐近线相交于点， ，即， 又， 为等边三角形， ， ， 故选：B. 38．（23-24高三下·湖南·月考）已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形，可得，由此可求椭圆的离心率． 【详解】易知，所以，离心率为. 故答案为： 39．（2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，与联立求，与联立求，利用中点公式求，根据关系，，三点共线列方程可得，结合离心率定义求结论. 【详解】由题意可设，，， 设直线的方程为， 令，可得，令，可得． 设的中点为，可得， 因为，，三点共线， 所以，又，， 所以， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 重难点题型4中点弦与离心率问题 40．（25-26高三上·云南昆明·期中）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，其中点在轴上，若，则椭圆的离心率等于（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设为上顶点，过作轴于，根据条件，利用相似比求得，利用点在椭圆上，建立方程，即可求解. 【详解】如图，不妨设为上顶点，过作轴于， 易知，则，因为， 所以，又，则， 所以，又在椭圆上， 所以，整理得到，所以，    故选：D. 41．（25-26高二上·重庆·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 42．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 43．（24-25高二上·湖北孝感·月考）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 44．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆的右焦点为F，点，若椭圆C经过线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出线段PF的中点坐标，代入椭圆方程，化简即可. 【详解】因为，所以线段PF的中点坐标为． 因为椭圆C经过线段PF的中点，所以，化简可得, 即椭圆C的离心率为． 故选：C． 45．（24-25高三上·浙江·月考）在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出的轨迹的方程，进而求出其离心率. 【详解】在矩形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，设， 由，得，由共线、共线，得， 整理得，即， 因此的轨迹方程为， 的轨迹是长半轴长，短半轴长的椭圆（除长轴端点外）， 所以的轨迹的离心率是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：建立适当的平面直角坐标系，求出的轨迹方程是求解问题的关键. 46．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 47．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 48．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】法一：设，得到，求得，联立方程组，求得的值，代入，可得，即，进而求得双曲线的离心率； 法二：设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于，根据题意，得到和，求得，结合，求得，即，进而求得双曲线的离心率. 【详解】法一：设双曲线的渐近线斜率，则，， 因为线段中点为，可得，且， 又因为，则，解得， 联立方程组，解得， 代入，可得，即，所以离心率. 法二：如图所示，设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于， 因为，即，可得， 又因为线段中点为，可得， 所以，则， 又由，所以，解得，即， 所以离心率. 故选：C.    49．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，由几何关系得，再根据双曲线定义知，联立即可求出离心率. 【详解】由题意设， 因为为线段的中点，所以， 又，所以，则， 根据双曲线定义知，所以， 解得，故双曲线的离心率为. 故选：C 50．（24-25高二下·河北·期末）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的相关概念、焦点坐标与通径以及中点坐标公式，可得所有点的坐标，再将点的坐标带入渐近线方程，根据离心率的计算，可得答案. 【详解】 由题意可得，．因为E是的中点，所以， 经过第一象限的渐近线方程为，所以，所以． 故选：D. 51．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为 D．直线的方程为 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程直接求长轴长和离心率，利用点差法求中点弦所在直线方程. 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 如图： 则，，. 椭圆的长轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，，，，则，， 两式作差可得：， 为线段的中点，，，则， 直线的方程为，即，故C错误，D正确. 故选：BD 重难点题型5找等量关系求离心率的取值范围 52．（2026高三·全国·专题练习）已知，是椭圆的左，右焦点，若上存在不同的两点，，使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，再由韦达定理及得，则有，求解即可. 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 设直线的方程，，， 联立，整理得， 则，， 由，可得 则，结合，得， 所以， 化简整理得， 则，即， 所以椭圆的离心率，又， 所以的离心率的取值范围为. 故选：C 53．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 54．（25-26高二上·浙江·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【详解】设，由椭圆的定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：C 55．（2025高三·全国·专题练习）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为，所以，得到， 又，所以，得到，所以，又，故， 故选：C. 56．（25-26高二上·天津·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 57．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得． 直线的斜率分别为，且， ，，， ． 58．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 59．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，由可得，据此可得答案. 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则. 故选：C． 60．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出直线的方程，表示出，利用函数单调性可得答案. 【详解】由题意得，直线的方程为，则， 直线的方程为，故,， 由可得，整理得， 函数在上单调递减，即， 故选：C． 61．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，进而得出，再求出离心率范围即得. 【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点， 因此，又点在椭圆上，则，即，整理得， 即，而，因此， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 62．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案. 【详解】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 63．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，，与椭圆联立并结合，可得即可求解. 【详解】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，， 设直线的方程为，，联立， 整理得，则①，②， 由可得③，联立①②③消去可得， 则，即，所以， 所以离心率的取值范围为. 故答案为： 64．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用圆的切点的性质得出圆心到点的距离，利用椭圆的性质得出点到点距离的取值范围，根据已知条件列不等式得出的范围，最后利用离心率公式求出离心率的取值范围． 【详解】   为圆的切线，， ，， ， ， 点到原点的距离为， 若存在满足条件，则，即， ， ， ，又，． 故答案为：． 65．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答． 【详解】由题可得，， 又，则有， 由椭圆的定义知：， 当且仅当等号成立， 所以，则， 又椭圆的离心率小于1，所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 66．（2025高三·全国·专题练习）如图1，已知椭圆 为右焦点弦，若面积的最大值恰好在时达到（如图2），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题设与椭圆方程联立，写出韦达定理，结合图形，将的面积表示出来，利用换元，得到，由可得时，面积取得最大值，结合对勾函数的单调性可得，利用的关系即可求得离心率的范围. 【详解】依题意，弦所在直线的斜率不为0，可设直线， 代入，得， 因，整理得，则， 设，则 于是 ，（令） ． 由，结合图形知当时，即时，的面积取得最大值. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 依题意需使，即，，从而，解得 故答案为：. 67．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆上一点到左准线的距离公式及等比中项的性质，解出点的横坐标，根据椭圆上一点的横坐标范围，得到一个不等式，解不等式得到离心率的取值范围即可. 【详解】如图，结合椭圆第二定义可得点到左准线的距离， 依题意，，即， 设点的横坐标为， 故，解得， 由知， 故，即，，解得或（舍）， 结合椭圆离心率的范围，得到的取值范围是. 故答案为：. 68．（24-25高二下·云南昭通·期中）记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 【答案】 【分析】由题意，转化为比较直线与渐近线的斜率，再求离心率的范围. 【详解】双曲线的渐近线的斜率， 若过原点的直线与双曲线C有公共点， 则直线的斜率小于，即，则， 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 69．（23-24高二上·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【答案】 【分析】由已知及圆的性质，得四边形是正方形，得，由得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 重难点题型6利用已知角度求离心率取值范围 70．（11-12高三下·陕西西安·月考）设F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，c＝，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由已知P()，所以F1P的中点Q的坐标为( 由kF1P= ，kQF2= ，kF1P•kQF2=-1，⇒y2=2b2- ∴y2=(a2-c2)(3-)＞0⇒(3-)＞0，1＞e＞ 当kF1P=0时，kQF2不存在，此时F2为中点， 综上得 ≤e＜1．故选D． 71．（2020高二下·浙江·学业考试）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为.若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，然后可得，然后结合和可得，解出即可. 【详解】由题意可得， 所以，所以 所以，所以，所以 所以，所以，解得或 因为，所以 故选：D 【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题. 72．（20-21高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形． 根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α， 所以， 利用， ∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是， 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 73．（20-21高三上·重庆南岸·月考）已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. 【详解】   如上图，若为圆的两条切线，且， ∵， ∴四边形为正方形，则， ∴即可，则，得， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：要使条件成立，和两个切点围成的四边形为正方形，根据正方形的性质得，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围. 74．（17-18高二上·福建莆田·月考）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，得到，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案. 【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点， 设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形， 根据椭圆的定义，且，则， 所以， 又由离心率的公式得， 由，则， 所以 ，即椭圆的离心率的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据椭圆的几何性质，把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 重难点题型7利用有界性建立不等式关系 75．（21-22高三下·河北衡水·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率， 故选：A. 76．（19-20高三下·四川成都·月考）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得，且为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】将，整理可得，又为正三角形，可得P的坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系可得双曲线的离心率． 【详解】 如上图，因为，整理可得， 又为正三角形，所以可得， 而P又在双曲线上，所以， 整理可得，所以可得． 故选：D． 【点睛】本题考查双曲线的性质，及正三角形的性质，属于中档题． 77．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及其有界性，得到，根据离心率的性质求得其范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点在双曲线右支上，且， 根据双曲线的定义，可得，可得， 结合双曲线的几何性质，可得，可得，所以， 又因为，所以离心率的取值范围为， 结合选项，可得D项，不符合题意. 故选：D. 78．（2012·浙江台州·二模）．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为 A．(1,2] B． C． D．(1,2) 【答案】B 【详解】解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c-a∴e="c" /a ≤2又∵b＞a，∴c2-a2＞a2，∴e="c" /a ＞ 2∴e∈( 2 ，2] 79．（20-21高三·云南昆明·月考）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆定义求出焦半径，利用可得离心率的不等关系，求得其范围． 【详解】所以，又，所以， ， 故选：D． 80．（2023·全国·模拟预测）若双曲线C：的左､右焦点分别为，，点是其右支上的动点，与其左支交于点.若存在，使得，则的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求出，从而求解. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以，解得. 故答案为：. 81．（23-24高二上·辽宁·期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据,且双曲线上的点到焦点的最小距离为，得到，进而求得离心率的范围. 【详解】因为分别为的中点，所以. 又双曲线上的点到焦点的最小距离为， 所以，解得， 因此双曲线的离心率e的取值范围是． 故答案为：． 82．（2019·重庆·一模）已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（）•0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由•0，可得（）•（）＝0，即|OP|＝c，则∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，令m=kn，结合双曲线定义及不等式求得e的范围从而求得结果. 【详解】•0，即为（）•（）＝0， 即为22，可得|OP|＝c， 即有∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a， 且m2+n2＝4c2，令m=kn， ∴n，m． △PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝4c2， ∴（）2+（）2＝4c2， ∴（）2+（）2＝e2，又k， e2=， 即有， 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题. 83．（20-21高二上·重庆沙坪坝·月考）椭圆的右焦点为，直线与x轴的交点为A，在椭圆E上存在点P满足线段的垂直平分线过点F，则椭圆E离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，再结合的最大值和最小值得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由中垂线的性质可得：，又有，于是 ，，，又， 解得：． 故答案为：． 重难点题型8利用解三角形建立关系 84．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得. 【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得， 在中，，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线C的离心率为.    故选：C 85．（23-24高三下·江苏·月考）在平面直角坐标系中，设是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】画出示意图，根据双曲线的定义得到，再由为等边三角形，求得，在中，应用余弦定理求得的关系，得到双曲线的离心率. 【详解】 不妨设在右支，则，又， 则，，，，， ，， 即，由，. 故选：D． 86．（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，设，则，由双曲线的定义解得 或，然后分类讨论，并借助余弦定理和即可得解. 【详解】 ，A、B、三点共线， 设，由双曲线定义得，， 所以，∵， ， 即，解得或， 由，则，得，所以， ，解得， 故选：D. 87．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义求出，结合余弦定理可求离心率. 【详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 88．（23-24高三下·浙江·开学考试）双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由题意可知且三点共线，设，根据双曲线的定义求得，，，在、中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】如图，设关于平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段的垂直平分线， 所以，且三点共线，设， 则，，所以， 在中，由余弦定理，得， 又，所以，解得，所以， 在中，由余弦定理，得， 整理，得，由，解得. 即双曲线的离心率为. 故选：B 89．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【分析】在中，表示出，，，然后利用余弦定理计算求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以，． 由，得，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或，故椭圆的离心率为或． 故答案为：或. 重难点题型9利用坐标法或联立方程求解 90．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意可得， 由于，所以， 由于在椭圆上，所以，化简可得， 由于，故， 故选：D    91．（23-24高三下·福建泉州·开学考试）已知双曲线的左右顶点分别为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合得，由离心率公式即可得解. 【详解】设，则， 所以， 所以. 故选：C. 92．（23-24高三上·贵州黔西·月考）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，从而可得过点且与直线垂直的直线方程，令，求出，再结合已知条件，根据离心率公式即可得解. 【详解】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为， 则过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则， 则，所以， 所以此双曲线的离心率是. 故选：C.    93．（2018·浙江·三模）已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出点M的坐标代入双曲线方程化简得，即可求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F， 因为为顶角为的等腰三角形，所以，， 则，所以，， 则点的坐标为， 代入双曲线方程得，化简得， 所以双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的概念和性质、求双曲线的离心率，属于基础题． 94．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件作出图象，利用坐标关系式即可得出关系式，进而得出结果. 【详解】不妨设在第二象限，如图，垂直于轴， 代入，可得，可知， 直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点， 则，所以， 又在双曲线的渐近线上， 可得， 解得，即双曲线的离心率为． 故选：C 95．（16-17高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，， 设，代入椭圆的方程，可得， 则， 即，即. 又因为，所以. 故选：A. 96．（22-23高三下·江西南昌·月考）如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可构造方程，利用表示出坐标，由可构造齐次方程求得，由可求得结果. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为， ，，， 设，则，，即， ，，又，，， ，，， 双曲线的离心率. 故选：D. 97．（2017·山东日照·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程, 求得CB的方程, 解得E的坐标, 即为中点, 运用等腰三角形的性质, 可得 , 再由两点的距离公式和离心率公式, 解方程可得所求值. 【详解】根据双曲线的性质可以得到，，，，双曲线的渐近线方程，直线方程：， 联立得到，即点，所以是线段的中点， 又因为，所以，可得三角形为等腰三角形， 而，，故， 因为，所以， 因为，即， 所以， 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法, 注意运用双曲线的渐近线方程, 等腰三角形的性质, 以及 方程的思想, 考查运算能力, 属于较难题. 98．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解. 【详解】设椭圆的半焦距为c， 由题意可得：， 可得：， 由图可得：∠APB即为的补角， 若∠APB为钝角，即为锐角， 由图可知，故原题意等价于， 整理得，且，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 99．（24-25高三上·江西南昌·期末）已知椭圆上有一异于顶点的点分别是椭圆的左、右顶点，且两直线的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，设，利用线的斜率的乘积为计算即可. 【详解】由题意可知，，设， 则， 于是 所以， 所以. 故答案为：. 100．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，由，可得，进而可得，可求椭圆的离心率. 【详解】根据题意可得，设， ，，， 又点在椭圆上， ，∴椭圆的离心率为． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题1圆锥曲线中离心率问题 重难点题型1由标准方程求离心率 1．（25-26高二上·安徽亳州·期中）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州·月考）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 5．（25-26高三上·全国·月考）椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 8．（2025·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为 ． 9．（2025·浙江绍兴·三模）已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为 ． 10．（2025·湖南·三模）椭圆的离心率为 . 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）椭圆的离心率为 ． 重难点题型2由简单几何性质求离心率 12．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（    ） A． B．1 C． D．2 14．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．（19-20高二下·安徽·期末）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 16．（23-24高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 . 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 20．（24-25高三上·青海玉树·月考）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则其离心率为 重难点题型3通过几何特征建立数量关系 21．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 23．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 24．（24-25高二下·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知椭圆与抛物线有公共焦点F，与的交点为A，B，且A，B，F三点共线，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 30．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知分别是椭圆的左、右焦点，动直线与交于两点，当的周长最大时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 32．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，若，其中为坐标原点，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·浙江杭州·期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 34．（2023·江西南昌·二模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C． D． 35．（2024·福建厦门·三模）已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 36．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 37．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的一个顶点为，虚轴的一个端点为，直线与的一条渐近线相交于点，点恰好在以实轴为直径的圆上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高三下·湖南·月考）已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为 . 39．（2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ． 重难点题型4中点弦与离心率问题 40．（25-26高三上·云南昆明·期中）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，其中点在轴上，若，则椭圆的离心率等于（　　） A．3 B． C． D． 41．（25-26高二上·重庆·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 42．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·湖北孝感·月考）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆的右焦点为F，点，若椭圆C经过线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高三上·浙江·月考）在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．   48．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（    ） A． B． C．2 D． 49．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 50．（24-25高二下·河北·期末）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 51．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为 D．直线的方程为 重难点题型5找等量关系求离心率的取值范围 52．（2026高三·全国·专题练习）已知，是椭圆的左，右焦点，若上存在不同的两点，，使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·浙江·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（2025高三·全国·专题练习）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高二上·天津·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 62．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 63．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 64．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 65．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 66．（2025高三·全国·专题练习）如图1，已知椭圆 为右焦点弦，若面积的最大值恰好在时达到（如图2），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 67．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 68．（24-25高二下·云南昭通·期中）记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 69．（23-24高二上·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 重难点题型6利用已知角度求离心率取值范围 70．（11-12高三下·陕西西安·月考）设F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，c＝，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 71．（2020高二下·浙江·学业考试）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为.若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 72．（20-21高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 73．（20-21高三上·重庆南岸·月考）已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（      ） A． B． C． D． 74．（17-18高二上·福建莆田·月考）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是 ． 重难点题型7利用有界性建立不等式关系 75．（21-22高三下·河北衡水·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 76．（19-20高三下·四川成都·月考）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得，且为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（    ） A．6 B．5 C． D． 77．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 78．（2012·浙江台州·二模）．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为 A．(1,2] B． C． D．(1,2) 79．（20-21高三·云南昆明·月考）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 80．（2023·全国·模拟预测）若双曲线C：的左､右焦点分别为，，点是其右支上的动点，与其左支交于点.若存在，使得，则的离心率的最大值为 . 81．（23-24高二上·辽宁·期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 82．（2019·重庆·一模）已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（）•0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 83．（20-21高二上·重庆沙坪坝·月考）椭圆的右焦点为，直线与x轴的交点为A，在椭圆E上存在点P满足线段的垂直平分线过点F，则椭圆E离心率的取值范围是 . 重难点题型8利用解三角形建立关系 84．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 85．（23-24高三下·江苏·月考）在平面直角坐标系中，设是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 86．（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 87．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 88．（23-24高三下·浙江·开学考试）双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 89．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 重难点题型9利用坐标法或联立方程求解 90．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 91．（23-24高三下·福建泉州·开学考试）已知双曲线的左右顶点分别为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 92．（23-24高三上·贵州黔西·月考）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 93．（2018·浙江·三模）已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 94．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 95．（16-17高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 96．（22-23高三下·江西南昌·月考）如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 97．（2017·山东日照·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 98．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 99．（24-25高三上·江西南昌·期末）已知椭圆上有一异于顶点的点分别是椭圆的左、右顶点，且两直线的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为 ． 100．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $