3.1.4直线与椭圆的位置关系题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.4直线与椭圆的位置关系 知识点1:点与椭圆的位置关系 焦点在轴上 焦点在轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点2:直线与椭圆的位置关系 （1）判断直线与椭圆的位置关系: 联立消去得一个关于的一元二次方程. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）; ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）; ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点. （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤: ①得出直线方程,设交点为,; ②联立直线与曲线方程,得到关于x（或y）的一元二次方程; ③写出根与系数的关系; ④将所求问题或题中关系转化为关于,的形式; ⑤代入求解. 知识点3:直线与椭圆相交的弦长 （1）定义:连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. （2）求弦长的方法 ①交点法:将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法: 如果直线的斜率为,被椭圆截得弦两端点坐标分别为,,则弦长公式为: 知识点4:解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决; （2）点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、,其中中点为,则有。 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴,∴。 特殊的:直线（存在斜率）过椭圆（）上两点、,线段中点为,则有. 培优题型1点与椭圆的位置关系 1．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 3．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 4．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 5．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系. 【详解】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋ ＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外． 故选:D. 6．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即，解得或. 故选：B. 7．若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆没有交点，由点线距离出不等式化简得，则在内，结合椭圆的几何性质可知也在椭圆内，故交点个数为2. 【详解】由题意得，圆心到直线的距离，即， 则点在圆内， 由椭圆几何性质知点也在椭圆内， ∴与椭圆的交点个数为. 故选：B 8．已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出椭圆方程，由于不在椭圆的外部，得到，结合，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故选：B 9．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 10．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【分析】先根据点在椭圆的外部，求出的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即， 则圆的圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相交 故选：B 【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 12．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由椭圆，可得：左、右焦点分别为，，由，可得直线与直线交点在椭圆的内部．进而判断出A正确；B不正确；C直线与椭圆联立，可得直线与椭圆无交点．而点在椭圆的内部，在直线的左下方，即可判断出正误． D根据，，代入化简即可判断出正误． 【详解】解：由椭圆，可得：，，． 左、右焦点分别为，， 因为，， 所以即， 在圆上，它在椭圆的内部，故，A正确，B不正确； 直线与椭圆联立，可得：无解， 因此直线与椭圆无交点． 而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确． ，，，因此D正确． 故选：ACD. 13．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 培优题型2直线与椭圆的位置关系 14．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 15．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 16．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 17．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 18．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 19．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 20．已知直线和椭圆，下列结论正确的有（   ） A．当时，直线过椭圆C的焦点 B．当时，直线与椭圆C相交 C．当时，直线与椭圆C没有公共点 D．当时，椭圆C上的点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】分析椭圆的性质，可判断A的真假；将直线方程与椭圆方程联立，利用，可判断BC的真假；利用平行线间的距离公式，可判断D的真假即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    对椭圆，，，， 且焦点在轴上，所以焦点坐标为或. 将直线的方程与椭圆的方程联立，可得， 消去，整理得：. 由 . 对A：当时，直线：经过点，故A正确； 对B：当时，直线与椭圆相交，故B正确； 对C：当时，直线与椭圆相切，所以直线与椭圆有且只有1个公共点，故C错误； 对D：因为直线与的距离为， 所以椭圆C上的点到直线：距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 21．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，该距离等于直线与直线的距离， 此时直线的方程为，又直线的方程为， 所以椭圆上的点到直线距离的最大值为.   故答案为：. 22．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可. 【详解】直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：总有公共点， 所以点在椭圆内部或椭圆上， 则有， 故答案为： 23．已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 【答案】或 【分析】把直线方程代入椭圆方程，利用判别式法直接求解. 【详解】由直线的方程特征可知，随着的变化，直线平行移动， 若直线与椭圆有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程联立方程组应有唯一解. 联立直线与椭圆的方程，得 消去，并整理，得③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或. 24．已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C； (2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两圆的位置关系，确定点的轨迹，再求其标准方程. （2）将直线方程与点的轨迹方程联立，根据方程组只有1解求的值. 【详解】（1）如图：    设圆的半径为，因为圆与圆内切，与圆外切， 由已知，圆心，半径为5，圆心，半径为1， 所以，两式相加得：. 所以点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，， 所以. 所以圆心的轨迹方程为. （2）将代入， 得：， 整理得：. 因为直线与C有且只有一个公共点， 所以，即， 即，解得或. 25．求直线和椭圆的公共点的坐标． 【答案】， 【分析】联立直线与椭圆方程，求出方程组的解，即可得到交点坐标. 【详解】直线和椭圆的公共点的坐标就是方程组的解， 消去得，即，解得、， 所以解这个方程组得或， 因此，所求公共点的坐标为，． 26．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和 (1)求椭圆C的标准方程； (2)求直线和椭圆C的公共点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C的方程为且，列出关于的方程求解即可； （2）联立直线和椭圆C的方程求解即可． 【详解】（1）设椭圆C的方程为且， 椭圆C过两点和， 则且，解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）由消元得，解得或， 当时，；当时，， ∴直线和椭圆C的公共点的坐标为． 培优题型3直线与椭圆相切的应用 27．若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出椭圆的部分，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的值，再求出直线过椭圆右端点时的值，即可得到得范围. 【详解】设，，两边同平方得，化简得（）， 则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分， 则题目转化为直线与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为，易得其坐标为， 当直线与半椭圆相切时，显然由图得， 联立，得， 则 化简得，解得或（舍）， 当直线经过点时，得，解得， 则， 故选：B. 28．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【答案】 【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程 【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中得， ， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 29．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解. 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 30．已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：，，由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点， 所以直线的方程为：，切点的坐标． 故答案为： 31．在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点到直线的最大值． 【详解】解：设直线与椭圆相切 联解消去，得 ，解得或 与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 其中与直线距离较远的是，且距离为， 到直线的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题． 32．若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立方程组得，利用判别式求，从而利用平行线的距离公式得到答案. 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得，消去，整理得， 由，即，解得. 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离. 由可知符合题意. 将代入，即，可解得， 将代入可得，则点的坐标为，此时距离的最大值为. 故答案为：；. 33．已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求. 【详解】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 表示斜率为1的一组平行线，    若直线与椭圆相切时，由得， 所以，解得（负根舍去）， 当两图象有两个交点时，根据图象， 纵截距的取值范围为：. 故答案为： 34．已知直线交椭圆于点、，点在此椭圆上运动．求点到直线的距离的最大值？ 【答案】 【分析】首先求出与直线且与椭圆相切的直线方程，则点到直线的距离的最大值即为其中一个切点到直线的距离，再利用两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】设与直线平行的直线为， 由，消去整理得， 令，即，解得， 所以直线、均与椭圆相切且与直线平行， 因为点在此椭圆上运动，要求点到直线的距离的最大值， 则当点在直线与椭圆的切点是点到直线的距离的最大， 此时点到直线的距离的最大值为两平行线与直线的距离， 即点到直线的距离的最大值为.    35．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，其中一个顶点是抛物线的焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆在第一象限相切于点，求直线的方程和点的坐标． 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）由抛物线的焦点为得，离心率得，从而可求出，得椭圆方程； （2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用可求解． 【详解】（1）由抛物线的焦点为，它是椭圆的一个顶点，则， 又，所以，解得． ∴椭圆方程为； （2）过斜率不存在的直线为，是椭圆的切线，此时切点为．此时不满足在第一象限. 过斜率存在的切线方程设为，由 得， ∴，， 此时，，即． 直线方程为，即． 切线方程为，切点． 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的切线，解答本题的关键是分切线的斜率存在和不存在进行讨论，过斜率存在的切线方程设为,由方程联立，其求解,属于中档题. 36．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则椭圆半焦距长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出与直线平行，且距离为的直线方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，由题意，该直线与椭圆E相切或没有公共点，利用判别式，可得，根据离心率，可得a，c的关系，代入所求，即可得答案. 【详解】直线过第二、三、四象限，由题意得，椭圆E与直线没有公共点， 所以直线在椭圆E的下方， 设直线l在的上方，与直线平行，且距离为， 则直线l方程为， 所以，解得或7（舍）， 所以直线， 联立，得， 因为椭圆上的点到直线的最短距离不小于， 所以直线l与椭圆E相切或没有公共点， 所以， 解得， 因为离心率，所以，， 所以，解得， 又，所以椭圆半焦距长c的取值范围. 故选：B 培优题型4椭圆的弦长问题 37．已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 38．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 39．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，联立方程组，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 联立方程组，解得， 如图所示，可得，所以. 故选：C. 40．若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得为直角三角形，利用余弦定理求得，由同角三角函数关系式求得，即的值. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆及直线的对称性，知. 若点B在第一象限，因为，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以. 所以，所以. 由椭圆及直线的对称性，. 故选：D.      41．已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆定义及其性质计算即可得. 【详解】由， 可得点到与的距离之和为，又， 由椭圆定义可知，曲线为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 由椭圆中长轴为最长弦，故的最大值为. 故选：C. 42．已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【详解】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 43．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点的最长、最短弦求出范围. 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 44．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 45．已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（    ） A．8 B．6 C．5 D． 【答案】A 【分析】通过三角形的面积以及弦长公式，转化求解即可． 【详解】解：因为，所以，， 过椭圆左焦点且斜率为， ． 故选：． 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题． 46．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用两点间距离公式得到弦长为，再根据点在椭圆上可得，然后求最值即可. 【详解】直线恒过定点，且点在椭圆上， 设另外一个交点为，所以，则，弦长为， 当时，弦长最大，为. 故选：B. 47．已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的几何性质得到点，再假设点，利用两点距离公式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为椭圆C的方程为：，则， 设，则，故，且， 所以， 当时，取得最大值，故. 故选：C. 48．直线被椭圆截得最长的弦为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程和椭圆方程，解方程可得两根，运用弦长公式，结合配方法，以及二次函数的最值求法，可得答案 【详解】解：联立直线和椭圆，可得， 解得或， 则弦长， 令，则 ， 当，即，取得最大值， 故选：B 49．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率为，可得，则， 所以椭圆的方程为，即， 由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 所以， 解得，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 培优题型5椭圆的通径问题 50．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为椭圆的右焦点，将代入椭圆方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】在椭圆中，，，则. 不妨设点为椭圆的右焦点，则， 将代入椭圆的方程得，解得，故. 故选：B. 51．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入椭圆方程，即可得解. 【详解】不妨设为右焦点，则， 联立，解得，故． 故选：B． 52．已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用通径公式结合题意列出关系式，即可求解. 【详解】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为， 则，得， 即，所以的离心率为． 故选：C 53．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 54．过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 55．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】求出椭圆的通径，即可得到结果． 【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：． 故选：A． 56．已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果. 【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得， 因为PF1∥QF2，所以，从而，选C. 【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题. 57．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，根据平行关系得到方程，得到，从而求出离心率. 【详解】由已知得：， 将代入椭圆中，，解得， 因为A，B分别是椭圆的右、上顶点，且，所以， 其中， 由得：， 解得， 由得：， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C. 58．设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6， 由中位线定理可得PF2⊥x轴， 令x=2，可得y= 即有|PF2|=，|PF1|=， 则 故选C． 59．设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中位线性质得轴，则得到，再根据椭圆定义即可得到答案. 【详解】，则，则， 设线段的中点为M， 因为O是的中点，所以，可得轴，令， 得，，． 故选：D． 60．已知点F，A分别为椭圆(，)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且，若的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，则是的中位线，然后利用平行关系建立等式关系得出，的关系，再根据的最小值为，进而可以求解． 【详解】如图，连接OB，AQ， 则OB是的中位线， ，即， ，又的最小值为，， ，，. 故椭圆C的标准方程为. 故选：C. 61．已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程. 【详解】由题可得，所以， 又，所以，得，， 所以椭圆的方程为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解. 62．设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 【答案】 【分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率. 【详解】椭圆的左､右焦点为，不妨设点P， 由为等腰直角三角形知，，即， 可化为，故或（舍）. 故答案为： 63．过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫作椭圆的通径. 如图 ，，即椭圆的通径长为 . （无论焦点是在轴上还是在轴上，椭圆的通径长均为 【答案】 【分析】略 【详解】略 64．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知经过点，且，则椭圆离心率为 .    【答案】/ 【分析】根据椭圆通径公式和几何性质求解. 【详解】根据题意，， 又，解得， 所以离心率. 故答案为： 65．已知椭圆 (0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是 ，椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意得a＝2； 由椭圆的定义知， 所以， 又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 所以，解得b2＝3， 故，． 答案：， 点睛：椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，过焦点的弦中通径（过焦点且与长轴垂直的弦）最短等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 培优题型6椭圆中点弦与点差法 66．椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中点弦问题，利用 “点差法”求解即可. 【详解】设过点的直线与椭圆相交于，两点，则 ， 且，两式相减，整理得：， 所以，即直线的斜率为. 故所求直线方程为，即. 故选：C 67．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 68．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，， 的中点为，，． ，． 由，， 两式相减得， 可化为， 得，即，两边平方得， 化为：，解得， 又，解得． 故选：A． 69．求证：若直线交椭圆于，两点，弦的中点为，则直线斜率 【答案】证明见解析 【分析】利用点差法，结合两点中点公式以及两点斜率公式，逐步化简，即可证得本题结论. 【详解】因为，两点在椭圆上， 所以，得，， 所以， 所以， 因为直线斜率存在，所以， 所以，则. 70．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，由，求解； （2）设，，则，，利用点差法求解. 【详解】（1）解：，， 所以，， 又， 所以， 椭圆的标准方程为. （2）设，， 则，， 两式相减可得， 为线段的中点， 则，， ， ， 直线的方程为， 整理得：. 71．已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 72．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程； （2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标. 【详解】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示：    设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 73．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析. 【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可； （2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可. 【详解】（1）设，，则， 即． 因为，在椭圆上，所以，， 两式相减得，即， 又，所以，即． 又因为椭圆过点，所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意可知，直线的方程为． 假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称， 设，，的中点为，所以，， 因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即． 又因为，在椭圆上，所以，， 两式相减得， 即，所以，即． 联立，解得，即． 又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾， 所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称． 【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键. 74．已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】. 【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线的方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由题意得，解得， 所以椭圆方程为， 因为， 所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点， 因为，所以点为线段的中点， 设，则， ，所以， 所以， 所以，即， 所以， 所以直线为，即， 因为为直线上任意一点， 所以的最小值为点到直线的距离. 75．已知椭圆的离心率为e，且过点和． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求解椭圆方程； （2）法一，利用点差法，求线段的中点坐标，并求得直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长； 法二，首先设直线，与椭圆方程联立，由韦达定理得到中点坐标，代入对称直线求，再同法一，求弦长. 【详解】（1）由题意知：，∴ ，∴，所以椭圆； （2）法一  设及AB中点，由题意知 ，，以上两式相减得：， 可化为：即，故， 又∵M在直线上，所以，解得：， 即，直线，化简为： 联立 整理得：，由韦达定理知 由弦长公式得：． 法二  设直线， 联立， 整理得： ，则中点，满足直线方程，解得 所以AB： 联立 整理得：，由韦达定理知 由弦长公式得：． 76．已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 (1)求的面积； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可；也可以利用余弦定理和椭圆定义来推导该面积公式，然后再求解； （2）设，利用点差法求解即可. 【详解】（1）方法1： 方法2： 根据椭圆可知：， （2）    设，代入椭圆方程得：， 两式相减得：， 又根据题意知：，代入可得：， 所以的斜率， 故的方程为，即. 77．已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【详解】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 78．已知椭圆的焦距为2，为上一点． (1)求C的方程； (2)当与直线平行的一组直线与相交时，证明：这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用椭圆的定义，结合距离公式计算即可； （2）设这组平行线的方程为，与联立，借助韦达定理和中点坐标公式计算内即可. 【详解】（1）由题意知：；，因为； 由椭圆的定义知，所以的方程为． （2）证明：设这组平行线的方程为，与联立消去， 得， 则，得． 设直线被截得的线段的中点为，则， （其中，是方程的两个实数根．） 又由，消，得， 这些直线被截得的线段的中点均在直线上． 79．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 80．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 81．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 培优题型7椭圆的综合应用 82．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是 ， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 83．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 84．已知椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长可得，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）不妨设，，，结合两点间距离公式解得，进而可得点的坐标和直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，则，即， 又因为离心率，则，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）因为点为椭圆的上顶点，不妨设，，， 则， 整理可得，解得，则， 即，则直线的斜率， 所以直线的方程为. 85．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 86．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足条件的k不存在，理由见解析 【分析】（1）根据斜率定义得到，求出过点，的直线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设PQ的中点为M，由得到，由斜率关系得到方程，求出或，经过检验，均不合要求. 【详解】（1）因为过点，的直线倾斜角为， 所以，即， 过点，的直线方程为， 故原点到该直线的距离为，解得， 故，所以椭圆的方程是． （2）记，．将代入得， ， 则，解得或， 设PQ的中点为M，则，． 由，得， ∴， ∴，得或， 由于或， 故，均使方程没有两相异实根， ∴满足条件的k不存在． 87．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线的斜率，设的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到关于所设参数的关系式，进而求范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 根据题意解得 故的方程为. （2）由（1）知：. 当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点， 不妨取，此时，则. 当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为， 代入椭圆并消去得， 设，则. 而， 所以 . 因为，所以， 所以. 综上，的取值范围为.    88．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【详解】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2） 由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 89．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． (1)求椭圆C的标准方程 (2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)标准方程为． (2)直线l过定点 【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a－c， 联立即可得椭圆方程； （2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可. 【详解】（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点， ， 四边形OMPN的周长为， ， ， ， 椭圆C的标准方程为． （2）设， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 代入，整理得， 则， ． 易知， ， 化简得， 或(舍去)， 直线l的方程为，即，直线l过定点． 当直线l的斜率不存在时，设， 代入，解得， 由得， ，解得或(舍去)， 此时直线l过点． 综上，直线l过定点． 【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 90．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    91．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以 . 92．已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【详解】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 93．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.4直线与椭圆的位置关系 知识点1:点与椭圆的位置关系 焦点在轴上 焦点在轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点2:直线与椭圆的位置关系 （1）判断直线与椭圆的位置关系: 联立消去得一个关于的一元二次方程. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）; ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）; ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点. （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤: ①得出直线方程,设交点为,; ②联立直线与曲线方程,得到关于x（或y）的一元二次方程; ③写出根与系数的关系; ④将所求问题或题中关系转化为关于,的形式; ⑤代入求解. 知识点3:直线与椭圆相交的弦长 （1）定义:连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. （2）求弦长的方法 ①交点法:将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法: 如果直线的斜率为,被椭圆截得弦两端点坐标分别为,,则弦长公式为: 知识点4:解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决; （2）点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、,其中中点为,则有。 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴,∴。 特殊的:直线（存在斜率）过椭圆（）上两点、,线段中点为,则有. 培优题型1点与椭圆的位置关系 1．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 4．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 6．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．至多为 B． C． D． 8．已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 12．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 13．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 培优题型2直线与椭圆的位置关系 14．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 15．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 16．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 17．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 18．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 19．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 20．已知直线和椭圆，下列结论正确的有（   ） A．当时，直线过椭圆C的焦点 B．当时，直线与椭圆C相交 C．当时，直线与椭圆C没有公共点 D．当时，椭圆C上的点到直线距离的最小值为 21．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为 ．   故答案为：. 22．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 . 23．已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 24．已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C； (2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 25．求直线和椭圆的公共点的坐标． 26．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和 (1)求椭圆C的标准方程； (2)求直线和椭圆C的公共点的坐标． 培优题型3直线与椭圆相切的应用 27．若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 29．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 30．已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 31．在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 32．若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 33．已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 34．已知直线交椭圆于点、，点在此椭圆上运动．求点到直线的距离的最大值？ 35．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，其中一个顶点是抛物线的焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆在第一象限相切于点，求直线的方程和点的坐标． 36．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则椭圆半焦距长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 培优题型4椭圆的弦长问题 37．已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 38．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 39．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 40．若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 41．已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 42．已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 43．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 44．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 45．已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（    ） A．8 B．6 C．5 D． 46．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D．不能确定 47．已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 48．直线被椭圆截得最长的弦为（    ） A． B． C． D． 49．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 培优题型5椭圆的通径问题 50．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 51．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 52．已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 53．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 54．过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 55．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（    ） A． B．2 C． D．4 56．已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则 A． B． C． D． 57．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 58．设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　） A． B． C． D． 59．设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 60．已知点F，A分别为椭圆(，)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且，若的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 61．已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 62．设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 63．过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫作椭圆的通径. 如图 ，，即椭圆的通径长为 . （无论焦点是在轴上还是在轴上，椭圆的通径长均为 64．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知经过点，且，则椭圆离心率为 .    65．已知椭圆 (0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是 ，椭圆的离心率为 . 培优题型6椭圆中点弦与点差法 66．椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 67．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 68．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 69．求证：若直线交椭圆于，两点，弦的中点为，则直线斜率 70．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 71．已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 72．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 73．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由． 74．已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 75．已知椭圆的离心率为e，且过点和． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求． 76．已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 (1)求的面积； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 77．已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 78．已知椭圆的焦距为2，为上一点． (1)求C的方程； (2)当与直线平行的一组直线与相交时，证明：这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上； 79．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 80．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 81．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 培优题型7椭圆的综合应用 82．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8   83．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 84．已知椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 85．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 86．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 87．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围. 88．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 89．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． (1)求椭圆C的标准方程 (2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 90．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 91．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 92．已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 93．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $