江苏省南通市2025-2026学年人教版九年级数学上学期期末自编模拟卷（含压轴题讲解视频）

同学你好，今天我们学习构造辅助源，解决引援最值问题。我们学习定脚定型构造辅助圆，在利用一箭穿心求最值。在边长为四的正方形ABCD中，AC与BD相交点OE是平面内一动点，且角BED等于90度，F为DE中点01CF求CF的最小值。因为角BED等于90度，角BE对D的对的那个边BD为正方形的对角线是定边，所以点E在以DBD为直径的圆上，也就是在正方形ABCD的外界远上运动。因为F是DE的终点，所以我们可以。银层DC。到H使得CH等于dc这样F是DE的终点，所以CF就等于2分之1HE所以要求CF的最小值，我们只要求H一的最小值就行了。H0在圆外，H一的最小值就是当HEO3点共线的时候最小值。当HEO53点更新的时候，HE最小，HE的最小值就是HO减去OE。当H1530更新的时候。HF的HE的最小值。就等于HO。减去OF减去半径，OF等于半径就等于2分之1的BD，BD等于根号2，CD正方形边长为四，所以BD等于四根号2，所以OF等于二根号2。如何求OH呢？我们做OM垂直于dc这样OM就等于2分之1，DC就等于2，MC也等于2，CH等于CD等于4，所以HO等于根号下二的平方加6的平方。所以H5减YF就等于根号下二的平方加6的平方减2根号2，这是根号40减2根号10减2根号2。H一的最小值是二根号10减2根号2，CF等于2分之1H1。所以CF的最小值就等于二根号10减2根号2，除以二等于根号10减根号2。所以。选择。C我们也可以。这样。考虑，衣领在A正方形ABCD的微基元上运动。因为F是DE的终点，所以点而点O又是BD的中点，所以OF平行于BE所以角OFD等于90度，角FOD对着电。边O. D所以角F所以点F也在以直径OD以OD为直径的圆上运动。F也在。以OD. 为直径的圆上运动。大家看。所以我们要求CF的最小值，只要当CFO30更新的时候最小。我们连接F点和圆心M所以CF的最小值就等于CM减去FM。就是当CFM3点共性且F在CM之间的时候。当CFM3点共线的时候最小，其中MF它等于二分之1ODOD是二根号2，所以MF等于根号2。那么如何求CM呢？我们过M作MH垂直于CD做，那么MH就等于DH，MD等于根号2，所以MH等于1，DH也等于1，HC就等于3，所以HC就等于根号下一的平方加3的平方。就等于根号10CF的最小值。等于CH减等于CM减MF就等于根号。这个地方是mcmc等于根号下一的平方加3的平方等于根号10。CM的最小，CF的最小值就等于CM减去MF就等于根号10减去根号2，所以选C。 江苏省南通市2025-2026学年九年级数学上学期末自编模拟试卷 （考试范围：九年级上册+反比例函数、相似三角形） （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025春•高邮市期末）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线 C．心形线 D．笛卡尔叶形线 2．（2025•岳西县二模）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•九龙坡区模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 4．（2024秋•海安市期末）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A．x+（x﹣12）＝864 B．x+（x+12）＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 5．（2024秋•陵川县期中）如图，书写汉语拼音的“四线三格”是由等长度的四条平行横线组成的，且相邻两条横线之间的距离相等．小明在“四线三格”里画了一个直角三角形ABC，∠ABC＝90°．若线段AB＝1，BC＝2，则“四线三格”相邻两条横线之间的距离是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•锦江区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 7．（2025秋•黄石港区期中）如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是的中点，连接OB，OC，若∠BOC＝46°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．23° C．44° D．46° 8．（2024秋•海安市期末）如图，菱形ABCD中，，BD＝4，点E在BD延长线上，DE＝DC，则sin∠AEC的值为（　　） A． B． C． D．2 9．（2024秋•海安市期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣9 10．（视频动图讲解）（2025秋•浙江期中）在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 二．填空题（本大题共6小题，11~12题每小题3分，13~16题每小题4分，共22分） 11．（2025•汇川区二模）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　 　 ． 12．（2025•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　 ． 13．（2024秋•海安市期末）用半径为15，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　 ． 14．（2024秋•海安期末）如图，点A，点B在反比例函数的图象上，射线BA交y轴于点D，且AB＝2AD，延长BO交反比例函数图象另一分支于点C，连接AC交y轴于点E，若S△BCE＝6，则k的值为 　 　 ． 15．（视频动图讲解）（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为 16．（2025秋•如皋市期中）二次函数y＝﹣x2+4x+3与y轴交于点A，点B（m，n）是该二次函数图象上位于点A右侧的一个动点，当点B变化时，若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差等于9，则m的值为　 　 ；若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，则m的取值范围是　 　 ． 三．解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）（2024秋•海安市期末）选择适当的方法解下列方程： （1）（x﹣3）2＝4； （2）x2﹣5x+1＝0． 18．（10分）（2025秋•丰台区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2． 19．（10分）（2025秋•海安市期中）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是　 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 20．（10分）（2024秋•海安市期末）如图，已知反比例函数的图象与直线AB交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝OB＝1，S△OAC＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）当﹣3≤x≤1时，直接写出反比例函数的取值范围 　 ． 21．（10分）（2025秋•如皋市期中）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在圆上，作∠CAD＝∠ABC，AD交BC的延长线于点D．E在⊙O上，OE⊥AB，垂足为H，连接CE交AB于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若BC＝8，∠AFE＝120°，求阴影部分的面积． 22．（10分）（2025•大连模拟）商场销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）商场销售该商品每天的利润能否达到4000元？如果能，求出每千克的售价；如果不能，请说明理由． 23．（10分）（2025秋•如皋市期中）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，点C在半圆O上，D为AC的中点，连接OD并延长交半圆O于点E． （1）如图1，若AD＝OD﹣1，求AC的长； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，垂足为F，若AC＝8，求AF的长． 24．（14分）（2024秋•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数且a≠0）． （1）若a＝﹣1，b＝2，求抛物线的顶点坐标； （2）已知A（5a，y1）和B（m，y2）两点在抛物线上，且4a2﹣b＝0当1≤m≤3时，都有y1＜y2，求a的取值范围； （3）已知二次函数y＝ax2﹣bx，当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1，求a的取值范围． 25．（14分）（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：OD＝CG+OE ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市2025-2026学年九年级数学上学期末自编模拟试卷 （考试范围：九年级上册+反比例函数、相似三角形） （满分：150分 时间：120分钟） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025春•高邮市期末）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线 C．心形线 D．笛卡尔叶形线 【分析】直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形． 2．（2025•岳西县二模）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“DeepSeek”的只有1种情况， 所以恰好选中“DeepSeek”的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 3．（2025•九龙坡区模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 【分析】根据位似图形的概念得到AD∥EH，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴AD∥EH， ∴△OAD∽△OEH， ∴，即四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为， ∵四边形ABCD的周长为3， ∴四边形EFGH的周长为9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 4．（2024秋•海安市期末）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A．x+（x﹣12）＝864 B．x+（x+12）＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 【分析】根据这块田地的长、宽间的关系，可得出这块田地的长为（x+12）步，根据该田地的面积为864平方步，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵这块田地的宽比长少12步，且这块田地的宽为x步， ∴这块田地的长为（x+12）步． 根据题意得：x（x+12）＝864． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024秋•陵川县期中）如图，书写汉语拼音的“四线三格”是由等长度的四条平行横线组成的，且相邻两条横线之间的距离相等．小明在“四线三格”里画了一个直角三角形ABC，∠ABC＝90°．若线段AB＝1，BC＝2，则“四线三格”相邻两条横线之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AE⊥点B所在横线于点E，过点C作CD⊥点B所在横线于点D，易证△ABE∽△BCD，利用相似三角形的性质可得出BD＝4x，在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点A作AE⊥点B所在横线于点E，过点C作CD⊥点B所在横线于点D，如图所示， 设“四线三格”相邻两条横线之间的距离是x， 则AE＝2x，CD＝3x， ∵∠ABC＝90°， ∵∠ABE+∠CBD＝90°， ∵∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBD， ∴△ABE∽△BCD， ∴， ∴， ∴BD＝4x， 在Rt△BCD中，根据勾股定理， 得BD2+CD2＝BC2， ∴16x2+9x2＝4， ∴x， ∴“四线三格”相邻两条横线之间的距离是． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024秋•锦江区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 【分析】过点D作DH∥CE，交AB于H，先根据平行线分线段成比例定理得到BH＝HE，再根据平行线分线段成比例定理得到AE：EH＝AF：FD＝2：3，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作DH∥CE，交AB于H， ∵AD是BC边上中线， ∴BD＝DC， ∴BH＝HE， ∵DH∥CE， ∴AE：EH＝AF：FD＝2：3， ∴AE：EB＝1：3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、找准对应关系是解题的关键． 7．（2025秋•黄石港区期中）如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是的中点，连接OB，OC，若∠BOC＝46°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．23° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据已知得，从而可得∠BOC＝∠AOB＝46°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接OA， 由日益可得：， ∴∠BOC＝∠AOB＝46°， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2024秋•海安市期末）如图，菱形ABCD中，，BD＝4，点E在BD延长线上，DE＝DC，则sin∠AEC的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接AC交BE于点H，因为四边形ABCD是菱形，AB，BD＝4，所以AC⊥BD，DC＝AB，BH＝DH＝2，求得CH1，由DE＝DC，得∠DCE＝∠DEC，则∠HDC＝2∠DEC，再证明∠AEC＝2∠DEC，所以∠AEC＝∠HDC，则sin∠AEC＝sin∠HDC，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接AC交BE于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AB，BD＝4， ∴AC⊥BD，DC＝AB，BH＝DHBD＝2， ∴∠CHD＝90°， ∴CH1， ∵DE＝DC， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠HDC＝∠DCE+∠DEC＝2∠DEC， ∵BD垂直平分AC，点E在BD的延长线上， ∴AE＝CE， ∴∠DEA＝∠DEC， ∴∠AEC＝2∠DEC， ∴∠AEC＝∠HDC， ∴sin∠AEC＝sin∠HDC， 故选：B． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024秋•海安市期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣9 【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：A（﹣3，3），B（2，﹣2）都不在反比例函数图象上， 则﹣3×3＜k＜2×（﹣2）， 即﹣9＜k＜﹣4， 故k的值可能是﹣5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键． 10．（视频动图讲解）（2025秋•浙江期中）在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 【分析】由m＜c＜n，可得﹣3a＜b＜﹣a，即知，故t． 【详解】解：∵m＜c＜n， ∴a+b+c＜c＜9a+3b+c， 解得﹣3a＜b＜﹣a， ∴a＜﹣b＜3a， ∵a＞0， ∴， 即t， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 二．填空题（本大题共6小题，11~12题每小题3分，13~16题每小题4分，共22分） 11．（2025•汇川区二模）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　1　 ． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】解：∵点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称， ∴a＝2，b+2＝3， 解得a＝2，b＝1， ∴a﹣b＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 12．（2025•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　2024　 ． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0， 所以m2﹣m＝1， 所以2025﹣m2+m＝2025﹣（m2﹣m）＝2025﹣1＝2024． 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．（2024秋•海安市期末）用半径为15，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　5　 ． 【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr， 解得r＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 14．（2024秋•海安市期末）如图，点A，点B在反比例函数的图象上，射线BA交y轴于点D，且AB＝2AD，延长BO交反比例函数图象另一分支于点C，连接AC交y轴于点E，若S△BCE＝6，则k的值为 　3　 ． 【分析】根据相似三角形的判定和性质及三角形的面积公式求解． 【详解】解：设B（x，y），则C（﹣x，﹣y）， ∵AB＝2AD， ∴BD＝3AD， 过A作AF⊥y轴于点F，过B作BM⊥y轴于点M，过C作CN⊥y轴于点N， 则AF∥BM∥CN， ∴△ADF∽△BDM，△AEF∽△CEN， ∴BM＝3AF， ∴CN＝BM＝3AF＝x， ∴EN＝3EF， ∵点A，点B在反比例函数的图象上， ∴A（x，3y）， ∴OF＝3y，FN＝4y， ∴EO＝2y， ∴S△BCEOE•（BM+CN）•2y（x+x）＝6， ∴2xy＝6， ∴xy＝3＝k， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数的k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质及三角形的面积公式是解题的关键． 15．（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为 【分析】由E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，可得点E为正方形外接圆上一点，延长DC至H，使DC＝CH＝4，由F是DE中点，可得CF为△DEH的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，EH最小，利用勾股定理即可求出EH最小值，进而求解． 【详解】解：∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°， ∴点E为正方形外接圆⊙O上一点， 延长DC至H，使DC＝CH＝4， 由题意可得：CF为△DEH的中位线， ∴， 当点O，E，H三点共线时，EH最小， 过点O作OM⊥CD于M， ∵ABCD为正方形，边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴CF的最小值． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的外接圆，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，画出图形，正确找到CF取最小值时点E的位置是解题的关键． 16．（2025秋•如皋市期中）二次函数y＝﹣x2+4x+3与y轴交于点A，点B（m，n）是该二次函数图象上位于点A右侧的一个动点，当点B变化时，若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差等于9，则m的值为　5　 ；若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，则m的取值范围是　2≤m≤4．　 ． 【分析】先根据二次函数的解析式求出A0，3），得出抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，7），B在顶点和A之间，不满足函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差等于9，则B在对称轴的右侧且最小值为﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得m的值；由于顶点与A之间的函数的最大值和最小值的差为4，若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，则B必须在对称轴的右侧，且n的最小值为3，利用二次函数的对称性即可求得2≤m≤4． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+3中，当x＝0时 y＝3， ∴A（0，3）， ∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，7）， ∵点B（m，n）是该二次函数图象上位于点A右侧的一个动点， 若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差等于9，则n＝﹣2， 把y＝﹣2代入y＝﹣x2+4x+3，整理得x2﹣4x﹣5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴m＝5； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，7），A（0，3）， ∴A关于对称轴的对称点为（4，3）， 若函数图象取A，B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，则2≤m≤4． 故答案为：5，2≤m≤4． 【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数性质的应用． 三．解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）（2024秋•海安市期末）选择适当的方法解下列方程： （1）（x﹣3）2＝4； （2）x2﹣5x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】解：（1）（x﹣3）2＝4， ∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得：x1＝5，x2＝1； （2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0， ∴x， 则x1，x2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（10分）（2025秋•丰台区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，即可得到△A2B2C2． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19．（10分）（2025秋•海安市期中）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是　　 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中乙同学恰好选中B的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中乙同学恰好选中B的结果有1种， ∴乙同学恰好选中B的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） 共有8种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 20．（10分）（2024秋•海安市期末）如图，已知反比例函数的图象与直线AB交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝OB＝1，S△OAC＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）当﹣3≤x≤1时，直接写出反比例函数的取值范围 y≥4或y≤﹣12　 ． 【分析】（1）根据反比例函数k值几何意义，利用面积关系求出k即可得到反比例函数解析式； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：（1）如图，作CD⊥y轴，垂足为D， ∵S△OAC＝2．OA＝OB＝1， ∴2， ∴OD＝4，BD＝3， ∴S△BOC＝2， ∴S△COD6， ∵|k|＝2S△COD＝12，且图象在第二象限， ∴k＝﹣12． 故反比例函数解析式为y． （2）由图象可知，当﹣3≤x≤1时，反比例函数的取值范围为：y≥4或y≤﹣12． 故答案为：y≥4或y≤﹣12． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（10分）（2025秋•如皋市期中）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在圆上，作∠CAD＝∠ABC，AD交BC的延长线于点D．E在⊙O上，OE⊥AB，垂足为H，连接CE交AB于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若BC＝8，∠AFE＝120°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OA，依题意得∠BAC＝90°，OA＝OC，由此得∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC，再根据∠CAD＝∠ABC得∠OAD＝∠CAD+∠OAC＝90°，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）依题意得OA＝OB＝OC＝4，∠EHF＝90°，由三角形外角性质得，∠E＝∠AFE﹣∠EHF＝30°，再由圆周角定理得∠ABC＝∠E＝30°，进而得∠AOC＝2∠ABC＝60°，则S扇形AOC，在Rt△OAD中，根据∠D＝90°﹣∠AOC＝30°得OD＝2OA＝8，由勾股定理得AD，则S△OADOA•AD，然后根据S阴影＝S△OAD﹣S扇形AOC即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OA，如图所示： ∵BC为⊙O的直径，点A在圆上， ∴∠BAC＝90°，OA＝OC， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC， ∵∠CAD＝∠ABC， ∴∠CAD+∠OAC＝90°， 即∠OAD＝∠CAD+∠OAC＝90°， ∴AD⊥OA， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）∵BC为⊙O的直径，BC＝8， ∴OA＝OB＝OC＝4， ∵OE⊥AB，垂足为H， ∴∠EHF＝90°， ∵∠AFE是△EHF的外角，且∠AFE＝120°， ∴∠AFE＝∠EHF+∠E， ∴∠E＝∠AFE﹣∠EHF＝120°﹣90°＝30°， 由圆周角定理得：∠ABC＝∠E＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∴S扇形AOC， ∵AD⊥OA， ∴△OAD是直角三角形， 在Rt△OAD中，∠D＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴OD＝2OA＝8， 由勾股定理得：AD， ∴S△OADOA•AD， ∴S阴影＝S△OAD﹣S扇形AOC． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，扇形的面积计算，熟练掌握切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积计算公式和三角形的面积公式是解决问题的关键． 22．（10分）（2025•大连模拟）商场销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）商场销售该商品每天的利润能否达到4000元？如果能，求出每千克的售价；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设商场销售该商品每天利润为w元，列出w关于x的二次函数关系式，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得： 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180（30≤x≤50）； （2）商场销售该商品每天的利润不能达到4000元，理由如下： 设商场销售该商品每天利润为w元， 根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣x2+200x﹣3600＝﹣（x﹣100）2+6400， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝100， ∴30≤x≤50时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x＝50时，w有最大值，最大值＝﹣（50﹣100）2+6400＝3900（元）， ∵3900＜4000， ∴商场销售该商品每天的利润不能达到4000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确求出函数关系式是解题的关键． 23．（10分）（2025秋•如皋市期中）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，点C在半圆O上，D为AC的中点，连接OD并延长交半圆O于点E． （1）如图1，若AD＝OD﹣1，求AC的长； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，垂足为F，若AC＝8，求AF的长． 【分析】（1）如图1，设AD＝x，由垂径定理推出∠ADO＝90°，由勾股定理得到x2+（x+1）2＝52，求出x＝3，得到AD＝3，即可求出AC＝2AD＝6； （2）如图2，由勾股定理求出OD3，判定△OEF≌△OAD（AAS），推出OF＝OD＝3，得到AF＝OA﹣OF＝2． 【详解】解：（1）如图1，设AD＝x， ∵AD＝OD﹣1， ∴OD＝x+1， ∵D是AC的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠ADO＝90°， ∴AO2＝AD2+OD2， ∵AB＝10， ∴AOAB＝5， ∴x2+（x+1）2＝52， ∴x＝3， ∴AD＝3， ∴AC＝2AD＝6； （2）如图2， ∵D是AC的中点， ∴ADAC8＝4， ∵AOAB10＝5， 由（1）知∠ADO＝90°， ∴OD3， ∵EF⊥AB， ∴∠EFO＝∠ADO＝90°， ∵∠EOF＝∠AOD，OE＝OA， ∴△OEF≌△OAD（AAS）， ∴OF＝OD＝3， ∴AF＝OA﹣OF＝5﹣3＝2． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是掌握垂径定理，判定△OEF≌△OAD（AAS）． 24．（14分）（2024秋•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数且a≠0）． （1）若a＝﹣1，b＝2，求抛物线的顶点坐标； （2）已知A（5a，y1）和B（m，y2）两点在抛物线上，且4a2﹣b＝0当1≤m≤3时，都有y1＜y2，求a的取值范围； （3）已知二次函数y＝ax2﹣bx，当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1，求a的取值范围． 【分析】（1）将a＝﹣1，b＝2代入化成顶点式即可直接得解； （2）由4a2﹣b＝0得，b＝4a2，进而得到抛物线解析式为y＝ax2﹣4a2x，所以对称轴为直线x＝2a，分类讨论，a＞0和a＜0，再根据增减性和对称性求解即可； （3）由题易得对称轴为直线x＝3，且抛物线开口向上，再求出顶点，顶点比﹣3要低，建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）将a＝﹣1，b＝2代入y＝ax2﹣bx， 得y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1， ∴顶点坐标为（﹣1，1）； （2）∵4a2﹣b＝0， ∴y＝ax2﹣4a2x， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2a． ①当a＞0时， ∴当x＞2a时，y随x的增大而增大， ∵y1＜y2， ∴5a＜1， 解得， ∴； ②当a＜0时， ∴当x＜2a时，y随x的增大而增大， 当x＞2a时，y随x的增大而减小， A（5a，y1）关于直线x＝2a的对称点为A'（﹣a，y1）， ∵y1＜y2， ∴﹣a＞3， 解得a＜﹣3， 综上，或a＜﹣3； （3）∵当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1， ∴抛物线的对称轴是直线（﹣t+5+t+1）＝3，且抛物线开口向上． ∴， 解得b＝6a， ∴y＝ax2﹣6ax＝a（x﹣3）2﹣9a， ∴﹣9a≤﹣3， ． ∴a的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（14分）（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：OD＝CG+OE ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 【分析】（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P，由角平分线的性质定理可得CP＝CD，再证明Rt△POC≌Rt△DOC（HL）可得OP＝OD，然后说明四边形CPEG是矩形可得PE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作CQ⊥OA于点Q，由角平分线的性质定理可得CQ＝CD，再证明Rt△QOC≌Rt△DOC可得OQ＝OD，然后说明四边形CQEG是矩形可得QE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分0°＜∠AOB＜90°和90°＜∠AOB＜180°分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同学你好，今天我们学习已知函数值大小关系，求参数范围。含参二次函数比较抽象，做题时往往原理痛在物理，茫茫然无从下手。只要你认真跟着老师学，你一定会豁然开朗，大彻大悟。我们来看题，在平面直角坐标系中点EM3N在抛物线Y等于AX平方加BX加CA大于零上，抛物线的对称轴是直线X等于T若M大于C小若M小于C小于A则T的取值范围是？我们先看抛物线的变化。我们看到当对称轴X等于T小于零时，在对称轴的右边Y随X的增大而增大。对于X0C0C1M3N我们可以得到，因为零小于一小于3，所以C。小瑞姆孝顺，爱你。而我们已知M小于C小于0，所以不合题意。好，下面我们来看当TW0时。当T大于0时0C这儿也有一个点是纵坐标是C如果它的横坐标是X那么X加0除以2就等于T因为这个点和这个点关于X的T对称，得到X等于RT所以这个点的坐标是RTC也可以这样求，这个长是T这个长也是TT加T等于RT我们把这个点叫做A点，横坐标是RTC所以3A银这个点就在因为A银大于C所以就在这个上面运动，或者在这个上面这个地方横坐标小于0，所以不可能。所以我们就可以得到RT小于33，一定是在Y等于C的上方的抛物线上。因为N因为M小于C因为M小于C所以点EM在Y等于C下方的抛物线上运动，也就是说在这个上面。所以一的范围就是大于0，小于2T我们把它组成不等式组，很容易求出T小于2分之3，大于2分之1，你学会了吗？ 江苏省南通市2025-2026学年九年级数学上学期末自编模拟试卷 （考试范围：九年级上册+反比例函数、相似三角形） （满分：150分 时间：120分钟） 参考答案与评分标准 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B C B B C D 二．填空题（本大题共6小题，11~12题每小题3分，13~16题每小题4分，共22分） 11．1 12．2024 13．5 14．3 15． 16．5，2≤m≤4． 三．解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分） 【详解】解：（1）（x﹣3）2＝4， ∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得：x1＝5，x2＝1；（5分） （2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0， ∴x， 则x1，x2．（10分） 18．（10分） 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（5分） （2）如图，△A2B2C2为所作； （10分） 19．（10分） 【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中乙同学恰好选中B的结果有1种， ∴乙同学恰好选中B的概率是． 故答案为：．（4分） （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） 共有8种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，（8分） ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．（10分） 20．（10分） 【详解】解：（1）如图，作CD⊥y轴，垂足为D， ∵S△OAC＝2．OA＝OB＝1， ∴2， ∴OD＝4，BD＝3， ∴S△BOC＝2， ∴S△COD6， ∵|k|＝2S△COD＝12，且图象在第二象限， ∴k＝﹣12． 故反比例函数解析式为y．（6分） （2）由图象可知，当﹣3≤x≤1时，反比例函数的取值范围为：y≥4或y≤﹣12． 故答案为：y≥4或y≤﹣12．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）证明：连接OA，如图所示： ∵BC为⊙O的直径，点A在圆上， ∴∠BAC＝90°，OA＝OC， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC， ∵∠CAD＝∠ABC， ∴∠CAD+∠OAC＝90°， 即∠OAD＝∠CAD+∠OAC＝90°， ∴AD⊥OA， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线；（5分） （2）∵BC为⊙O的直径，BC＝8， ∴OA＝OB＝OC＝4， ∵OE⊥AB，垂足为H， ∴∠EHF＝90°， ∵∠AFE是△EHF的外角，且∠AFE＝120°， ∴∠AFE＝∠EHF+∠E， ∴∠E＝∠AFE﹣∠EHF＝120°﹣90°＝30°， 由圆周角定理得：∠ABC＝∠E＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∴S扇形AOC， ∵AD⊥OA， ∴△OAD是直角三角形， 在Rt△OAD中，∠D＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴OD＝2OA＝8， 由勾股定理得：AD， ∴S△OADOA•AD， ∴S阴影＝S△OAD﹣S扇形AOC．（10分） 22．（10分） 【详解】解：（1）设每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得： 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180（30≤x≤50）；（4分） （2）商场销售该商品每天的利润不能达到4000元，理由如下： 设商场销售该商品每天利润为w元， 根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣x2+200x﹣3600＝﹣（x﹣100）2+6400，（6分） ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝100， ∴30≤x≤50时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x＝50时，w有最大值，最大值＝﹣（50﹣100）2+6400＝3900（元）， ∵3900＜4000， ∴商场销售该商品每天的利润不能达到4000元．（10分） 23．（（10分） 【详解】解：（1）如图1，设AD＝x， ∵AD＝OD﹣1， ∴OD＝x+1， ∵D是AC的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠ADO＝90°， ∴AO2＝AD2+OD2， ∵AB＝10， ∴AOAB＝5， ∴x2+（x+1）2＝52， ∴x＝3， ∴AD＝3， ∴AC＝2AD＝6；（5分） （2）如图2， ∵D是AC的中点， ∴ADAC8＝4， ∵AOAB10＝5， 由（1）知∠ADO＝90°， ∴OD3， ∵EF⊥AB， ∴∠EFO＝∠ADO＝90°， ∵∠EOF＝∠AOD，OE＝OA， ∴△OEF≌△OAD（AAS）， ∴OF＝OD＝3， ∴AF＝OA﹣OF＝5﹣3＝2．（10分） 24．（14分） 【详解】解：（1）将a＝﹣1，b＝2代入y＝ax2﹣bx， 得y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1， ∴顶点坐标为（﹣1，1）；（4分） （2）∵4a2﹣b＝0， ∴y＝ax2﹣4a2x， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2a． ①当a＞0时， ∴当x＞2a时，y随x的增大而增大， ∵y1＜y2， ∴5a＜1， 解得， ∴；（6分） ②当a＜0时， ∴当x＜2a时，y随x的增大而增大， 当x＞2a时，y随x的增大而减小， A（5a，y1）关于直线x＝2a的对称点为A'（﹣a，y1）， ∵y1＜y2， ∴﹣a＞3， 解得a＜﹣3， 综上，或a＜﹣3；（8分） （3）∵当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1， ∴抛物线的对称轴是直线（﹣t+5+t+1）＝3，且抛物线开口向上． ∴， 解得b＝6a， ∴y＝ax2﹣6ax＝a（x﹣3）2﹣9a， ∴﹣9a≤﹣3， ． ∴a的取值范围为．（14分） 25．（14分） 【详解】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE；（5分） （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE；（10分） （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴；（12分） ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或．（14分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $