专题08 概率与统计（3考点）--四川省对口招生五年（2021-2025）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题08 概率与统计 1.随机事件：理解随机现象、随机事件及有关概念；了解事件的频率与概率的区别与联系。 2.古典概型：理解古典概型；初步掌握古典概率的计算方法。 3.概率的简单性质：了解互斥事件的概念；初步掌握互斥事件的加法公式。 4.抽样方法：了解统计的基本思想；理解总体、个体、样本和样本容量等概念；理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念；了解抽样方法的应用。 5.统计图表：了解频率分布表和频率直方图等数据可视化描述方法；了解选择恰当的统计图表对数据进行分析的方法。 7.样本的均值和标准差：理解均值、方差和标准差的含义；掌握均值、方差和标准差的计算方法。 8.分类、分步计数原理：理解分类计数原理和分步计数原理；初步掌握用两个计数原理解决实际问题的方法。 9.排列与排列数公式：理解排列的有关概念；理解生活中的简单排列问题；了解排列数公式的推导过程。 10.组合与组合数公式：理解组合的有关概念；理解排列问题与组合问题的区别；了解组合数公式的推导过程和组合数的性质。 11.排列组合的应用：初步掌握用排列组合解决概率计算等简单实际问题的方法。 12.二项式定理：了解二项式定理的推导过程及二项展开式的特征；了解二项展开式的通项公式及二项式系数的性质。 13.离散型随机变量及其分布：了解随机变量、离散型随机变量及其分布的含义；了解离散型随机变量的数字特征。 14.二项分布：了解独立重复试验；了解二项分布的概念及服从二项分布的随机变量的概率分布。 15.正态分布：了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际 问题的方法。 考点01 排列与组合 1.（2025年对口招生）现有个人，其中包含名女生和名男生，计划从这人中选取人参加数学提升班，则名女生都被选中的概率为__________. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）某高校选派6名志愿者到5个社区开展法制宣传活动，要求每个社区至少有1名志愿者，且每名志愿者只能够去1个社区，则不同的安排方法共有（ ） A. 600种 B. 720种 C. 1200种 D. 1800种 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校需从100名学生中选派40名到“烈士陵园”、“敬老院”、“社区” 3个地方参加义务劳动，“烈士陵园”需20人，“敬老院”需10人，“社区”需10人,那么不同的选法的种数为（ ） A. B. C. D. 考点02 二项式定理 1. （2025年对口招生）在的二项展开式中，常数项为__________. 2. （2024年对口招生）若的展开式中的系数为，则实数__________. 3. （2023年对口招生）的展开式中的系数为_________（用数字作答）. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）在的二项展开式中，的系数为10，那么_________. 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）二项式的展开式中x4的系数是 (用数字作答). 考点03 统计初步 1. （2025年对口招生）现有若干老师，为了了解老师们的教学质量，随机抽取了名老师作为调查对象，则名老师是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 样本容量 D. 个体 2. （2025年对口招生） 某高中为了解本校高三年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知. （1）求频率分布直方图中和的值； （2）估计样本数据的平均数 3. （2024年对口招生）某保险公司为了解购买某险种的1000名投保人的出险次数情况，随机调查了其中100名投保人的出险次数，得到如下表格： 出险次数 0 1 2 3 投保人数 29 25 8 3 则下列结论中正确的是（ ） A. 表中的值为25 B. 调查的这100名投保人的出险次数的均值大于1 C. 购买该险种的100名投保人的出险次数是总体 D. 估计购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为11 4. （2024年对口招生）为弘扬中华优秀传统文化，某学校将开展传统文化知识竞赛.已知该学校的文学､朗诵､书画､戏曲4个社团的人数分别为，且每个社团的成员都只参加了1个社团.竞赛组委会拟采用分层抽样的方法从以上4个社团中抽取12名同学担任志愿者. （1）求应从这4个社团中分别抽取的志愿者人数； （2）若从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，求抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率. 5. （2023年对口招生）某高校羽毛球社团招募了6名新成员，其中2名来自体育学院，现从这6名新成员中随机选择4人参加校运动会比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2人来自体育学院”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中来自体育学院的人数，求的概率分布. 6. （2023年对口招生）某同学随机抽取100株麦苗测出其高度（单位：mm），将所得结果分为6组：，，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则高度不低于70mm的株数为（ ） A.28 B.32 C.36 D.40 7.（2022年职教师资和高职班对口考试）某车间生产出一批零件，质检小组从中抽取300个零件检测其直径（单位：），将所得数据分为六组：，，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图，其中. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若把直径在区间的零件称为一等品，在区间，的零件称为二等品.现采用分层抽样的方法，在一、二等品中抽取容量为8的样本，再从这8个样本中随机抽取4个，若用表示抽取到一等品的个数，试求概率分布列. 8.（2021年职教师资和高职班对口考试）某校100名学生参加中华传统文化知识竞赛，将他们的分数按照[0,20) , [20,40), [40,60), [60,80) , [80,100]分成 5 组， 制成了如图所示的频率直方图，其中8a = b. (I)求频率直方图中a, b的值；0 20 406080 100 分数 (II)采用分层抽样的方法，从分数在[40,60), [60,80)的学生中抽取容量为6的样本，再从这6个样本中随机抽取2个，求至少一人分数在[60,80)的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率与统计 1.随机事件：理解随机现象、随机事件及有关概念；了解事件的频率与概率的区别与联系。 2.古典概型：理解古典概型；初步掌握古典概率的计算方法。 3.概率的简单性质：了解互斥事件的概念；初步掌握互斥事件的加法公式。 4.抽样方法：了解统计的基本思想；理解总体、个体、样本和样本容量等概念；理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念；了解抽样方法的应用。 5.统计图表：了解频率分布表和频率直方图等数据可视化描述方法；了解选择恰当的统计图表对数据进行分析的方法。 7.样本的均值和标准差：理解均值、方差和标准差的含义；掌握均值、方差和标准差的计算方法。 8.分类、分步计数原理：理解分类计数原理和分步计数原理；初步掌握用两个计数原理解决实际问题的方法。 9.排列与排列数公式：理解排列的有关概念；理解生活中的简单排列问题；了解排列数公式的推导过程。 10.组合与组合数公式：理解组合的有关概念；理解排列问题与组合问题的区别；了解组合数公式的推导过程和组合数的性质。 11.排列组合的应用：初步掌握用排列组合解决概率计算等简单实际问题的方法。 12.二项式定理：了解二项式定理的推导过程及二项展开式的特征；了解二项展开式的通项公式及二项式系数的性质。 13.离散型随机变量及其分布：了解随机变量、离散型随机变量及其分布的含义；了解离散型随机变量的数字特征。 14.二项分布：了解独立重复试验；了解二项分布的概念及服从二项分布的随机变量的概率分布。 15.正态分布：了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际 问题的方法。 考点01 排列与组合 1.（2025年对口招生）现有个人，其中包含名女生和名男生，计划从这人中选取人参加数学提升班，则名女生都被选中的概率为__________. 【答案】 。 【分析】由古典概型概率计算公式结合组合数计算公式即可求解. 【解析】从人中选人，共有种情况， 其中名女生都被选中，意味着剩下的个名额必须从名男生中选，即有种情况， 所以所求概率为. 故答案为： 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）某高校选派6名志愿者到5个社区开展法制宣传活动，要求每个社区至少有1名志愿者，且每名志愿者只能够去1个社区，则不同的安排方法共有（ ） A. 600种 B. 720种 C. 1200种 D. 1800种 【答案】D 【分析】首先将6人部分均匀分成5组，然后再分配刀个社区，利用分步乘法计数原理。 【解析】首先从6名志愿者选出2人作为1个组，其他4人各自1个组，有种方法。再把5个组分配到5个社区有种方法。根据分步乘法计数原理得安排方法. ∴选D. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校需从100名学生中选派40名到“烈士陵园”、“敬老院”、“社区” 3个地方参加义务劳动，“烈士陵园”需20人，“敬老院”需10人，“社区”需10人,那么不同的选法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查的是组合，利用分步乘法计数原理。 【解析】根据题意完成感事件无序性，即采用组合原理的答案。 考点02 二项式定理 1. （2025年对口招生）在的二项展开式中，常数项为__________. 【答案】 【分析】首先列出二项展开式通项公式，再令的指数为0列方程求出的值，将其代回二项展开式通项公式中求值即可. 【解析】已知， 设， 令，即，解得， 所以常数项，故答案为：. 2. （2024年对口招生）若的展开式中的系数为，则实数__________. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的指数等于求出的值，再利用的系数列出方程求出值. 【解析】的二项展开式的通项为:, 令,得,则,解得. 故答案为：. 3. （2023年对口招生）的展开式中的系数为_________（用数字作答）. 【答案】60 【分析】本题考查二项展开式的通项公式,是基础题. 【解析】的展开式中通项公式为， ∴令，∴，∴， ∴的展开式中的系数为. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）在的二项展开式中，的系数为10，那么_________. 【答案】5 【分析】根据二项展开式的通项公式为即可求得 【解析】∵二项展开式的通项公式为 ∴的二项展开式中通项公式为 ∵的系数为10 ∴ ∴ 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）二项式的展开式中x4的系数是 (用数字作答). 【答案】40 【分析】首先列出二项展开式的通项公式，再令的指数为4将其代回二项展开式通项公式中求值即可. 【解析】二项展开式的通项公式为，则可得==,令10-3r=4得r=2,则有=40. 考点03 统计初步 1. （2025年对口招生）现有若干老师，为了了解老师们的教学质量，随机抽取了名老师作为调查对象，则名老师是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 样本容量 D. 个体 【答案】B 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念即可判断. 【解析】题目中“名老师”是从所有老师中抽取的部分个体，因此属于样本， 而非总体、个体或样本容量. 故选：B. 2. （2025年对口招生） 某高中为了解本校高三年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知. （1）求频率分布直方图中和的值； （2）估计样本数据的平均数 【答案】（1） （2）72 【分析】（1）根据题意，根据频率分布直方图中，各小组的频率之和为1，即可列式求解； （2）根据题意，结合频率分布直方图中，平均数的计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，得， 所以，又，所以； （2）由题意，样本数据的平均数为 。 3. （2024年对口招生）某保险公司为了解购买某险种的1000名投保人的出险次数情况，随机调查了其中100名投保人的出险次数，得到如下表格： 出险次数 0 1 2 3 投保人数 29 25 8 3 则下列结论中正确的是（ ） A. 表中的值为25 B. 调查的这100名投保人的出险次数的均值大于1 C. 购买该险种的100名投保人的出险次数是总体 D. 估计购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为11 【答案】B 【分析】由频数分布表的数据特征逐个判断即可. 【解析】由样本容量，可知，故A错误； ， 故这100名投保人的出险次数的均值大于1，故B正确； 由样本的概念可知，购买该险种的100名投保人的出险次数是样本，故C错误； ，故购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为，故D错误. 故选：B. 4. （2024年对口招生）为弘扬中华优秀传统文化，某学校将开展传统文化知识竞赛.已知该学校的文学､朗诵､书画､戏曲4个社团的人数分别为，且每个社团的成员都只参加了1个社团.竞赛组委会拟采用分层抽样的方法从以上4个社团中抽取12名同学担任志愿者. （1）求应从这4个社团中分别抽取的志愿者人数； （2）若从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，求抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率. 【答案】（1）5；4；2；1. （2） 【分析】（1）先确定抽样比，再分别计算每层抽取的人数即可求得. （2）根据组合的应用分别计算出基本事件总数以及事件A中包含的基本事件数，再根据古典概型概率公式计算即可. 【解析】（1）由题意，抽样比为， 所以从文学社团抽取的志愿者人数为； 从朗诵社团抽取的志愿者人数为； 从书画社团抽取的志愿者人数为； 从戏曲社团抽取的志愿者人数为； 综上所述，应从文学、朗诵、书画、戏曲4个社团中分别抽取的志愿者人数为5，4，2，1. （2）由题意，从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，共有种抽法； 记“抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团”为事件A； 其中抽取的3名统计员中恰有2名来自文学社团的方法有种， 抽取的3名统计员中恰有2名来自明诵社团的方法有种， 抽取3名统计员中恰有2名来自书画社团的方法有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的方法共有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率为. 5. （2023年对口招生）某高校羽毛球社团招募了6名新成员，其中2名来自体育学院，现从这6名新成员中随机选择4人参加校运动会比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2人来自体育学院”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中来自体育学院的人数，求的概率分布. 【答案】（1）事件发生的概率为. （2）的概率分布列为 0 1 2 P 【分析】本题（1）（2）问均考查超几何分布概率模型, 根据超几何分布概率公式即可求得概率及然后根据离散型随机变量的概率分布定义可得概率分布. 【解析】（1）设为事件“选出的4人中恰有2人来自体育学院” ∴， ∴事件发生的概率为. （2）由题意可得的可能取值为0,1,2. ； ； . ∴的概率分布列为 0 1 2 P 6. （2023年对口招生）某同学随机抽取100株麦苗测出其高度（单位：mm），将所得结果分为6组：，，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则高度不低于70mm的株数为（ ） A.28 B.32 C.36 D.40 【答案】B 【分析】首先由公式的频率,然后用频率估计概率即可求得概率。用样本总体乘以概率即可得高度不低于70mm数据，是基础题. 【解析】高度不低于70mm的有，两组， ∴高度不低于70mm的频率=， ∴高度不低于70mm的株数为100， ∴选B. 7.（2022年职教师资和高职班对口考试）某车间生产出一批零件，质检小组从中抽取300个零件检测其直径（单位：），将所得数据分为六组：，，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图，其中. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若把直径在区间的零件称为一等品，在区间，的零件称为二等品.现采用分层抽样的方法，在一、二等品中抽取容量为8的样本，再从这8个样本中随机抽取4个，若用表示抽取到一等品的个数，试求概率分布列. 【答案】（Ⅰ）这六组数据的组距为 0.02，于是有：16×0.02+14×0.02 +2×0.02+2 b×0.02 = 1，而1.5=b， 可计算出：= 4，= 6； （Ⅱ）在抽取的 300 个零件之中，根据频率直方图可得： 其中一等品的个数为300×0.02+14×300+0.02×16= 180（个）， 其中二等品的个数为300×0.02×6+300×0.02×=60（个）， 采用分层抽样法在一、二等品中抽取容量为 8 的样本， 可得抽取到一、二等品零件的个数分别为 6 个、2 个， 由此可得x的取值可能为：2，3，4， 则，， 可得概率分布列为： 2 3 4 8.（2021年职教师资和高职班对口考试）某校100名学生参加中华传统文化知识竞赛，将他们的分数按照[0,20) , [20,40), [40,60), [60,80) , [80,100]分成 5 组， 制成了如图所示的频率直方图，其中8a = b. (I)求频率直方图中a, b的值；0 20 406080 100 分数 (II)采用分层抽样的方法，从分数在[40,60), [60,80)的学生中抽取容量为6的样本，再从这6个样本中随机抽取2个，求至少一人分数在[60,80)的概率. 【答案】(I)由频率分布直方图可知，组距为20， 所以，又，解得，. (Ⅱ)分数在[40,60)，[60,80)的学生频率分别为0.01×20,0.02×20, 因此采用分层抽样的方法，从这两组中抽取容量为6的样本， 应从[40,60)中抽取2人，从[60,80)中抽取4人， 从这6个样本中随机抽取2个，至少一人分数在[60,80)的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $