第4章 计数原理（单元测试·基础卷）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

湘教版计数原理单元测试卷——基础卷（参考答案） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D A C B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．360； 13．5； 14． 三、解答题（共9小题，共72分） 15．（13分）【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.————————————6分 （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或， 由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种.———————7分 16． （15分）【详解】（1）由题意可知，两组的人数分别为1、7或2、6， 所以分组种数为，————————————3分 （2）由题意可知，分组的人数分别为1、2、3或2、2、2或1、1、4， ①1、2、3的分组情况，因为丙和丁在同一组，若丙和丁在2人的组里，共有种情况，若丙和丁在3人组里，有种情况，————————————7分 ②2、2、2的分组情况，丙和丁在同一组，另外4人均分为2组，共有种情况，—————11分 ③1、1、4的分组情况，丙和丁在4人的一组，共有种情况， 所以一共有种情况. —————15分 17．（15分） 【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，所以能组成96个无重复数字的五位数；—————5分 （2） 当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，当个位数字为2或4时， 则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数；—————10分 （3）计算比21034大的五位数的个数分两类：万位比2大的五位数个数是，万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.—————15分 18．（17分） 【详解】（1），二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以.—————5分 （2），当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；—————5分 （3）设第项的系数最大，则，所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项.—————7分 19．（17分） 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有种排法；—————5分 （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，再由分步乘法计数原理，共有种排法；—————6分 （3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲乙相邻，则有种排法，最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法.—————6分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版计数原理单元测试卷——基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 2．设，则的值为（   ） A．20 B． C．160 D． 3．某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 4．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 6．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 7．的展开式中的系数为（   ） A．20 B．40 C． D．120 8．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（   ） A．种 B．种 C．C种 D．种 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（    ） A．只有1人未参加服务的选择种数是30种 B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C．只有1人未参加服务的选择种数是60种 D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者 和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有 种用数字作答 13．若，则 ． 14．化简： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 16．（15分）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. (1)若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法？ (2)若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法？ 17．（15分）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 18．（17分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 19．（17分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 湘教版计数原理单元测试卷——基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 2．设，则的值为（   ） A．20 B． C．160 D． 3．某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 4．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 6．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 7．的展开式中的系数为（   ） A．20 B．40 C． D．120 8．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（   ） A．种 B．种 C．C种 D．种 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（    ） A．只有1人未参加服务的选择种数是30种 B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C．只有1人未参加服务的选择种数是60种 D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者 和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有 种用数字作答 13．若，则 ． 14．化简： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 16．（15分）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. (1)若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法？ (2)若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法？ 17．（15分）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 18．（17分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 19．（17分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版计数原理单元测试卷——基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式可求得排列种数. 【详解】根据题意，从中取出2个字母的所有排列，共有种.故选：D. 2．设，则的值为（   ） A．20 B． C． D．160 【答案】C 【分析】先求出的通项，令，即可求出的值. 【详解】因为的通项为：，令，则，故选：C. 3．某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】根据题意，分两步进行分析：先将4名专家分为2组，再将分好的2组安排到2个不同的医院. 【详解】先分组，再分配，分组有2种情况：①一个医院1人，一个医院3人，此时有种， ②两个医院各2人，此时有种，将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，故不同的分配方案有种，故选：D 4．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为，令可得，故展开式中的系数为.故选：A. 5．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为，令，所以常数项为.故选：C 6．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 【答案】B 【分析】根据题意可知有，两种分配方案，进而求解即可. 【详解】由题意，按分配，方案的种数为,按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是.故选：B. 7．的展开式中的系数为（   ） A．20 B．40 C． D．120 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式得，再合理赋值即可. 【详解】的通项展开式为，分别令得展开式中的系数为，故选：B． 8．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 【答案】D 【分析】按照一定的顺序对五个区域进行染色，依次考虑每个区域的染色选择，根据相邻区域颜色不同的要求来确定每种情况下的染色方法数. 【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种；若2和3不同色，则不同的染色方法有种．综上所述，不同的染色方法有种． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（   ） A．种 B．种 C．C种 D．种 【答案】AB 【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果. 【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有种．故选：AB 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确；对于B，令，，故B错误；对于C，令，，结合，所以，故C正确；对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 11．有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（    ） A．只有1人未参加服务的选择种数是30种 B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C．只有1人未参加服务的选择种数是60种 D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 【答案】AD 【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案. 【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法， 再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法， 故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误； 恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法， 再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法， 故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有 种用数字作答 【答案】360 【分析】相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，据此可得答案. 【详解】由题可得相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，则安排方法有： .故答案为：. 13．若，则 ． 【答案】5 【分析】根据组合数的性质来求解的值. 【详解】已知，根据组合数性质可得或. 当时，可得.但因为，舍去；当时，解得，则成立，也满足的条件. 故答案为：5 14．化简： . 【答案】 【分析】将根据二项式定理进行展开，然后计算即可. 【详解】， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种；(2)种. 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或， 由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种. 16．（15分）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. (1)若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法？ (2)若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法？ 【答案】(1)36 (2)25 【分析】（1）首先确定分组情况，再按照组合数公式求解； （2）根据分组情况，以及丙和丁所在组，再结合分组公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，两组的人数分别为1、7或2、6，所以分组种数为， （2）由题意可知，分组的人数分别为1、2、3或2、2、2或1、1、4， ①1、2、3的分组情况，因为丙和丁在同一组，若丙和丁在2人的组里，共有种情况，若丙和丁在3人组里，有种情况， ②2、2、2的分组情况，丙和丁在同一组，另外4人均分为2组，共有种情况， ③1、1、4的分组情况，丙和丁在4人的一组，共有种情况，所以一共有种情况. 17．（15分）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 【答案】(1)96 (2)60 (3)65 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，即可以组成个无重复数字的五位偶数； （3）计算比21034大的五位数的个数分两类：万位比2大的五位数个数是，万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，由分类加法计数原理得，所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 18．（17分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 【答案】(1) (2)； (3)第6项和第7项 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1），二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以. （2），当为整数时为有理项，即，则的取值集合为； （3）设第项的系数最大，则，所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 19．（17分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【分析】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，再由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $