专题1.1 锐角三角函数（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的概念及定义，通过11个考点（含概念辨析、求值、求边长等）构建从基础理解到综合应用的学习支架，衔接直角三角形性质与解直角三角形实际应用。 资料特色在于知识梳理结合易错点拨培养抽象能力（数学眼光），考点讲练通过典例与变式训练发展推理意识（数学思维），中考真题与分层练习（基础夯实、培优拔高）强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力。

专题1.1 锐角三角函数 【知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理1：锐角三角函数的概念 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：正弦的概念辨析 2 考点2：求角的正弦值 6 考点3：已知正弦值求边长 9 考点4：求角的余弦值 13 考点5：余弦的概念辨析 14 考点6：已知余弦求边长 16 考点7：求角的正切值 18 考点8：正切的概念辨析 22 考点9：已知正切值求边长 25 考点10：已知角度比较三角函数值的大小 29 考点11：根据三角函数值判断锐角的取值范围 30 中考真题 实战演练 31 难度分层 拔尖冲刺 38 基础夯实 38 培优拔高 44 知识点梳理1：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·江苏淮安·一模）如图，在锐角中，，点P是边上的一个动点，点P关于、的对称点分别是点、，连接，在点P从点A运动到点C的过程中，的长度（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【思路点拨】过作交于，作交于，由等腰三角形的性质及垂线段最短得，当与重合时取等号，点P从点A运动到点C的过程中，由对称的性质得先减小后增大，由对称的性质得：，设，，由三角函数得，即可求解． 【规范解答】解：过作交于，作交于， ， ， 当与重合时取等号， 点P从点A运动到点C的过程中， 先减小后增大， 由对称得：， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 是定值， 先减小后增大， 故选：D． 【变式训练1】（2025·广东·模拟预测）如图，，以点O为圆心，为半径作弧，点A是中点，点P是弧上的动点，以为直角边作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】将线段绕点A旋转并延长至点D，使得，过点D作，交延长线于点H，连接，证明，求出，推出点Q在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，由最小值，最小值为，易证四边形是矩形，再利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：将线段绕点A旋转并延长至点D，使得，过点D作，交延长线于点H，连接， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，由最小值，最小值为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点A是中点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【规范解答】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查应用解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识以及逻辑推理能力和运用能力． （1）利用已知条件可以证明，再利用其对应边成比例即可求出的长． （2）作边上的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出． 【规范解答】（1）解：，， ，， ， ， ∵， ， ∴，即， ∴， ， （舍去）， ； （2）解：过点B作，交于点E， ， ，， ， ， ， ． 【变式训练1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【规范解答】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【规范解答】，，， ． 故选：D． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 【变式训练1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【规范解答】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 【变式训练2】（2025·广东惠州·三模）如图，在正五边形中，连接，点F为的中点，连接并延长，交边于点G，则的值为 ．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【思路点拨】题目主要考查正多边形的性质，解三角形，矩形的判定，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点A作，根据多边形内角和定理及其性质得出，再由矩形的判定和性质得出四边形为矩形，，设，利用正弦函数得出，，即可求解． 【规范解答】解：过点A作，如图所示： ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点F为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【规范解答】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 【变式训练1】（2025·江西抚州·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】（1）4；（2），见解析 【思路点拨】本题考查算术平方根，有理数的乘方，特殊角的三角函数，立方根，实数的加减，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根，有理数的乘方，特殊角的三角函数，立方根，进行计算，最后再加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定它们的公共部分，即可解答． 【规范解答】解：原式 （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 解集在数轴上表示如图所示： 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求角的余弦值，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用勾股定理求出，再求出的值． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 【变式训练1】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【规范解答】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用余弦求边长，根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式求解即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2024九年级下·浙江台州·竞赛）如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了正切的应用，等边三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于根据圆的运动情况找出最大最小的临界状态． 连接并延长交于点，连接，，过点分别作．设等边三角形边长为，的半径为，根据等边三角形性质可知，，，结合等边三角形性质，直角三角形性质，推出，，结合，推出，再结合勾股定理得到，进而得到，即可求出的最小值． 【规范解答】解：如图，连接并延长交于点，连接，，过点分别作． 可以在等边三角形内部任意位置移动， 圆心的运动范围为以为顶点的等边三角形内部及边上． 设等边三角形边长为，的半径为， 则， 根据等边三角形性质可知，，， ， ，， 同理可得， ， 记，若， ， 即， 整理得， ， ， 的最小值为； 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 取格点G，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【规范解答】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式训练2】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，这是由边长相等的小正方形组成的网格，，均在格点（网格线的交点）上，连接． (1)在网格中，用无刻度直尺画出，使． (2)在（1）作图中，用无刻度直尺画出，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理与网格问题，正切的定义，解题的关键是数形结合． （1）构造等腰直角三角形即可； （2）取格点，，连接交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴． （2）如图，即为所求． 根据作图可得 ∴ 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·黑龙江绥化·一模）如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点， 交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是(    ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【思路点拨】①根据正方形的性质求证是直角三角形，得出即可得到结果； ②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，， 、分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即为直角三角形， ， 也是直角三角形， ； ；． 故①正确； 由①得，， ， ， ， ， ， 故②正确； 由①得，， 由②得，， ， ， ， ，而不是， 故③错误； ， ， 即， 同理可得：， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【规范解答】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海静安·期中）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【规范解答】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【规范解答】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 【变式训练2】（2025·河南郑州·三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形是菱形，，是的中点，点在边上，四边形是矩形，则：是 ． 【答案】 【思路点拨】连接交于点，由矩形的性质得，，则，由菱形的性质得，，则是等边三角形，所以，则，因为是边的中点，所以，求得，则是等边三角形，所以，可证明 ，由，求得，即，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接交于点， 四边形是矩形， ，，，且， ，， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ∽， ， ， ∴， 故答案为：． 考点10：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·月考）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴； 故选D． 【变式训练1】（23-24九年级下·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【规范解答】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【变式训练2】（23-24九年级下·浙江金华·月考） （填“或”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【规范解答】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 考点11：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（23-24九年级下·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【规范解答】解： ，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【规范解答】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 【变式训练2】（23-24九年级下·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【规范解答】解：由 ， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 1．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【规范解答】解： ，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【规范解答】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 3.（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，根据网格特点构造相似三角形是解题的关键． 过点B作，交于点G，取格点F，得到，从而，即可求得．由得到，根据，得到，．过点P作于点Q，则，得到，求得，．过点C作于点H，根据的面积求得．因此在中，根据勾股定理求得，在中，求得，根据正切的定义即可求解． 【规范解答】解：过点B作，交于点G，取格点F， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，解得， ∴，， 过点P作于点Q，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 过点C作于点H， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 4.（2024·上海·中考真题）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【规范解答】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 5．（2024·江西吉安·中考真题）如图，已知反比例函数（，）的图象与直线交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B为的中点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的表达式和的值． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】（1）过点作轴于点，根据，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，证明，得出，代入中，即可求解； （2）根据直线过点，，两点的坐标分别为，，得出直线的表达式为，在中，由勾股定理，得，进而根据余弦的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：过点作轴，交y轴于点D， 两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点， ∴ ∵，，， ， A，B两点的坐标分别为，， ， ． 把代入中，得． 反比例函数的解析式为； （2）设直线的表达式为， 直线过点B，A，B两点的坐标分别为，， ，， 即 即直线的表达式为， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ． 基础夯实 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形，求一个角的余弦值，解题关键是熟练掌握如何求余弦值． 由勾股定理求出，则． 【规范解答】解：中，，，， ， ． 故选：． 2．（24-25九年级下·全国·假期作业）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长，然后根据余弦的定义即可求得答案． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， 则， 故选：B． 3．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24九年级下·江西抚州·月考）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】2 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【规范解答】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）若，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正切的性质，根据正切值随着锐角的增大而增大，列出不等式组进行求解即可． 【规范解答】解：∵ ，是锐角， ∴ ∴； 故答案为：． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）比较大小，用“”、“”或“”填空： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比较正切值的大小，根据正切值随着锐角的增大而增大，进行判断即可． 【规范解答】解：∵正切值随着锐角的增大而增大， ∴； 故答案为：，，． 7．（2025九年级下·全国·专题练习），如图所示，则与的大小关系是 用“”连接 【答案】 【思路点拨】本题考查比较正切值的大小，根据正切值随锐角的增大而增大，进行判断即可． 【规范解答】解：由正切值随锐角的增大而增大，得． 故答案为：． 8．（2025·广东广州·三模）已知， (1)化简T； (2)如图，已知菱形，，，若a的值为菱形的面积，求T的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，菱形的性质和分式的化简求值，解题的关键是牢记运算公式与法则． （1）直接利用分式的性质化简即可； （2）先计算菱形面积，求出a的值再代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：如图，过D点作于E， ∵， ∴， ∵菱形的四边相等， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·贵州铜仁·二模）解答题 (1)计算：； (2)已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用减号“-”连接，并将连接的式子进行因式分解． 【答案】(1)2，见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查实数的运算和代数式的运算，解题关键是熟悉运算法则和代数式运算法则， 由绝对值，特殊三角函数值和零指数幂可以得答案； 由因式分解的方法提公因式、平方差公式可以解决任意两个只差的因式分解. 【规范解答】（1） 解：原式 （2）选①和②时： 选①和③时： 选②和③时：. 10．（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵ ∴在中，． （2）解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进一步得出，令，再用m表示出的长即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，令，则， ∴， ∵，且点D为的中点， ∴， ∴ 在中， ∵， ∴ 在中， ， 所以 故选：A． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路点拨】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 13．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据斜边中线定理可得，得到，，再利用勾股定理求出的长，在中利用余弦的定义求出的值，等量代换即可得出答案． 【规范解答】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：D． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为，为的中点，连接、．给出下面个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，结论正确的序号有 ． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，锐角三角函数等，利用可证，即可判定①；由全等三角形的性质得到，即得是的垂直平分线，得到，即可判定②；利用三角形中位线的性质可得，，即可判定③；设，则，可得，，进而得到，即可得，即可判定④；过点作于，利用得到，进而可得，即得到，最后根据正切的定义得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：①∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵是中线， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，故③正确； ④设，则， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和不会相似，故④错误； ⑤过点作于，则， ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，结论正确的序号有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 15．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，交于点，根据折叠的性质可知为的中点，，又因为点是的中点，可知是的中位线，利用中位线的性质，可得：，根据相似三角形的性质结合，可知与的相似比为，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据中位线的性质定理可得，从而可得：，利用勾股定理可以求出，根据正弦的定义即可求出结果． 【规范解答】解：如下图所示，连接，交于点， 将沿折叠得到， 为的中点，且， 是斜边的中点， ，， ， ， 与的相似比为， 设，则， ，， 在中，是斜边的中点， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·二模）如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有 ． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】由垂直平分线的性质可判断①，由，得到，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断②，过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断④，证明，得到，，即可判断⑤，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据正切的定义求解，即可判断③． 【规范解答】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故④错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故⑤正确； 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，故③正确， 故答案为∶①②③⑤． 17．（2025·浙江杭州·三模）如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则 ．（用含k的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】如图，连接，设，证明，，，，证明，可得，可得，求解，，，，再进一步利用正切的含义求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，设， ∵，为菱形的对角线， ∴，，，， ∵将绕点O逆时针旋转至，点E在线段上， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴ ∴ ； 故答案为： 18．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据直角三角形的两个锐角互余，三角形外角性质，等式的性质解答即可； （2）根据平行线分线段成比例定，矩形的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正切函数，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴. （2）解：延长、相交于点，过点作，垂足为点 ∵，是的中点， ∴ ∵， ∴即 ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴ 在中，， ∴， 根据题意，得四边形是矩形 ∴，， ∴ 在中， . 19．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】（1）①由矩形的性质和折叠的性质可得，进而得到、，然后运用勾股定理求解即可；②如图：过C作延长线于点G，易证，根据相似三角形的性质可得，，进而得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）如图：延长交于M，过E作交于N，则，易证可得，易证为等腰直角三角形，设，则， ，然后根据平行线分线段定理即可解答． 可得， 【规范解答】（1）解：①∵矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接， ∴，， ∴，   ∴， ∴； ②如图：过C作延长线于点G， ∴，       ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴． （2）解：如图：延长交于M，过E作交于N，则 ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形 设，则， ， ∵， ∴． 20．（2025·湖北·模拟预测）如图正方形的边长为，点、分别在轴和轴的正半轴上，曲线： 与、分别交于点、，且． (1)求的值； (2)若点在直线上，且四边形是菱形，求证：点在曲线上； (3)点在线段上，且不与点、及的中点重合，过点作轴的垂线，交曲线于点，过点作轴的垂线，分别交曲线、于、，连接、．试判断与∠之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或，证明见解析 【思路点拨】（）由正方形的边长为，可得，，，即得点横坐标为，纵坐标，进而得到，再利用待定系数法解答即可求解； （）由（）得曲线的解析式为，利用待定系数法可得直线的解析式为，由菱形的性质可得，，设，可得，即得，得到，进而得到， ，再把代入中求出的值即可求证； （）设（，且），连接，设交于，可得，，点、点的纵坐标为，即得，，，，进而得到，，即得到点关于直线对称，再分点在点左侧和右侧两种情况解答即可求解． 【规范解答】（1）解：∵正方形的边长为， ∴，，， ∵点在线段上，点在曲线上， ∴点横坐标为，纵坐标， ∴， ∴点横坐标为， ∴， ∵点曲线上， ∴， 解得； （2）证明：∵， ∴曲线的解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在直线上，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴点在曲线上； （3）解：或，证明如下： 设（，且），连接，设交于， ∴，，点、点的纵坐标为， ∴，，，， ∴，， ，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴点关于直线对称， ①如图，当点在点左侧时， 则， ∵，， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 即； ②如图，当点在点右侧时， 则， ∵点关于直线对称， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 锐角三角函数 【知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理1：锐角三角函数的概念 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：正弦的概念辨析 2 考点2：求角的正弦值 3 考点3：已知正弦值求边长 4 考点4：求角的余弦值 5 考点5：余弦的概念辨析 5 考点6：已知余弦求边长 6 考点7：求角的正切值 7 考点8：正切的概念辨析 8 考点9：已知正切值求边长 9 考点10：已知角度比较三角函数值的大小 9 考点11：根据三角函数值判断锐角的取值范围 10 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理1：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·江苏淮安·一模）如图，在锐角中，，点P是边上的一个动点，点P关于、的对称点分别是点、，连接，在点P从点A运动到点C的过程中，的长度（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式训练1】（2025·广东·模拟预测）如图，，以点O为圆心，为半径作弧，点A是中点，点P是弧上的动点，以为直角边作，且，连接，则的最小值为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 【变式训练1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·广东惠州·三模）如图，在正五边形中，连接，点F为的中点，连接并延长，交边于点G，则的值为 ．（结果精确到．参考数据：） 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·江西抚州·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【变式训练2】（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【变式训练2】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2024九年级下·浙江台州·竞赛）如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为 ．    【变式训练1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，这是由边长相等的小正方形组成的网格，，均在格点（网格线的交点）上，连接． (1)在网格中，用无刻度直尺画出，使． (2)在（1）作图中，用无刻度直尺画出，使． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·黑龙江绥化·一模）如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点， 交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是(    ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海静安·期中）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【变式训练1】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【变式训练2】（2025·河南郑州·三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形是菱形，，是的中点，点在边上，四边形是矩形，则：是 ． 考点10：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·月考）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级下·浙江金华·月考） （填“或”）． 考点11：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（23-24九年级下·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【变式训练2】（23-24九年级下·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 1．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 3.（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.（2024·上海·中考真题）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江西吉安·中考真题）如图，已知反比例函数（，）的图象与直线交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B为的中点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的表达式和的值． 基础夯实 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·假期作业）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·江西抚州·月考）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）若，则锐角的取值范围是 ． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）比较大小，用“”、“”或“”填空： ． 7．（2025九年级下·全国·专题练习），如图所示，则与的大小关系是 用“”连接 8．（2025·广东广州·三模）已知， (1)化简T； (2)如图，已知菱形，，，若a的值为菱形的面积，求T的值． 9．（2025·贵州铜仁·二模）解答题 (1)计算：； (2)已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用减号“-”连接，并将连接的式子进行因式分解． 10．（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为，为的中点，连接、．给出下面个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，结论正确的序号有 ． 15．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 16．（2025·吉林长春·二模）如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有 ． 17．（2025·浙江杭州·三模）如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则 ．（用含k的代数式表示） 18．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值． 19．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 20．（2025·湖北·模拟预测）如图正方形的边长为，点、分别在轴和轴的正半轴上，曲线： 与、分别交于点、，且． (1)求的值； (2)若点在直线上，且四边形是菱形，求证：点在曲线上； (3)点在线段上，且不与点、及的中点重合，过点作轴的垂线，交曲线于点，过点作轴的垂线，分别交曲线、于、，连接、．试判断与∠之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $