第4章 计数原理（知识清单）数学湘教版高二选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了计数原理单元内容，涵盖分步加法与乘法计数原理、排列组合、二项式定理三大知识范畴，搭建了从原理理解到公式应用再到易错点突破的递进式学习支架。 清单通过“原理定义-公式推导-易错点警示”三级呈现知识体系，标注“分步乘法原理分步标准”“排列与组合区别”等重难点，结合7类易错点典型例题对比（如混淆均匀分组与部分均匀分组致错），培养学生的逻辑推理与数学表达能力。学生可通过错题归因高效复习，教师能据此精准设计教学，提升课堂针对性。

湘教版高中数学选择性必修一 第4章 计数原理 一、计数原理 1．分步加法计数原理：完成一件事，如果有类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 不同的方法． 二、排列与组合 1．（1）排列的定义：从个 元素中取出个元素，按照一定的 排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的 的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用 表示． （3）排列数公式： ． （4）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列， ．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定 ． 2．（1）组合的定义：从个 元素中取出个元素 ，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． （2）组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的 的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用 表示． （3）组合数的计算公式：，由于 ，所以． （4）组合数的性质：① ；（2） + 三、二项式定理 1．二项式定理：这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的 ．其中的系数称为第项的 系数．式中的叫二项展开式的 ，用表示，即通项 ． 2．二项式特征及其系数性质： （1）项数为 . （2）各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为 . （3）字母按 排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按 排列，从第一项起，次数由零逐项增直到. （4）二项式的系数从 ，，一直到， . （5）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即 . （6）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数逐渐 .由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项取得最大值. （7）各二项式系数和： ； . 易错点1、利用分步乘法原理计数,分步不标准致错 例1、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　) A．24种 B．4种 C．43种 D．34种 【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝34(种)投法． 【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误 【正解】 易错点2、混淆排列与组合导致错 例2．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 ) A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040 【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选A. 【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。 【正解】 易错点3、排列问题中混淆有序与定序致错 例3、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有种． 【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。 【正解】 易错点4、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 例4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D． 【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,根据分步计数原理合要求的安排方法数为． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以而错误. 【正解】 例5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．432 【错解】A，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是. 【正解】 易错点5、 忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 例6、二项式的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【错解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选A. 【错因】误认为第二项是而错误 【正解】 易错点6、 混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错 例7、若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项第________项． 【错解】5或6，展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163， 解得n＝9.则展开式中共有10项，且第5项、第6项为二项式系数最大的项。 【错因】混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项 【正解】 易错点7、混淆二项式系数与项的系数致错 例8．的展开式中的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 【错解】A，由题可得 令,则, 所以的展开式中的系数为，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】 例9、的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为,又=， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】 1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有 （ ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　 ) A．19 B．38 C．55 D．65 3．（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为160 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 4．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 5．展开式中的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 6、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　 ) A．72 B．120 C．144 D．168 7．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ） A．280 B．448 C．692 D．960 8．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（   ） A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种 9．(多选)已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是(　 ) A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．展开式中系数最大的项是第5项 10．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　 ) A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC 11．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 12．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________． 13．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，则a的值为________． 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修一 第4章 计数原理 一、计数原理 1．分步加法计数原理：完成一件事，如果有类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 【答案】 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 不同的方法． 【答案】 二、排列与组合 1．（1）排列的定义：从个 元素中取出个元素，按照一定的 排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的 的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用 表示． （3）排列数公式： ． （4）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列， ．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定 ． 【答案】 不同 顺序 所有不同排列 ！ 1 2．（1）组合的定义：从个 元素中取出个元素 ，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． （2）组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的 的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用 表示． （3）组合数的计算公式：，由于 ，所以． （4）组合数的性质：① ；（2） + 【答案】 不同 合成一组 所有不同组合 1 三、二项式定理 1．二项式定理：这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的 ．其中的系数称为第项的 系数．式中的叫二项展开式的 ，用表示，即通项 ． 【答案】展开式 二项式 通项公式 2． 二项式特征及其系数性质： （1）项数为 . （2）各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为 . （3）字母按 排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按 排列，从第一项起，次数由零逐项增直到. （4）二项式的系数从 ，，一直到， . （5）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即 . （6）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数逐渐 .由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项取得最大值. （7）各二项式系数和： ； . 【答案】 降幂 升幂 相等 增大 易错点1、利用分步乘法原理计数,分步不标准致错 例1、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　) A．24种 B．4种 C．43种 D．34种 【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝34(种)投法． 【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误 【正解】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法． 易错点2、混淆排列与组合导致错 例2．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 ) A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040 【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选A. 【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。 【正解】选C，先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有CCC＝2 520种．故选C. 易错点3、排列问题中混淆有序与定序致错 例3、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有种． 【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。 【正解】原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)． 易错点4、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 例4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D． 【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,根据分步计数原理合要求的安排方法数为． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以而错误. 【正解】先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为, 根据分步计数原理合要求的安排方法数为．故选B． 例5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．432 【错解】A，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是. 【正解】C，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 易错点5、 忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 例6、二项式的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【错解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选A. 【错因】误认为第二项是而错误 【正解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选D. 易错点6、 混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错 例7、若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项第________项． 【错解】5或6，展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163， 解得n＝9.则展开式中共有10项，且第5项、第6项为二项式系数最大的项。 【错因】混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项 【正解】展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.设展开式中Tk＋1项的系数最大，则解得≤k≤，又∵k∈N，∴k＝6，故展开式中系数最大的项为第7项。 易错点7、混淆二项式系数与项的系数致错 例8．的展开式中的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 【错解】A，由题可得 令,则, 所以的展开式中的系数为，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C，由题可得 令,则,所以，故选C. 例9、的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为,又=， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为, 所以数最大的项是第7项. 1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有 （ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去并场馆，故不同的安排方法共有种，故选C． 2．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　 ) A．19 B．38 C．55 D．65 【答案】D 【解析】　至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同的选派方案种数为CC＋CC＝65.故选D. 3．（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为160 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】BCD 【详解】展开式的总项数是7，A不正确；展开式的通项公式为，令得，常数项为，B正确；取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确. 4．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 【答案】A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有种． 5．展开式中的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C. 6、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　 ) A．72 B．120 C．144 D．168 【答案】B 【解析】安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法． 7．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ） A．280 B．448 C．692 D．960 【答案】B 【详解】由题，，因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，所以，解得，所以第四项的系数为， 8．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（   ） A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种 【答案】C 【详解】将甲、乙看成一个元素A，然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有种，再将3组分到3个不同小区有种，所以满足条件的安排方法共有种. 9．(多选)已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是(　 ) A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．展开式中系数最大的项是第5项 【答案】BCD 【解析】由题意可得4n－2n＝992，解得2n＝32，所以n＝5.所以的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r·.若为有理数，则r＝2或r＝5，展开式中的有理项是第3项和第6项，故A错误；令＝0，解得r＝－，不符合题意，故展开式中没有常数项，故B正确；由n＝5可知，展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，故C正确；假设第k＋1项系数最大，则解得3.5≤k≤4.5，因为k∈N*，所以k＝4，所以展开式中系数最大的项是第5项，故D正确．故选B、C、D. 10．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　 ) A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC 【答案】ABD 【解析】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，A错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有C种选法，所以总数为CC＋CC，B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝C－C，C正确；对于D，有3种情况：①选物理,不选化学，有C种选法；②选化学，不选物理，有C种选法；③物理与化学都选，有C种选法，故总数为C＋C＋C＝6＋10＋4＝20，D错误． 11．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 【答案】114 【解析】5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有3,1,1和2,2,1两种．当为3,1,1时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为2,2,1时，有×A＝90(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)． 12．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________． 【答案】 【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得． 13．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，则a的值为________． 【解析】5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－rr＝5－rCx，令20－5r＝0，则r＝4，所以常数项为T5＝C×＝16.因为(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于2n，所以2n＝16，解得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4的展开式中二项式系数最大的项是T3，所以Ca4＝54，解得a＝ ±. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $