专题07 立体几何（4考点）--四川省对口招生五年（2021-2025）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题07 立体几何 1.三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图。 2.空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 3.直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解 直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 4.圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式。 5.柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 6.平面的基本性质：了解平面的概念；理解平面性质的三个公理；了解空间中点、线、面关系的符号表示。 7.直线与直线的位置关系：理解空间中直线与直线的位置关系；理解异面直线的定义及判定方法；了解异面直线所成的角的概念；理解异面直线垂直的判 定方法。 8.直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系；了解直线与平面所成的角的概念；理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性 质定理。 9.平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系；了解二面角及二面角的平面角的概念；理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理 和性质定理。 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 直线与直线的位置关系 1.（2024年对口招生）如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）作中点，连接，，证明为直角三角形，然后根据证明即可； （2）取上一点，作，连接，利用三角形面积求出，利用射影定理证明，从而得到二面角的平面角，然后求角的正切值即可. 【解析】（1）作中点，连接，，，， 因为，为，中点，则为中位线， 则，，. 因为底面为长方形，则， 因为底面，， ， ， 因为底面，， 因为，即 ， 所为直角三角形，则，因为，所以. （2）取上一点，作，连接， 因为底面，底面，则为在底面的射影， 因为底面，底面，所以， 又，面，所以面， 因为面，所以， 又因为平面，平面， 所以二面角的平面角为， 又因为底面，底面， 所以，所以为直角三角形. 因为底面为长方形，则为直角三角形，则， 因为，则， 又因为，则，则二面角的正切值为. 2. （2023年对口招生）如图，在正方体中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】第（1）问由线面平行的判定定理即可证得。第（2）问中异面直线所成角的大小由定义法平移即可求得。本题考查线面平行的判定定理及异面直线所成角的定义,是基础题. 【解析】（1）连接AC，BD，设，如图所示. ∵为的中点，为的中点，∴，. ∵为的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，∵， ∴平面. （2）连接. ∵，∴为异面直线与所成角. ∵为正三角形， ∴， ∴异面直线与所成角为60°. 考点02 直线与平面的位置关系 1.（2025年对口招生） 如图，在圆柱中，和分别为上下底面圆的圆心，为底面圆的直径，为的中点，点为底面圆上的一个动点. （1）求证：平面； （2）已知，求棱锥体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据题意，结合线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，连接，结合圆柱的几何特性，易得平面，根据棱锥的体积公式，及基本不等式，可得当时，棱锥的体积最大，即可求解. 【解析】（1）因为为的中点，O为直径的中点， 所以在中，, 又平面，平面， 所以平面； （2） 如图，连接，则平面， 因为，则， 所以， 即棱锥的体积， 所以当的面积最大时，棱锥的体积取得最大值， 因为为底面圆的直径，所以, 所以， 当且仅当时，等号成立，此时的面积最大值为， 此时，体积取得最大值. 2.（2021年职教师资和高职班对口考试）下列命题中不正确的是（ ） A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面 C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面 D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面 【答案】D 【分析】本题主要考查的是线面垂直关系的判定. 【解析】由线面垂直的判定定理可得A、B、C正确，D错误。 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点. (I)证明：EF//平面ACO; (II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离. 【答案】(I)在△ABC中，E ,F分别为AB , BC的中点，所以E F∥AC， 又E F平面ACO，AC平面ACO，所以EF//平面ACO. (II)连接AF，FO，如图， 在圆锥AO中，AO⊥底面BCO，所以AO⊥BO，AO⊥CO， 所以∠BOC为二面角B-AO-C的平面角，即∠BOC=， 在直角△ABO中，， 在等腰△OBC中， ， ， 在直角△AFO中，， 则， 设点O到平面ABC的距离为d， 则，解得， 所以点O到平面ABC的距离为. 考点03 平面与平面的位置关系 1. （2025年对口招生）下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【分析】由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可判断①；由面面垂直的性质定理和面面平行的性质定理，可判断②；由线面平行的性质定理和线线的位置关系，可判断③；由面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，可判断④. 【解析】由于，由线面平行的性质定理得，平行于过的平面与的交线， 又，故，即，故①正确； 若，则与可能相交，也可能平行，故②错； 若，，由线面平行的性质定理，即得，平行、相交或异面，故③错； 若，，，则由面面平行的传递性得， 由线面垂直的性质定理得，故④正确. 故选：C. 2. （2024年对口招生）设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】根据线面平行、面面平行以及面面垂直的性质分析求解. 【解析】①中若，根据面面平行的传递性可知，正确， ②中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， ③中若，则有可能平行，也有可能相交，即平行于的交线时，也成立，错误， ④中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， 所以正确命题个数是1个， 故选：A. 3. （2023年对口招生）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果，，，那么 B.如果，，那么 C.如果，，，那么 D.如果，，那么 【答案】D 【分析】本题A选项考查面面平行的判定定理，B选项考查线面平行的判定定理，C选项考查面面垂直的性质定理，D选项考查面面垂直的判定定理,是基础题. 【解析】 由面面平行的判定定理可得A错误； 由线面平行的判定定理可得B错误； 由面面垂直的性质定理可得C错误； 由面面垂直的判定定理可得D正确. ∴选D. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】本题以空间的平行与垂直为载体,考查了命题的真假的判断, 属于基础题着重考查空间直线与平面、 平面与平面的位置关系, 考查了空间想象的能力 【解析】对于①, ∵，，，∴,故①正确. 对于②, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵ ，∴,故②正确. 对于③, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵,∴故③不正确. 对于④, 若，, 直线和 相当于平面和的法向量, ∵, ∴,故④正确. ∴选C. 5.（2022年职教师资和高职班对口考试）在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(Ⅰ) 略 （Ⅱ） 【解析】(Ⅰ)连接 AC，作AE⊥BC，交BC于E，交BD于G ， ∵AD∥BC，AD⊥CD ∴BC⊥CD ∴四边形AECD是矩形 ∵AD=CD ∴四边形AECD是正方形， ∴AD=CD=CE=AE，∠CAE= ∵2AD=2CD=BC，AE⊥BC ∴AE=BE ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠AEB=，∠BAE=， 则∠BAC=+=，即AB⊥AC ∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥AC ∵AB⊥AC， PA∩AB =A ∴AC⊥面PAB ∵AC面 ∴平面平面 (Ⅱ)作AFBD ，交BD于F， ∵PA⊥面ABCD ∴PF⊥BD ∴∠PFA是二面角的平面角， ∵AE∥CD，2CE=CB，根据相似三角形定理可知GE是△BCD的中位线， ∴2GE=CD， ∴AG=GE=AE=AD AE⊥AD，AF⊥BD ∴把用等面积法表示 ∴ 解得 ∵PA=AD， ∴， 因此二面角的正切值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何 1.三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图。 2.空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 3.直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解 直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 4.圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式。 5.柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 6.平面的基本性质：了解平面的概念；理解平面性质的三个公理；了解空间中点、线、面关系的符号表示。 7.直线与直线的位置关系：理解空间中直线与直线的位置关系；理解异面直线的定义及判定方法；了解异面直线所成的角的概念；理解异面直线垂直的判 定方法。 8.直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系；了解直线与平面所成的角的概念；理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性 质定理。 9.平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系；了解二面角及二面角的平面角的概念；理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理 和性质定理。 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 直线与直线的位置关系 1.（2024年对口招生）如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 2. （2023年对口招生）如图，在正方体中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 考点02 直线与平面的位置关系 1.（2025年对口招生） 如图，在圆柱中，和分别为上下底面圆的圆心，为底面圆的直径，为的中点，点为底面圆上的一个动点. （1）求证：平面； （2）已知，求棱锥体积的最大值. 2.（2021年职教师资和高职班对口考试）下列命题中不正确的是（ ） A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面 C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面 D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点. (I)证明：EF//平面ACO; (II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离. 考点03 平面与平面的位置关系 1. （2025年对口招生）下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 2. （2024年对口招生）设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （2023年对口招生）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果，，，那么 B.如果，，那么 C.如果，，，那么 D.如果，，那么 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.（2022年职教师资和高职班对口考试）在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $