精品解析：湘豫名校联考2025-2026学年高一上学期12月阶段性质量检测数学试题

湘豫名校联考 2025-2026学年高一（上）12月阶段性质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于存在量词命题的否定，可改变量词，否定结论即可. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，对命题否定需要改变量词，否定结论， 所以该命题的否定为“”． 故选：D． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集的概念运算. 【详解】由题意得，，所以． 故选：A． 3. 已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义域直接判断各选项的定义域即可． 【详解】对于A、B、C，由题知的定义域为， ， 的定义域为， ，，的定义域均为， 故A、B、C不符合题意； 对于D ，， ，解得：， 所以函数的定义域为．故D符合题意. 故选：D 4. 已知（且），则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】由题得． 故选：C 5. 已知方程与的实数根分别为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数与的图象关于直线对称，并且也关于直线对称，得到两条直线的交点坐标为，进而得到答案. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 且直线也关于直线对称，且两条直线的交点坐标为， 所以直线与曲线的两交点关于点对称， 所以，可得． 故选：A． 6. 对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D. 【详解】令，有，且，得，A成立； 令，得，C成立； 不妨设，满足，则，B不成立； ，D成立． 故选：B． 7. 已知是单调递增函数；q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据分段函数的单调性以及不等式解集求解出的取值范围，然后根据的取值范围之间的关系判断出结果. 【详解】因为是单调递增函数，且在上单调递增，在上单调递增， 所以，即，即的取值范围是． 不等式的解集为． 又 ，所以是的必要不充分条件， 故选：B． 8. 定义，已知函数，，则（ ） A. 若，则方程有且仅有一个实数解 B. 若方程有两个不同的实数解，则 C. 若函数的最小值为3，则 D. 若，令，则的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数与的图象，再就的不同取值得相应的图象，从而可判断对应项的正误. 【详解】如图，同一平面直角坐标系下，画出函数与的图象， 两个函数图象中，位于上方部分的图象为对应的图象， 位于下方部分的图象为对应的图象． 对于A，当时，两函数图象有两个不同的交点， 所以方程有两个不同的实数解，A错误． 对于B，若方程有两个不同的实数解， 则函数图象与的图象有两个不同的交点，故，B错误． 对于C，因为函数的最小值为3，令，解得． 代入，解得，C正确． 对于D，当时，， 结合图象可得， 所以此时的值域为，D错误． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列y关于x的关系不是函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 10. 若不等式的解集为，且，则（ ） A. B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得对应方程的根，由根与系数的关系及开口方向判断AB，由判别式可判断CD. 【详解】因为不等式的解集为，所以，A错误； 因为，所以，B正确； 因为有两个不相等的实根，所以， 而方程的判别式，所以方程有两个不相等的实数根，C正确； 因为方程的判别式，所以的图象与x轴有两个不同的交点，且开口向上，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 若，则 B. 是单调函数 C. 若，则在上没有最值 D. 若，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算判断A；利用指数函数、对数函数单调性判断B；确定单调性求出最小值判断C；由定义域及单调性列出不等式求解判断D. 【详解】对于A，由，得，则，，A正确； 对于B，（且）具有相同的单调性， 因此无论还是，函数在上均是单调函数，B正确； 对于C，，，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数有最小值，C错误； 对于D，函数的定义域为，则，即，函数在上单调递增， 由，得，解得，因此a的取值范围为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 【答案】64 【解析】 【分析】应用指数幂运算律及对数运算律计算求解. 【详解】原方程可化为，即，解得． 故答案为:64． 13. 已知集合，则实数a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求时的范围，取补集可得答案. 【详解】依题意知P不包含于Q．若，则解得， 所以P不包含于Q时，或． 故答案为：． 14. 已知，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：将题设条件化成关于和的方程，利用基本不等式将放大得到关于的一元二次不等式，求解即得；方法二：先将所求式整理成，利用“乘1”法和基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】方法一：由去分母，可得，整理得（*）， 因，，即，当且仅当时等号成立， 由（*）可得，即，解得或（不合题意舍去）， 故的取值范围为； 方法二：因为，所以， 而， 当且仅当时等号成立，由，解得， 当时，取得最小值为， 此时取得最小值为. 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出集合和集合，再根据交集的定义即可求出； （2）先求出集合和集合，再根据必要不充分条件得到集合与集合的关系，进而求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ，解得，即． ，即，解得或，即． 所以（或）． 【小问2详解】 ， 由，得，即， 因为，由，得，解得，即， 因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以， 解得． 所以实数a的取值范围为． 16. 第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程．设该参与者从处出发后，徒步的路程为S米，所用的时间为t分钟． （1）求S关于t的函数解析式； （2）求该参与者徒步全程的路程； （3）求该参与者徒步前半段路程花费的时间． 【答案】（1）； （2）5700（米）； （3）45分钟． 【解析】 【分析】（1）根据给定的信息，利用速度、时间、路程的关系分段求出即得解析式. （2）由（1）的结论求出函数值. （3）由（2）求出半段路程及所属范围，再列出方程求解. 【小问1详解】 依题意，当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以S关于t的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）得（米）． 【小问3详解】 由（2）得前半段路程为2850米，， 由，解得， 所以该参与者徒步前半段路程花费的时间为45分钟. 17. 已知方程的两个实数根分别为，且． （1）求实数b的取值范围； （2）设为方程在区间上有解时的最大值，求当的取值范围满足（1）的结论时，的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得方程判别式大于0以及，由韦达定理可得答案. （2）设，由（1）可得在上单调递增，最大值为，最后由（1）解析可得答案. 【小问1详解】 由题可得判别式大于0， 即或. 由韦达定理：，因， 则. 结合或，可得； 【小问2详解】 设， 其在上单调递增，由（1），，可得在上单调递增， 又在上有解，可得最大值为， 又，则，即的范围为 18. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）若，试判断，的大小； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 不妨设， 则 ． 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小； （3）设，解不等式可得的取值范围，即的取值范围，再次解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，且的定义域为， 所以是奇函数． 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， 所以． 【小问3详解】 设，则． 当时，，显然不符合题意； 当时，，解得或， 所以①，或②， 解①得，或， 解②得该不等式的解集为． 综上所述，实数的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求方程的实数解的个数； （2）若，使得不等式成立，且，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）一个． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用零点存在性定理以及单调性可求证； （2）利用单调性求出的范围，再利用参变分离可求； （3）利用单调性求出的最值，即可得出，再构造函数，结合单调性解不等式. 【小问1详解】 令， 因在上单调递增，则在上单调递增， 因为，， 由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点， 即方程有且仅有一个实数解， 故方程有且仅有一个实数解； 【小问2详解】 因为在上单调递增，则， 又，使得不等式成立，则； 因为在上单调递减，则， 又，不等式恒成立，则， 综上所述，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为在上单调递增，则， 因为在上单调递减， 则， 因，使得不等式成立， 则，即， 设， 因在上单调递增，则在上单调递增， 因．所以的解集为， 即不等式的解集为， 又，满足，所以实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘豫名校联考 2025-2026学年高一（上）12月阶段性质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知（且），则（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 已知方程与的实数根分别为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是单调递增函数；q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 定义，已知函数，，则（ ） A. 若，则方程有且仅有一个实数解 B. 若方程有两个不同的实数解，则 C. 若函数的最小值为3，则 D. 若，令，则的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列y关于x的关系不是函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集为，且，则（ ） A. B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程有两个不相等的实数根 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 若，则 B. 是单调函数 C. 若，则在上没有最值 D. 若，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 13. 已知集合，则实数a的取值范围为_________． 14. 已知，且，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程．设该参与者从处出发后，徒步的路程为S米，所用的时间为t分钟． （1）求S关于t的函数解析式； （2）求该参与者徒步全程的路程； （3）求该参与者徒步前半段路程花费的时间． 17. 已知方程的两个实数根分别为，且． （1）求实数b的取值范围； （2）设为方程在区间上有解时的最大值，求当的取值范围满足（1）的结论时，的取值范围. 18. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）若，试判断，的大小； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求方程的实数解的个数； （2）若，使得不等式成立，且，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $