3.1.3焦点三角形题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆焦点三角形这一核心知识点，系统梳理其定义及周长、最大角、面积公式等性质，通过基础题型（周长计算、面积求解）到能力提升题型（正切形式、跨章节综合问题）的分层设计，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料以数学思维为导向，通过性质推导培养逻辑推理能力，例题涵盖电影放映灯反射镜面等现实情境，体现数学眼光观察现实世界。分层题型设计助力教师课堂教学梯度推进，课后学生可通过多样例题巩固知识，查漏补缺，提升问题解决能力。

3.1.2焦点三角形 知识点1椭圆的焦点三角形 定义:椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”. 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识,建立,,之间的关系,采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题. 性质1:周长:. 性质2:当时,最大. 证明:, ①, 在中,由余弦定理得: ,把①代入可得, ②, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以,取最小值时取最大值. 故由以上可得,当时,最大. 性质3: 证明:由②可得,③. ,把③代入面积公式,即 , 故. 基础题型1焦点三角形的周长问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 3．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在坐标轴上），则的周长为（    ） A． B．6 C． D．3 6．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（   ） A． B． C．9 D．12 7．（24-25高二上·吉林长春·月考）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 8．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为 ． 基础题型2底乘高求面积 9．（25-26高二上·全国·课前预习）椭圆焦点三角形的面积 = 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点，点为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 12．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·福建泉州·期中）若的周长为10，且边长为4，则的面积的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 16．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（   ） A． B． C．4 D．5 18．（25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 19．（2025高二上·重庆·专题练习）已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 基础题形3正弦定理求面积 20．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点与两焦点所夹的角，则的面积为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·江西景德镇·期中）椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （    ） A．32 B．25 C． D．8 22．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 23．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 24．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 25．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 培优题型1焦点三角形面积的正切形式 26．（22-23高三上·福建龙岩·月考）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 27．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 28．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 培优题型2焦点三角形跨章节综合性问题 29．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.若透明窗垂直于所在的直线，且所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为 . 30．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 31．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 32．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 33．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 34．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 35．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 36．（25-26高二上·重庆·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C．已知实数，满足，则的最小值为 D．已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 37．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 39．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 40．（25-26高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 41．（25-26高二上·江西抚州·月考）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．点的坐标为 C．以为直径的圆经过点 D．直线的斜率为 42．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 43．（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 44．（25-26高二上·重庆·月考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 45．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 46．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2焦点三角形 知识点1椭圆的焦点三角形 定义:椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”. 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识,建立,,之间的关系,采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题. 性质1:周长:. 性质2:当时,最大. 证明:, ①, 在中,由余弦定理得: ,把①代入可得, ②, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以,取最小值时取最大值. 故由以上可得,当时,最大. 性质3: 证明:由②可得,③. ,把③代入面积公式,即 , 故. 基础题型1焦点三角形的周长问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可求得三角形周长. 【详解】由椭圆可知，所以； 即； 由椭圆定义可得的周长为. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 3．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】 由椭圆方程知：椭圆长轴长； 由椭圆定义知：， 的周长为. 故选：C. 5．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在坐标轴上），则的周长为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义及标准方程即可得出结果. 【详解】由题可得，所以， 由，所以则的周长为，故B正确. 故选：B. 6．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题意可知， 如图：    ， 即的周长为12， 故选：D 7．（24-25高二上·吉林长春·月考）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理求出即可分析计算求出周长. 【详解】设则，由椭圆的定义可知， 故，所以， 因为轴，所以为直角三角形， 由勾股定理得， 即，解得，， 所以的周长. 故答案为：. 基础题型2底乘高求面积 9．（25-26高二上·全国·课前预习）椭圆焦点三角形的面积 = 【答案】 【分析】略 【详解】略 故答案为：； 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点，点为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过椭圆中焦点三角形面积公式可求出的面积，再通过面积求出点纵坐标，最后由重心坐标公式可得结果. 【详解】由题意得在椭圆中，，设， 故，在中，， 所以， 由，解得， 由于点为的重心，所以， 故选：D. 11．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 12．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 13．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，结合椭圆之间的关系，利用代入法进行求解即可. 【详解】由， 设，因为的面积为， 所以有， 点在椭圆上， 所以， 故选：C 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 15．（25-26高二上·福建泉州·期中）若的周长为10，且边长为4，则的面积的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得点的轨迹方程，结合椭圆的几何性质即可得的面积的最大值. 【详解】由题意得，又， 所以， 则点在以为焦点的椭圆上，且长轴长，焦距， 则，所以 如图取焦点在轴上的椭圆： 则点的轨迹方程为， 所以， 又，所以. 故选：B. 16．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：C 18．（25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 19．（2025高二上·重庆·专题练习）已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 【答案】/0.6 【分析】设.先求出内切圆的半径，并利用表示出的面积，在中，由余弦定理求出，并根据三角形面积公式列出等式，得到，结合求出即可. 【详解】设内切圆的半径为，则有，解得. 由椭圆C：可知. 设，在中，由余弦定理可知 ， 即， 即， 即，所以. 因为的面积， 即，即， 解得①.因为②，且， 所以由①②解得，即. 故答案为： 基础题形3正弦定理求面积 20．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点与两焦点所夹的角，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：在中，利用余弦定理和椭圆的定义可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果； 方法二：利用椭圆焦点三角形面积二级结论直接求解即可. 【详解】方法一：由椭圆方程知：长轴长，焦距； 设，，由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得： ， 解得：， . 方法二：根据椭圆焦点三角形面积二级结论得：. 故选：C. 21．（25-26高二上·江西景德镇·期中）椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （    ） A．32 B．25 C． D．8 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，再根据条件结合余弦定理及三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 又，， 则， 即， 故， 则. 故选：C. 22．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 23．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 在中，，由余弦定理， 得 ， 解得，因此. 故答案为：. 24．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 25．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义和余弦定理求出，即可求的面积； 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为； 故答案为： 培优题型1焦点三角形面积的正切形式 26．（22-23高三上·福建龙岩·月考）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据焦点三角形面积两种不同表达方式，和，分别得到焦点三角形面积的最大值，建立方程即可求解. 【详解】设的内切圆半径为， 则， 所以当取到最大值时，， 又， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 27．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 28．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 培优题型2焦点三角形跨章节综合性问题 29．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.若透明窗垂直于所在的直线，且所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为 . 【答案】5 【分析】先在中由勾股定理求出的值，再由椭圆定义求出的值，再在中由勾股定理结合椭圆的定义求出，即可求出面积的值. 【详解】由，，，得， 则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得， 又因为， 在直角中有 ， 因此，所以的面积为. 故答案为：5 30．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 31．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 32．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以，解得， 所以的面积为，故D错误. 故选：BC 33．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【分析】延长，交的延长线于点，得为等腰三角形，由中位线定理得，然后结合椭圆定义求得，利用余弦定理和平方关系求得，由三角形面积公式计算面积． 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 34．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 35．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质结合三角形面积公式判断B，根据椭圆的定义结合基本不等式分析判断C，可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况判断D即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 36．（25-26高二上·重庆·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C．已知实数，满足，则的最小值为 D．已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 【答案】AB 【分析】对于A，将直线化为求定点判断，对于B，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于C，根据题设确定的几何意义，进而数形结合求其最小值，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断. 【详解】对于A：由题设，直线可化为，联立，则其恒过定点，所以A对； 对于B：由题意，且， 又，则， 所以，则，即， 所以的面积为，所以B对； 对于C：由的圆心为，半径为， 而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示， 由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界， 即，故， 所以最小值为，所以C错； 对于D：由题设，， 由图知，过点的直线与线段相交，则直线斜率， 过点的直线与线段不相交，故，所以D错. 故选：AB 37．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由点在椭圆上，根据，可判定A错误；由椭圆的定义得，结合，列出方程，求得的值，可判定C正确；由切线的性质，结合，可判定D正确；结合， 列出方程，求得的值，可判定B正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 所以，又由点在椭圆上， 所以的面积为，所以A错误； 对于C，如图所示，连接，由椭圆的定义得， 因为的内切圆的圆心为，所以内切圆的半径为， 由， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，由， 所以 ，所以，所以D正确； 对于B，因为， 所以， 因为，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 38．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 39．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABD 【分析】设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且，、， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故A正确； 对于B选项，设，，其中， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，可得， 所以，，故C错误； 对于D选项，由题意可知，则，故D正确. 故选：ABD. 40．（25-26高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】BC 【分析】利用余弦定理判断A；利用三角形的面积公式判断B；利用椭圆的定义判断C；利用平面向量的数量积判断D. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A，当时，则， 由余弦定理得， 而，则，A错误； 对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大， 因此面积的最大值为，B正确； 对于C，由，即， 得，C正确； 对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个， 当为直角顶点时，设点，则，， ，，解得， 此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误. 故选：BC 41．（25-26高二上·江西抚州·月考）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．点的坐标为 C．以为直径的圆经过点 D．直线的斜率为 【答案】AB 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，求出的值，再根据椭圆的定义、三角形面积公式、圆的标准方程和直线的斜率公式逐项判断即可. 【详解】由题意可得椭圆方程为，所以，，， 所以， 选项A：因为为椭圆上一点，由椭圆的定义可知，选项A正确； 选项B：设，则，解得， 将代入解得，所以点的坐标为，选项B正确； 选项C：因为中点为原点，， 所以以为直径的圆的方程为， 将代入圆的方程， 所以以为直径的圆不经过点，选项C错误； 选项D：因为，， 所以直线的斜率，选项D错误； 故选：AB 42．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 43．（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误. 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以 ， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 44．（25-26高二上·重庆·月考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A.    45．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 46．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $