专题02 平抛运动与各种面结合模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦平抛运动与斜面、曲面、竖直墙面结合的核心模型，基于平抛运动“水平匀速+竖直自由落体”基本规律，通过推论模型、斜面结合、曲面结合、竖直墙面结合四大模块构建知识体系，为学生提供从基础规律到复杂场景应用的学习支架。 资料以科学思维培养为核心，每个模型含模型构建、剖析、题目示例及变式探究，强化模型建构与科学推理能力。结合跳台滑雪、高尔夫等实例，课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习深化运动和相互作用观念，有效查漏补缺。

专题02 平抛运动与各种面结合模型 【模型1　平抛运动的推论】 【模型构建】 平抛运动的推论模型是在 “水平匀速直线运动 + 竖直自由落体运动” 核心规律基础上，通过推导得出的实用结论体系，核心是利用运动的合成与分解、矢量关系及几何特性，提炼出关于速度方向、位移方向、轨迹方程、特殊比例等关键推论，用于快速解决平抛运动的计算与判断问题。 【模型剖析】 1.飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 2.水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 3.落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 4.速度改变量Δv： 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 5.平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 （2）做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 【题目示例】 跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为vM、vN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】AD 【详解】AB.运动员做平抛运动，运动时间满足 解得 运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间 平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 可知两次平抛的速度变化量，故 A 正确,B 错误； CD.如图，连接 P 点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则 ， 因为 所以 可知，故 D 正确,C 错误。 故选AD。 【变式探究】 如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远 B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大 C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为 D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是 【答案】D 【详解】A．如图所示， 物体距离斜面最远时速度方向与斜面方向平行，可得 即 故A错误； B．在平抛运动中，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍。由于物体在斜面上抛出又落在斜面上，因此在不同初速度抛出的情况下位移偏转角相同，则速度偏转角相同。故增大初速度，速度偏转角不变。故B错误； C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，由牛顿第二定律可得 则物体的加速度 分解小球落在斜面上的速度，如图所示 可得 ， 故C错误； D．如图所示， 经过足够长的时间，物体的速度趋于与斜面平行，则合力的方向与斜面方向平行。由几何关系可知，当恒力方向与合力方向垂直时，恒力最小。恒力的最小值为 故D正确。 故选D。 【模型2　平抛运与斜面结合】 【模型构建】 平抛运动与斜面结合的模型是高频考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速 + 竖直自由落体” 分运动规律，与斜面的 “几何约束（位移沿斜面）” 或 “碰撞约束（速度垂直斜面）” 相结合，通过分解运动、利用三角函数关系和推论如求解运动时间、初速度、落点位置等关键物理量，适用于 “物体落在斜面上”“物体垂直撞在斜面上”“从斜面抛出后落回斜面” 等场景。 【模型剖析】 类型一：沿着斜面平抛 1.斜面上平抛运动的时间的计算 v0 θ( )α )α 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。 2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法 v0 θ( v )θ dm x y 当v的方向与斜面平行时距离最大 v0 θ( v )θ dm )θ g θ x y 当vy减为0时距离最大 (1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝. 类型二：垂直撞斜面平抛运动 v0 )θ H H-y x 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 【题目示例】 如图所示，某高尔夫球场有一长为L的斜坡，倾角为。球1从某高度处水平抛出，刚好垂直落在距斜坡底端处，经斜坡垂直反弹后，速度大小变为原来的。球2从斜坡顶端水平抛出后落在斜坡上。已知重力加速度为g，球1的初速度大小为，球2的初速度大小为，忽略空气阻力，，，则（　　） A．反弹后，球1在空中运动的过程中离坡底最大高度为 B．球1落地时离斜坡底端距离为 C．球1在空中运动的总时间为 D．球2在空中运动过程中与斜坡的最大距离为 【推理过程】 【答案】AD 【详解】A．球1落到斜坡时速度 反弹后速度 水平分速度 竖直分速度 上升高度 球1离地最大高度，故A正确； B．球1反弹后运动到最高点时间为 由 得最高点到地面时间 则球1落地时离斜坡底端距离为，故B错误； C．球1由初位置到斜坡运动时间 则球1运动总时间，故C错误； D．球2垂直斜面方向的分速度 垂直斜面方向的分加速度 球2垂直斜面方向的分速度减为零时离斜坡最远，有 则球2与斜坡的最大距离为，故D正确。 故选AD。 【变式探究】 如图所示，在一个倾角37°的长斜面底端O点正上方的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，取，重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度 B．Q点离O点的距离 C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离等于 D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为 【答案】D 【详解】A．如图甲所示 小球垂直击中斜面时，速度的偏向角为53°，根据平抛运动规律的推论可知，速度偏向角的正切值 可得 因为 小球在空中运动的时间 初速度，故A错误； B．几何关系可知，故B错误； C．保持抛出点高度不变，初速度大小变为原来的两倍，如图乙所示 若无斜面，则小球应击中点，实际击中点为轨迹与斜面的交点，显然离底端O的距离小于2|QO|，故C错误； D．若抛出点高度变为2h，根据小球垂直击中斜面的规律知 根据A项的分析，可得 小球在空中运动的时间 则小球平抛运动初速度，故D正确。 故选D。 【模型3　平抛运动与曲面结合】 【模型构建】 平抛运动与曲面结合的模型是进阶考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速 + 竖直自由落体” 分运动规律，与曲面的 “几何约束（落点在曲面上，满足曲面方程）” 或 “碰撞约束（速度方向与曲面切线 / 法线关联）” 相结合，通过分解运动、联立曲面方程、利用矢量关系求解初速度、运动时间、落点位置等关键物理量，适用于 “物体落在圆弧面、抛物面、斜面的延伸曲面” 【模型剖析】 类型一： 半圆平抛运动 （1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。 类型二：平抛与圆相切 对速度v进行分解tanθ= 对速度v进行分解tanθ= 由v的反向延长线为水平位移中点可知小球不能垂直撞击圆弧 【题目示例】 如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度向左抛出小球乙，，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B．甲球做平抛运动的时间为 C．甲球做平抛运动的初速度大小为 D．若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 【推理过程】 【答案】C 【详解】A．由于两球同时抛出、同时落在圆弧面上，因此两球平抛运动的时间相等，下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量相同，设末速度方向与水平方向的夹角为，由 已知，可知甲球末速度方向与水平方向的夹角更大，故A错误； B．由平抛运动的水平方向规律 甲、乙两球做平抛运动的水平位移之比为 则甲球做平抛运动的水平位移为 根据几何关系，两球做平抛运动下落的高度 由 联立解得 故B错误； C．甲球做平抛运动的初速度大小为 故C正确； D．若甲球做平抛运动的初速度大小为，由于甲球下落R高度的水平位移 小于R，因此甲仍能落在圆弧面上，故D错误。 故选C。 【变式探究】 如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【详解】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 【模型4　平抛运动与竖直墙面结合】 【模型构建】 平抛运动与竖直墙面结合的模型是基础核心考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速直线运动 + 竖直自由落体运动” 分运动规律，与 “竖直墙面的水平约束（水平位移固定为墙距）” 相结合，通过分运动等时性建立关联，求解运动时间、初速度、撞击高度、速度方向等关键物理量，适用于 “物体水平抛出后撞击竖直墙面”“从墙面某点水平抛出后落地” 等场景。 【模型剖析】 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. v0 x 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 运动时间（核心物理量）：水平方向：（水平位移等于墙距），解得： 关键结论：运动时间仅由墙距L和初速度决定，与竖直方向运动无关。撞击点高度：设抛出点高度为H，竖直下落距离，则墙面撞击点高度： 【题目示例】 如图，足够高的水平平台右侧有一竖直挡板，挡板到平台右端的距离为d，一质量为m的可视为质点的小物块静止在平台上，与平台之间的动摩擦因数为μ，到平台右端的距离为L，在水平向右的拉力作用下从静止开始向右运动，当小物块到达平台右端时，撤去拉力，物块击中右侧挡板的位置距平台右端的竖直高度为h，对挡板产生一个撞击力，设该撞击力的大小正比于撞击时物块速度大小的平方，求： (1)水平拉力的大小； (2)仅改变物块的初始位置到平台右端的距离，为使物块撞击挡板时的撞击力最小，则该距离是多少？ 【推理过程】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设物块离开平台右侧做平抛运动的初速度大小为，飞行时间为，则有， 物块在平台上加速，有F-μmg= ma 又 联立解得 （2）设物块离开平台右侧做平抛运动的初速度大小为，飞行时间为，撞击挡板时的速度大小为，则有，， 联立可得 当 时，有最小值，产生的撞击力最小，物块在平台上加速时有 联立解得 【变式探究】 在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．将两次的初速度正交分解，由于每次的抛出角度不变，两次水平位移相同，即 第一次 第二次 可得，，故A错误B正确； C．根据位移公式有篮球第一次上升的最大高度 第二次上升的最大高度 可得，故C正确； D．第二次的末速度与初速度的大小相同，速度矢量关系如图所示，速度偏转角，正切值非2倍的关系，故D错误。 故选BC。 1. 如图所示，小球甲、乙、丙分别从固定斜面上的点先后抛出，甲球沿水平向右抛出，乙、丙两球沿斜向上抛出，甲、乙、丙的初速度大小分别为，分别落在斜面上的点（图中均未画出），与的夹角，斜面倾角，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．甲球在空中运动的时间最长 B．三个球落到斜面上瞬间，速度与斜面之间的夹角均相等 C．落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍 D． 【答案】C 【详解】A．对甲球有 对乙球有 同理对丙球有 可知丙球在空中运动的时间最长，故A错误； B．设甲球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其方向与斜面之间的夹角满足 设乙球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其与斜面之间的夹角满足 设丙球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其与斜面之间的夹角满足 可知仅乙、丙速度同向，故B错误； C．因，且乙、丙落到斜面上时速度方向相同，可知落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍，故C正确； D．沿斜面向下，丙球的平均速度为乙球的2倍，且其运动的时间也为乙球的2倍，故，故D错误。 故选C。 2. 在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过a、b、c三点，如图所示。已知网球经过a点时的速度大小为v0，方向与a、c连线的夹角为60°；经过b点时的速度v1与a、c连线平行；经过c点时的速度v2与a、c连线成30°、大小为v0。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球由a运动到c的时间为 B．ab和bc的水平距离相等 C．v2与水平方向的夹角为60° D．b点到c点的竖直高度为 【答案】BC 【详解】A．将网球的运动分解在ac方向与垂直ac方向，则在ac方向， 垂直ac方向， 且 解得，故A错误； B．a到b过程中 b到c过程中 解得 且 ab的水平距离为 bc的水平距离为 联立，解得，故B正确； C．假设v2与水平方向的夹角为，则 解得=60°，故C正确； D．b点到c点的竖直高度为，故D错误。 故选BC。 3. 中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 4. 某高中学校的两处不同地形的草坪上分别安装了相同的自动旋转喷灌装置，如图甲、乙所示。两个喷嘴分别对称地安装固定在水平弯管的两端，当喷嘴将水流水平射出时，水平弯管在水流的反作用下可绕O在水平面内旋转，喷水速度可在限定的最大喷水速度内自动调节。两种情形O点距水平地面的高度相等，图乙情形中水不会喷出坡面范围，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．甲情形中，喷水速度越大，水在空中的时间越长 B．乙情形中，喷水速度越大，水在空中的时间越长 C．若甲情形中喷水的最大速度加倍，则水直接喷到草坪的面积变成原来的2倍 D．若乙情形中喷水的最大速度加倍，则水能直接喷到的最大水平距离变成原来的4倍 【答案】BD 【详解】A．水做平抛运动，图甲情形中，高度一定，则运动时间一定，与喷水速度无关，A错误； B．水做平抛运动，图乙情形中，喷出的水落到斜面上，水平方向的位移与竖直方向下落的高度有确定的关系： 解得 ，喷水速度越大，水在空中的时间越长，B正确； C．若甲情形中喷水的最大速度加倍，， 则水直接喷到草坪的面积变成原来的4倍，C错误； D．若乙情形中喷水的最大速度加倍， 则水能直接喷到的最大水平距离变成原来的4倍，D正确。 故选BD。 5. 如图所示，假设某运动员由a点沿水平方向跳离，经过一段时间落在c点，轨迹上的b点距离连线ac最远，d点为竖直线bd与ac连线的交点，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．b点的速度与连线ac平行 B．运动员从a到b的时间小于b到c的时间 C．ad两点之间的距离大于dc两点的距离 D．ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为 【答案】AD 【详解】A．运动员在空中做平抛运动，，轨迹上的b点距离连线ac最远，此时切线方向与斜面平行，即b点的速度与连线ac平行，故A正确； B．设运动员从a到b的时间为，则有 设运动员从a到c的时间为，则有 解得 可知运动员从a到b的时间等于b到c的时间，故B错误； C．根据几何关系可得， 可知ad两点之间的距离等于dc两点的距离，故C错误； D．竖直方向有， 可得ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为，故D正确。 故选AD。 6. 如图所示，a、b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面倾角为30°，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】a、b两个小球抛出后做平抛运动，有， 将半圆轨道和斜面重合放置，如图所示 会发现两轨道交于A点，也就是说当抛出小球的速度恰好为某一值时，两小球会在同时落到半圆轨道上和斜面上，图中的x和y分别为小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，根据几何关系可得， 联立解得小球抛出的初速度的大小为 故选C。 7. 跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 【答案】C 【详解】A．运动员水平飞出后做平抛运动，水平方向位移 竖直方向位移 其中， 竖直方向由自由落体运动规律 代入， 解得 水平方向， 则，A正确； B．由竖直方向位移公式 解得，B正确； C．将运动分解为垂直斜坡方向和沿斜坡方向，垂直斜坡方向初速度 加速度 最大距离时垂直方向速度为0，时间 垂直方向位移，C错误； D．由垂直斜坡方向速度减为零时距离最大，时间，D正确； 故选C。 8. 某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示 水滴从P到B做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度 竖直方向做自由落体运动，速度 因水柱垂直撞击倾角为的斜面，故撞击时速度方向与斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度和竖直速度分解到沿斜面方向，水平速度沿斜面方向的分量为；竖直速度沿斜面方向的分量为，负号表示与斜面正方向相反。沿斜面方向合速度为零，有 代入得 化简解得 故选A。 9. 如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从抛出到落在斜面上的时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 【答案】D 【详解】AB．小球做平抛运动恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得 解得，故AB错误； CD．小球垂直打在斜面上，设小球抛出时距斜面底端的高度为，根据平抛运动规律，在水平方向上有 在竖直方向上有 根据几何关系有 解得，故C错误，D正确。 故选D。 10. 打铁花是国家级非物质文化遗产，表演时，将高温的铁汁抛向空中击打到墙上，铁花四溅，极为壮观，如图甲所示。某同学利用频闪照相机拍摄到一铁花（可视为质点）下落过程中的五个位置如图乙所示，测得A、C及C、E两点间连线的实际距离分别为和，与水平方向的夹角分别为和。若已知频闪的时间间隔为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．该铁花一定做平抛运动 B．铁花从B点到D点的过程，速度变化量大小为，方向竖直向下 C． D．铁花经过B点时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．铁花初速度情况未知，故不一定做平抛运动，故A错误； B．铁花从B点到D点的过程，根据 可得速度变化量大小为，方向竖直向下，故B正确； C．根据逐差公式 可知，故C错误； D．如图所示， 设铁花运动时水平方向的速度为，经过三点竖直方向的速度分别为，则水平方向有 竖直方向有 B点时的速度大小 联立可求得，故D正确。 故选BD。 11. 假设某滑雪者从山上M点以水平速度v0飞出，经t0时间落在山坡上N点时速度方向刚好沿斜坡向下，接着从N点沿斜坡下滑，又经t0时间到达坡底P处。已知斜坡NP与水平面夹角为60°，不计摩擦阻力和空气阻力，则（  　） A．滑雪者到达N点的速度大小为 B．M、N两点之间的距离为2v0t0 C．滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为 D．M、P之间的高度差为 【答案】D 【详解】A．滑雪者到达N点时的速度大小为，故A错误； B．滑雪者到达N点时的竖直分速度为 解得 则M、N两点之间的竖直位移为 M、N两点之间的水平位移为 故M、N两点之间的距离为，故B错误； C．根据牛顿第二定律有 解得，故C错误； D．N、P之间的距离为 N、P两点之间的高度差为 故M、P之间的高度差为，故D正确。 故选D。 12. 如图所示，以10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3m，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，以下说法中正确的是（　　） A．物体在空中飞行的时间是s B．物体撞击斜面时的速度大小为12.5m/s C．抛出点距斜面底端A的水平距离为7.5m D．抛出点距斜面底端A的水平距离为3.5m 【答案】BD 【详解】A．速度方向与斜面方向成74°，可知撞在斜面上时速度与水平方向的夹角为37°，设物体飞行的时间为t，根据平抛运动规律有， 解得，故A错误； B．物体撞击斜面时的速度大小为m/s，B正确； CD．物体飞行的水平位移为m 则抛出点距斜面底端A的水平距离为，C错误，D正确。 故选BD。 13. 一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（　　） A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方 C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m 【答案】CD 【详解】A．第一次以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知 解得，故A错误； BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，小球正好与斜面在Q点，此时速度偏角小于第一次的速度偏角，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，水平方向做匀速直线运动，所以，故B错误，C正确； D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差，故D正确。 故选CD。 14. 如图所示，在风洞实验室中，时刻从空中的点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后运动到点正下方的点，已知重力加速度大小为，则小球经过点速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由分析可知，小球在水平向右的恒定风力的作用下，在水平方向先向左做匀减速直线运动再向右做匀加速直线运动。当运动到P点时，水平方向的速度 设小球在水平方向的加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 设小球从O点运动到P点的时间为，则在水平方向根据运动学公式有 解得 小球在竖直方向做自由落体运动，设运动到P点时竖直方向的速度为，则 所以小球经过点时速度的大小为 故选B。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平抛运动与各种面结合模型 【模型1　平抛运动的推论】 【模型构建】 平抛运动的推论模型是在 “水平匀速直线运动 + 竖直自由落体运动” 核心规律基础上，通过推导得出的实用结论体系，核心是利用运动的合成与分解、矢量关系及几何特性，提炼出关于速度方向、位移方向、轨迹方程、特殊比例等关键推论，用于快速解决平抛运动的计算与判断问题。 【模型剖析】 1.飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 2.水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 3.落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 4.速度改变量Δv： 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 5.平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 （2）做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 【题目示例】 跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为vM、vN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远 B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大 C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为 D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是 【模型2　平抛运与斜面结合】 【模型构建】 平抛运动与斜面结合的模型是高频考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速 + 竖直自由落体” 分运动规律，与斜面的 “几何约束（位移沿斜面）” 或 “碰撞约束（速度垂直斜面）” 相结合，通过分解运动、利用三角函数关系和推论如求解运动时间、初速度、落点位置等关键物理量，适用于 “物体落在斜面上”“物体垂直撞在斜面上”“从斜面抛出后落回斜面” 等场景。 【模型剖析】 类型一：沿着斜面平抛 1.斜面上平抛运动的时间的计算 v0 θ( )α )α 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。 2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法 v0 θ( v )θ dm x y 当v的方向与斜面平行时距离最大 v0 θ( v )θ dm )θ g θ x y 当vy减为0时距离最大 (1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝. 类型二：垂直撞斜面平抛运动 v0 )θ H H-y x 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 【题目示例】 如图所示，某高尔夫球场有一长为L的斜坡，倾角为。球1从某高度处水平抛出，刚好垂直落在距斜坡底端处，经斜坡垂直反弹后，速度大小变为原来的。球2从斜坡顶端水平抛出后落在斜坡上。已知重力加速度为g，球1的初速度大小为，球2的初速度大小为，忽略空气阻力，，，则（　　） A．反弹后，球1在空中运动的过程中离坡底最大高度为 B．球1落地时离斜坡底端距离为 C．球1在空中运动的总时间为 D．球2在空中运动过程中与斜坡的最大距离为 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，在一个倾角37°的长斜面底端O点正上方的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，取，重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度 B．Q点离O点的距离 C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离等于 D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为 【模型3　平抛运动与曲面结合】 【模型构建】 平抛运动与曲面结合的模型是进阶考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速 + 竖直自由落体” 分运动规律，与曲面的 “几何约束（落点在曲面上，满足曲面方程）” 或 “碰撞约束（速度方向与曲面切线 / 法线关联）” 相结合，通过分解运动、联立曲面方程、利用矢量关系求解初速度、运动时间、落点位置等关键物理量，适用于 “物体落在圆弧面、抛物面、斜面的延伸曲面” 【模型剖析】 类型一： 半圆平抛运动 （1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。 类型二：平抛与圆相切 对速度v进行分解tanθ= 对速度v进行分解tanθ= 由v的反向延长线为水平位移中点可知小球不能垂直撞击圆弧 【题目示例】 如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度向左抛出小球乙，，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B．甲球做平抛运动的时间为 C．甲球做平抛运动的初速度大小为 D．若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【模型4　平抛运动与竖直墙面结合】 【模型构建】 平抛运动与竖直墙面结合的模型是基础核心考点，核心是将平抛运动的 “水平匀速直线运动 + 竖直自由落体运动” 分运动规律，与 “竖直墙面的水平约束（水平位移固定为墙距）” 相结合，通过分运动等时性建立关联，求解运动时间、初速度、撞击高度、速度方向等关键物理量，适用于 “物体水平抛出后撞击竖直墙面”“从墙面某点水平抛出后落地” 等场景。 【模型剖析】 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. v0 x 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 运动时间（核心物理量）：水平方向：（水平位移等于墙距），解得： 关键结论：运动时间仅由墙距L和初速度决定，与竖直方向运动无关。撞击点高度：设抛出点高度为H，竖直下落距离，则墙面撞击点高度： 【题目示例】 如图，足够高的水平平台右侧有一竖直挡板，挡板到平台右端的距离为d，一质量为m的可视为质点的小物块静止在平台上，与平台之间的动摩擦因数为μ，到平台右端的距离为L，在水平向右的拉力作用下从静止开始向右运动，当小物块到达平台右端时，撤去拉力，物块击中右侧挡板的位置距平台右端的竖直高度为h，对挡板产生一个撞击力，设该撞击力的大小正比于撞击时物块速度大小的平方，求： (1)水平拉力的大小； (2)仅改变物块的初始位置到平台右端的距离，为使物块撞击挡板时的撞击力最小，则该距离是多少？ 【推理过程】 【变式探究】 在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 1. 如图所示，小球甲、乙、丙分别从固定斜面上的点先后抛出，甲球沿水平向右抛出，乙、丙两球沿斜向上抛出，甲、乙、丙的初速度大小分别为，分别落在斜面上的点（图中均未画出），与的夹角，斜面倾角，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．甲球在空中运动的时间最长 B．三个球落到斜面上瞬间，速度与斜面之间的夹角均相等 C．落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍 D． 2. 在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过a、b、c三点，如图所示。已知网球经过a点时的速度大小为v0，方向与a、c连线的夹角为60°；经过b点时的速度v1与a、c连线平行；经过c点时的速度v2与a、c连线成30°、大小为v0。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球由a运动到c的时间为 B．ab和bc的水平距离相等 C．v2与水平方向的夹角为60° D．b点到c点的竖直高度为 3. 中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 4. 某高中学校的两处不同地形的草坪上分别安装了相同的自动旋转喷灌装置，如图甲、乙所示。两个喷嘴分别对称地安装固定在水平弯管的两端，当喷嘴将水流水平射出时，水平弯管在水流的反作用下可绕O在水平面内旋转，喷水速度可在限定的最大喷水速度内自动调节。两种情形O点距水平地面的高度相等，图乙情形中水不会喷出坡面范围，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．甲情形中，喷水速度越大，水在空中的时间越长 B．乙情形中，喷水速度越大，水在空中的时间越长 C．若甲情形中喷水的最大速度加倍，则水直接喷到草坪的面积变成原来的2倍 D．若乙情形中喷水的最大速度加倍，则水能直接喷到的最大水平距离变成原来的4倍 5. 如图所示，假设某运动员由a点沿水平方向跳离，经过一段时间落在c点，轨迹上的b点距离连线ac最远，d点为竖直线bd与ac连线的交点，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．b点的速度与连线ac平行 B．运动员从a到b的时间小于b到c的时间 C．ad两点之间的距离大于dc两点的距离 D．ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为 6. 如图所示，a、b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面倾角为30°，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度的大小为（　　） A． B． C． D． 7. 跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 8. 某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 9. 如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从抛出到落在斜面上的时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 10. 打铁花是国家级非物质文化遗产，表演时，将高温的铁汁抛向空中击打到墙上，铁花四溅，极为壮观，如图甲所示。某同学利用频闪照相机拍摄到一铁花（可视为质点）下落过程中的五个位置如图乙所示，测得A、C及C、E两点间连线的实际距离分别为和，与水平方向的夹角分别为和。若已知频闪的时间间隔为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．该铁花一定做平抛运动 B．铁花从B点到D点的过程，速度变化量大小为，方向竖直向下 C． D．铁花经过B点时的速度大小为 11. 假设某滑雪者从山上M点以水平速度v0飞出，经t0时间落在山坡上N点时速度方向刚好沿斜坡向下，接着从N点沿斜坡下滑，又经t0时间到达坡底P处。已知斜坡NP与水平面夹角为60°，不计摩擦阻力和空气阻力，则（  　） A．滑雪者到达N点的速度大小为 B．M、N两点之间的距离为2v0t0 C．滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为 D．M、P之间的高度差为 12. 如图所示，以10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3m，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，以下说法中正确的是（　　） A．物体在空中飞行的时间是s B．物体撞击斜面时的速度大小为12.5m/s C．抛出点距斜面底端A的水平距离为7.5m D．抛出点距斜面底端A的水平距离为3.5m 13. 一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（　　） A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方 C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m 14. 如图所示，在风洞实验室中，时刻从空中的点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后运动到点正下方的点，已知重力加速度大小为，则小球经过点速度的大小为（　　） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $