3.1.1椭圆及其标准方程题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，系统梳理椭圆定义（平面内与两定点距离之和为常数）、标准方程推导（坐标系建立与距离公式化简）及方程对比（焦点在x轴与y轴的形式、a,b,c关系），构建“定义—推导—应用”的学习支架，衔接圆的定义，为后续圆锥曲线学习奠基。 该资料特色在于分层设计，基础题型巩固定义辨析（如判断轨迹类型）、方程应用（如求距离之和），能力题型提升综合思维（如动圆相切转化为椭圆定义求轨迹）。通过多样问题情境培养数学眼光中的几何直观、数学思维中的推理能力，课中助力分层教学，课后辅助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

3.1.1椭圆及其标准方程 基础题型1椭圆第一定义与方程 知识点1:椭圆的定义 （1）椭圆定义:平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）椭圆定义的集合语言表示: 注意事项:定义中条件不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:①当时,其轨迹为线段; ②当时,其轨迹不存在. 知识点2:椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系,如图. （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点,椭圆的焦距为. 焦点的坐标分别是, 又设与的距离的和等于常数. 由椭圆的定义,椭圆就是集合 因为, 所以 即 两边平方得 整理得,再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有,故设,就有 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 2．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州·期中）椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 4．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）平面内与两个定点的距离的和等于 （大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 6．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 7．（20-21高二·全国·课后作业）（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 8．（22-23高二上·江西景德镇·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 基础题型2根据椭圆定义求标准方程 9．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 基础题型3椭圆标准方程的理解 知识点3:椭圆的标准方程对比 定义 图形 标准方程 （焦点在轴） （焦点在轴） 焦点 的关系 对于方程表示椭圆的充要条件为: ;当时,方程表示焦点在轴上的椭圆;当时,方程表示在轴上的椭圆.特别地,当时,方程表示圆心在原点的圆. 14．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（   ） A． B． C． D． 16．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（25-26高二上·河北·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 20．（23-24高二上·广东东莞·期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 21．（25-26高二上·江西抚州·月考）已知椭圆的焦点在y轴上，则的范围为 . 22．（24-25高二上·重庆·期中）曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是 23．（25-26高二上·北京·月考）若方程表示曲线. （1）若曲线是圆，则的值是 . （2）若曲线是椭圆，则的取值范围是 . 24．（25-26高二上·北京朝阳·期中）曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为 . 25．（25-26高二上·河北保定·月考）若曲线表示椭圆，则的取值范围为 ． 基础题型4求椭圆的标准方程 （1）定义法:根据椭圆定义,确定的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. （2）待定系数法:根据椭圆焦点是在轴还是轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出的方程组,解出,从而求得标准方程. 注意: ①如果椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为.因为它包括焦点在轴上或焦点在轴上的两类情况,所以可以避免分类讨论. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. 26．（25-26高二上·湖南长沙·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 27．（25-26高二上·广东江门·月考）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 28．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是 . 29．（25-26高二上·江苏南京·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点． (2)经过，两点． 30．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知经过两点. (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标以及通径的长. 31．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 32．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 33．（24-25高二上·广西南宁·月考）分别求出适合下列条件的方程： (1)已知三个顶点的坐标分别是.求外接圆的方程. (2)焦点坐标为和，且经过点的椭圆的标准方程. 34．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 35．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 培优题型1最值转化之和的最值问题 36．（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 38．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为 . 39．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 40．（2025高二·全国·专题练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 41．（25-26高二上·贵州·期中）如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 42．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为 ．   43．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 培优题型2最值转化之差的最值问题 44．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 45．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高二上·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 47．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为 . 48．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 49．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 50．（24-25高二上·广东汕尾·月考）已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 51．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·重庆·月考）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 培优题型3椭圆定义与基本不等式综合问题 54．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 . 55．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 56．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 57．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 58．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为 . ， 59．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 培优题型4与椭圆有关的轨迹问题 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义,则可用定义法求解. （2）直接法:将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. （3）相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点方法求解. 60．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 61．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为 . 63．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 64．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 65．（25-26高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为 ． 66．（22-23高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 67．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 68．（22-23高二上·福建泉州·期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 69．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件： ①是的重心； ②； ③． 则的另一个顶点的轨迹方程为 ． 70．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 71．（2025高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程． 72．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1椭圆及其标准方程 基础题型1椭圆第一定义与方程 知识点1:椭圆的定义 （1）椭圆定义:平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）椭圆定义的集合语言表示: 注意事项:定义中条件不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:①当时,其轨迹为线段; ②当时,其轨迹不存在. 知识点2:椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系,如图. （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点,椭圆的焦距为. 焦点的坐标分别是, 又设与的距离的和等于常数. 由椭圆的定义,椭圆就是集合 因为, 所以 即 两边平方得 整理得,再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有,故设,就有 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 2．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二上·贵州·期中）椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，得， 所以到的左､右焦点的距离之和为. 故选：D 4．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 5．（2026高三·全国·专题练习）平面内与两个定点的距离的和等于 （大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 【答案】 定值 焦点 焦距 【分析】略 【详解】略 6．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【分析】利用椭圆的定义判断即可． 【详解】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 7．（20-21高二·全国·课后作业）（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】结合基本不等式求得，结合椭圆的定义分类讨论，即可求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时等号成立． 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆． 故选：BC． 8．（22-23高二上·江西景德镇·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，， 设椭圆的右焦点为，且，可得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：B. 基础题型2根据椭圆定义求标准方程 9．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 10．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，从而判断动圆的轨迹为椭圆，进而得出方程. 【详解】圆可化为，圆心，半径， 圆可化为，圆心，半径 ∴. 设动圆圆心为点，半径为， ∵动圆与圆外切， ∴， 又动圆与圆内切， ∴ , ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：A 12．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 13．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. 【详解】（1）设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. （2）由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 基础题型3椭圆标准方程的理解 知识点3:椭圆的标准方程对比 定义 图形 标准方程 （焦点在轴） （焦点在轴） 焦点 的关系 对于方程表示椭圆的充要条件为: ;当时,方程表示焦点在轴上的椭圆;当时,方程表示在轴上的椭圆.特别地,当时,方程表示圆心在原点的圆. 14．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故选：A 15．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列式可得结果. 【详解】依题意有：，解得， 故选：A. 16．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 17．（25-26高二上·河北·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 18．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】由题意可得 ，解得或. 故选：B. 19．（22-23高二上·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 20．（23-24高二上·广东东莞·期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】ACD 【分析】根据圆的标准方程的特点判断A正确，根据圆锥曲线的方程特点可以判断是否为椭圆，从而进一步确定焦点位置,判断参数范围，判断B、C、D选项. 【详解】当时，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故选项A正确. 因为时，方程为圆，故选项B错误. 若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项C正确. 若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：ACD 21．（25-26高二上·江西抚州·月考）已知椭圆的焦点在y轴上，则的范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆方程可得，运算求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 则，解得， 所以的范围为. 故答案为：. 22．（24-25高二上·重庆·期中）曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是 【答案】 【分析】将曲线方程化为椭圆的标准方程，由题意，的分母大，同时注意到分母都要大于，即可解出的范围. 【详解】将曲线方程化为，由题意可得：， 解之得：，即：. 故答案为：. 23．（25-26高二上·北京·月考）若方程表示曲线. （1）若曲线是圆，则的值是 . （2）若曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程和椭圆的标准方程求结果即可. 【详解】（1）若方程表示圆， 则，解得. （2）若方程表示椭圆， 即表示椭圆，则或者. 解得或，所以的取值范围为. 故答案为：（1）；（2）. 24．（25-26高二上·北京朝阳·期中）曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以,解得：,则的一个取值为； 故答案为：(答案不唯一) 25．（25-26高二上·河北保定·月考）若曲线表示椭圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由椭圆定义列出不等式组即可求解. 【详解】曲线表示椭圆， 所以或， 所以的取值范围为. 故答案为： 基础题型4求椭圆的标准方程 （1）定义法:根据椭圆定义,确定的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. （2）待定系数法:根据椭圆焦点是在轴还是轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出的方程组,解出,从而求得标准方程. 注意: ①如果椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为.因为它包括焦点在轴上或焦点在轴上的两类情况,所以可以避免分类讨论. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. 26．（25-26高二上·湖南长沙·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先根据已知椭圆方程求出，设所求椭圆标准方程为，利用焦点相同且过点，列方程组求解． 【详解】椭圆方程为， ， 椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为， 由两椭圆焦点相同，则， ，解得， 所求椭圆标准方程为：． 故答案为：． 27．（25-26高二上·广东江门·月考）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 【答案】 【分析】根据给定条件，设出椭圆标准方程，利用待定系数法求解. 【详解】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 28．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，且焦点在轴上，即可得椭圆方程. 【详解】因为，，则， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是. 故答案为：. 29．（25-26高二上·江苏南京·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点． (2)经过，两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆的焦点，根据焦点相同的条件设椭圆方程，再代入已知点求解； （2）设椭圆方程，代入两点坐标得到方程组，解方程组求出参数即可． 【详解】（1）椭圆方程为：，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为： ， 椭圆经过点， ，化简得，解得或（小于1，舍去）， 所求椭圆方程为：． （2）设所求椭圆方程为， 椭圆经过，两点， ，解得， 所求椭圆方程为：． 30．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知经过两点. (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标以及通径的长. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1） 由椭圆所过的点即可求解； （2）由椭圆的方程和相关概念即可直接计算得解. 【详解】（1）因为椭圆经过两点， 所以由椭圆的结构特征可知，椭圆焦点在x轴上，      所以椭圆的方程为 （2）由（1）长轴长为 ；短轴长为；离心率为；      因为，所以焦点坐标为， 左顶点：，右顶点， 上顶点，下顶点， 通径长为. 31．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 32．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 33．（24-25高二上·广西南宁·月考）分别求出适合下列条件的方程： (1)已知三个顶点的坐标分别是.求外接圆的方程. (2)焦点坐标为和，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率判断出，从而确定外接圆为以线段为直径的圆，求出中点坐标，和线段的长度，结合圆的标准方程即可得解. （2）由焦点坐标，确定焦点位置，设出椭圆标准方程，利用椭圆定义求出，结合和，求得，从而得解. 【详解】（1）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即，外接圆是以线段为直径的圆， 而线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是 （2）由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为， 已知焦点坐标及椭圆上一点， 由椭圆的定义可知， 因此，又因为，所以， 因此，所求椭圆的标准方程为. 34．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程． （2）根据与两条坐标值的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 35．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 培优题型1最值转化之和的最值问题 36．（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 37．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据圆外一点到圆上一点距离的最大值即可得到结果. 【详解】根据椭圆方程可得：， 所以， 故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为， 设圆的圆心为，其半径为， 所以，所以， 要求的最大值，即求的最大值， 因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为， 所以的最大值为. 故选：B. 38．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 39．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 40．（2025高二·全国·专题练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 当且仅当点在线段上时取等号，而，当且仅当在线段上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值. 故答案为： 41．（25-26高二上·贵州·期中）如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 ； . 【分析】根据椭圆的定义式判断点的轨迹为椭圆，求出标准方程；利用椭圆的定义式将转化成，结合图形，考虑临界情况即得其取值范围. 【详解】 如图，连接，因点是线段的中垂线上一点，故， 由题意，且，即， 故点的轨迹为以点为两焦点的椭圆， 由可得，则， 故轨迹的方程为. 因点是椭圆上的一点，则， 于是， 由图知，， 当且仅当点为椭圆的左端点（）时不等式右端取等号， 当且仅当点为椭圆的右端点（）时不等式左端取等号， 即，故的取值范围为. 故答案为：；. 42．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：．    43．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】    如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 培优题型2最值转化之差的最值问题 44．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义对进行转化，再结合点与圆的位置关系、两点间距离公式求出最小值. 【详解】 根据椭圆的定义可知， 所以， 又为圆上任意一点，则， 所以，当且仅当、、、共线且、在和之间时，等号成立. 由题意知，，， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为： 45．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值. 【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A 46．（25-26高二上·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 47．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】应用椭圆的第二定义结合椭圆的定义及距离和最短计算求解. 【详解】假设正方形边在平面直角坐标系的轴上， 由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为， 根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆）， 点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上. 设，则准线的方程为，所以， 解得，故椭圆的标准方程为. 结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为. 由椭圆的定义知， ，当三点共线时，最短， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 48．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到的距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：4. 49．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合图形判断三点共线时，求得所求式的最大值. 【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则， ，由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外，所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 50．（24-25高二上·广东汕尾·月考）已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】另一焦点为，利用双曲线的定义转化为，然后可得最小值． 【详解】由题意是椭圆的下焦点，如图，设上焦点为， 在椭圆上，则， 所以， 当且仅当是线段与椭圆的焦点时等号成立， 故答案为：1. 51．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 52．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【详解】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 53．（25-26高二上·重庆·月考）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 培优题型3椭圆定义与基本不等式综合问题 54．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由椭圆定义得，再结合乘一法即可求解. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 55．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 56．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值. 【详解】设，则，故， 整理得到：，而 故， 而，故， 故答案为： 57．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 58．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为点P是椭圆上的动点， ，，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为： 59．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 培优题型4与椭圆有关的轨迹问题 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义,则可用定义法求解. （2）直接法:将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. （3）相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点方法求解. 60．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程. 【详解】如下图所示：    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程可得， 整理得. 故选：D 61．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆，则其圆心，半径为， 设动圆的圆心为，半径为， 由圆在圆的内部与其相切，则， 由圆过点，则，即， 所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，， ，所以其轨迹方程为. 故选：D. 62．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，可得坐标，根据题意，列出等式，化简计算，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为， 所以，即， 则，即，且， 整理得，即. 故答案为： 63．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 64．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据题设斜率之积为列式化简即可. 【详解】设点的坐标为，则，， 所以， 整理可得． 故答案为： 65．（25-26高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 66．（22-23高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 67．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质，结合椭圆的定义得出点的轨迹方程. 【详解】依题意，点，半径，线段的垂直平分线交于点，则， 于是， 因此点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得， 所以点的轨迹的方程为：. 故答案为：. 68．（22-23高二上·福建泉州·期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答. 【详解】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图， 有，则， 因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长的椭圆，则短半轴长， 所以点Q的轨迹方程为. 故答案为： 69．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件： ①是的重心； ②； ③． 则的另一个顶点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】点的运动轨迹和点，相关，通过点，需要满足的关系式来求点的轨迹方程． 【详解】设点，由于是的重心， 则，由已知条件，可知点在轴上， 由于，可得，又因为， 代入坐标可得，化简得， 由于，，三点不共线，所以点的轨迹方程为． 故答案为：. 70．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 71．（2025高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】本题是求动点轨迹方程，利用坐标关系转移代入求解. 【详解】设， 由中点坐标公式得，所以. 又点P在椭圆上，所以，即． 【点睛】考查相关点法求动点轨迹. 72．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】解法一：用点差法，设及其中点坐标，将代入椭圆方程并作差变形，利用中点坐标公式及直线的斜率即可得所求的轨迹方程； 解法二：设弦中点利用中点坐标求得的坐标，代入椭圆方程化简整理即得所求的轨迹方程； 解法三：设的中点坐标为，由及，得等式化简即得所求的轨迹方程. 【详解】解法一：设中点 ， 则， 则有两式相减，整理得． 又因为， 所以， 所以， 而，故． 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 解法二：设弦中点． 由已知得， 从而， 又因为在椭圆上， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为． 解法三：设的中点坐标为． 由结论易知：， 又因为点在直线上， 所以直线的斜率还可以表示为：，所以有， 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $