专题06 解析几何（4考点）--四川省对口招生五年（2021-2025）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题06 解析几何 1.两点间距离公式和线段的中点坐标公式：掌握两点间的距离公式与线 段的中点坐标公式。 2.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握直线斜率 的计算方法。 3.直线的点斜式和斜截式方程：掌握直线的点斜式和斜截式方程。 4.直线的一般式方程：了解直线方程的一般式形式；掌握直线的点斜式方 程化为一般式方程的方法，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化。 5.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 6.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 7.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 8.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 9.圆的方程：了解圆的定义；掌握圆的标准方程；了解二元二次方程表示 圆的条件和圆的一般方程。 10.直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌 握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 11.直线与圆的方程的应用：初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问 题的方法。 12.椭圆：理解椭圆的概念及标准方程；初步掌握椭圆的几何性质及应用。 13.双曲线：理解双曲线的概念及标准方程；初步掌握双曲线的几何性质及应用。 14.抛物线：理解抛物线的概念及标准方程；初步掌握抛物线的几何性质及应用。 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 直线方程与两条直线的位置关系 1. （2024年对口招生）过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. （2024年对口招生）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. （2023年对口招生）过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. （2022年职教师资和高职班对口考试）在平面直角坐标系中，当点不是坐标原点时，定义点的“映射点”为，那么点的“映射点”的坐标是_________. 6.（2021年职教师资和高职班对口考试）过点（4,-2）且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 考点02 圆的方程及应用 1. （2025年对口招生）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. （1）若点，求直线的方程； （2）若点在抛物线上，求的范围？ 2. （2024年对口招生）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 3. （2023年对口招生）设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为. （1）求的方程； （2）若与有且只有3个公共点，求实数的值. 考点03 圆锥曲线及几何性质 1. （2025年对口招生）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. （2025年对口招生）已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 3. （2024年对口招生）已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. （2024年对口招生）已知抛物线过点，则__________. 5. （2023年对口招生）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 6.（2022年职教师资和高职班对口考试）双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 7.（2022年职教师资和高职班对口考试）抛物线的焦点到准线的距离为_________. 8.（2021年职教师资和高职班对口考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 9.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10.（2021年职教师资和高职班对口考试设F是抛物线的焦点，点A，B都在该抛物线上，A,B,F三 点共线，且是方程的两根，O为坐标原点，则△OAB的面积是 . 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1. （2023年对口招生）抛物线上的点到直线距离的最小值是_________. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知圆：. （Ⅰ）若直线与椭圆相切于点，求直线的方程； （Ⅱ）过圆内一点的直线与圆相交于，两点，若过点，且与圆相切的两条直线相交于点，求点的轨迹方程. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）设圆C的圆心为C,半径为r(r＞0).圆C与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点 M, N, , \MN\=4. (I)证明:为定值； （II）求圆心C(a,b)到直线x-2y = 0的距离的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解析几何 1.两点间距离公式和线段的中点坐标公式：掌握两点间的距离公式与线 段的中点坐标公式。 2.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握直线斜率 的计算方法。 3.直线的点斜式和斜截式方程：掌握直线的点斜式和斜截式方程。 4.直线的一般式方程：了解直线方程的一般式形式；掌握直线的点斜式方 程化为一般式方程的方法，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化。 5.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 6.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 7.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 8.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 9.圆的方程：了解圆的定义；掌握圆的标准方程；了解二元二次方程表示 圆的条件和圆的一般方程。 10.直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌 握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 11.直线与圆的方程的应用：初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问 题的方法。 12.椭圆：理解椭圆的概念及标准方程；初步掌握椭圆的几何性质及应用。 13.双曲线：理解双曲线的概念及标准方程；初步掌握双曲线的几何性质及应用。 14.抛物线：理解抛物线的概念及标准方程；初步掌握抛物线的几何性质及应用。 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 直线方程与两条直线的位置关系 1. （2024年对口招生）过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【解析】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 2. （2024年对口招生）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设与直线垂直的直线的方程为，再将点代入求值即可. 【解析】直线的斜率为，则与其垂直的直线斜率为， 设与直线垂直的直线的方程为， 将点代入得，解得，所以直线的方程为.故选：A. 3. （2023年对口招生）过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由倾斜角求得斜率，然后带入点斜式方程即可求得直线的方程,是基础题. 【解析】∵倾斜角为，∴， ∴过点且倾斜角为的直线的点斜式方程为， 整理得方程为， ∴选C. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】因为两直线垂直, 所以两直线的斜率之积,进而得出所求直线的斜率,最后利用点斜式求得直线方程. 【解析】∵与直线垂直 ∴设直线方程为 ∵过点 ∴ ∴ ∴选C. 5. （2022年职教师资和高职班对口考试）在平面直角坐标系中，当点不是坐标原点时，定义点的“映射点”为，那么点的“映射点”的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据“映射点”定义,带入求值 【解析】∵点的“映射点”为 ∴点的“映射点” ∴点的“映射点” 6.（2021年职教师资和高职班对口考试）过点（4,-2）且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由倾斜角求得斜率，然后带入点斜式方程即可求得直线的方程,是基础题. 【解析】由题意倾斜角得k=，再根据点斜式可得直线方程为。 考点02 圆的方程及应用 1. （2025年对口招生）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. （1）若点，求直线的方程； （2）若点在抛物线上，求的范围？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题意，根据与圆相切找出三点满足的圆的方程，再与圆的方程作差即可求直线的方程. （2）先由题意求出点到圆心距离、切线长及切点弦的长度，建立的表达式，结合抛物线方程分析的范围，最后确定的范围即可求解. 【解析】（1）由题意，点距离圆圆心的距离为， 以点为圆心，为半径的圆方程为①， 又在圆②上， ②①得，即，所以直线的方程为. （2）点到圆心的距离为，切线长， 如图，在四边形中， 由得切点弦的长度为， 在中，利用余弦定理得， 又点在抛物线上，代入得， 配方得，当且仅当时，取得最小值， 当时，，因此，， 当时，；当时，. 因此的取值范围为. 2. （2024年对口招生）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1），，（） （2） 【分析】（1）先利用直线定点的求法求得的坐标，再利用两直线垂直得到点的轨迹为圆，进而利用两点中点坐标公式与距离公式，结合圆的标准方程即可得解； （2）利用（1）中结论，结合三角换元与三角恒等变换、正弦函数的性质即可得解. 【解析】（1）由可得， 所以该线过定点，由易知该直线过定点， 又由直线与，可知， 所以两直线垂直，又两直线相交于，所以， 注意到直线不平行于轴，所以圆与轴的另一个交点不存在， 则点的轨迹为以线段为直径的圆（挖掉一点），则圆心为线段的中点，即， 半径为， 所以点的轨迹方程为（）. （2）因为，所以， 不妨设， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最大值. 3. （2023年对口招生）设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为. （1）求的方程； （2）若与有且只有3个公共点，求实数的值. 【答案】（1）（2）实数的值为. 【分析】第（1）问中首先根据条件直线与圆相切得得与的一个方程，然后根据被直线所截得的弦长为利用勾股定理得与的另外一个方程，联立方程解得与。第（2）问中为折线，根据与有且只有3个公共点，所以的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点，进而根据直线与圆相切,即可解决. 【解析】（1）∵圆：与直线相切， ∴圆心到直线的距离，∴，∵，∴①， ∵被直线所截得的弦长为，∴根据勾股定理得②， ∴联立方程①②消去得，∴，∴将代入①式得， ∴的方程为. （2）∵与有且只有3个公共点， ∴的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点， ∴根据直线与圆相切可得 点到直线的距离等于半径3， ∴，∴，∴，∴， ∴. ∴实数的值为. 考点03 圆锥曲线及几何性质 1. （2025年对口招生）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【解析】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 2. （2025年对口招生）已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【解析】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为：. 3. （2024年对口招生）已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】直接利用椭圆的性质，转化求解即可得解. 【解析】因为椭圆的左焦点为， 所以，解得， 故选：. 4. （2024年对口招生）已知抛物线过点，则__________. 【答案】 【分析】将点代入解析式，求出即可. 【解析】将点代入抛物线，则，；故答案为：. 5. （2023年对口招生）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查双曲线的渐近线方程是,是基础题. 【解析】∵.双曲线方程为， ∴，， ∴，， ∴渐近线方程是， ∴选A. 6.（2022年职教师资和高职班对口考试）双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】确定焦点位置后，利用求解 【解析】∵双曲线的标准方程, ∴双曲线的焦点在轴上, ,, ∴,, ∴双曲线的焦点坐标是. ∴选C. 7.（2022年职教师资和高职班对口考试）抛物线的焦点到准线的距离为_________. 【答案】1 【分析】抛物线的焦点到准线的距离为p，根据标准方程求得2p，进而求得焦准距p 【解析】∵抛物线为 ∴2p=2 ∴p=1 ∴抛物线的焦点到准线的距离为1 8.（2021年职教师资和高职班对口考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查双曲线的渐近线方程是,是基础题. 【解析】由题意得a=,b=,根据双曲线渐近线方程定义可得。 9.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查的是椭圆的标准方程. 【解析】根据题意得c=1，离心率为，根据得a=，b=1，即椭圆标准方程为。 10.（2021年职教师资和高职班对口考试设F是抛物线的焦点，点A，B都在该抛物线上，A,B,F三 点共线，且是方程的两根，O为坐标原点，则△OAB的面积是 . 【答案】4 【分析】本题考查的是抛物线方程的应用；. 【解析】由抛物线方程得焦点坐标F(1,0),p=2，由题知-4，且，两式相减得，故直线AB的斜率，直线AB的方程为，可化为，圆心O到直线AB的距离，所以ΔOAB的面积是 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1. （2023年对口招生）抛物线上的点到直线距离的最小值是_________. 【答案】 【分析】法一：首先设出与平行且与相切的直线为,联立方程与，消去y后，得出，然后利用相切条件得出△=0，求得平行线，然后得出两平行线间的距离为抛物线上的点到直线距离的最小值。 法二直接根据点到直线的距离公式得出关于x的函数，利用二次函数求最值得出最小值。 【解析】法一：转化法 设与平行且与相切的直线为， 联立方程消元得，即. ∵与相切，∴，∴， ∴，∴与相切的直线为. ∴抛物线上的点到直线距离的最小值是两平行线与之间的距离， ∴抛物线上的点到直线距离的最小值是. 法二：二次函数法 抛物线上的点（x，-x2）到直线的距离. ∴当时，. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知圆：. （Ⅰ）若直线与椭圆相切于点，求直线的方程； （Ⅱ）过圆内一点的直线与圆相交于，两点，若过点，且与圆相切的两条直线相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)当时, 的方程:; 当时,的方程: ; 当时,的方程: ; （Ⅱ） 【解析】由题可得该圆的圆心坐标为 ，半径为 3. （Ⅰ）设过点与的直线为 ，可得直线的斜率, ∵直线与圆相切, ∴ ∴直线的斜率, ∴当时, 的方程: ,即; ∴当时,的方程: ; ∴当时,的方程: ; （Ⅱ）当直线过圆圆心时，过点，且与圆相切的两条直线相互平行，则点不存在； 当直线不过圆圆心时，过点，且与圆相切的两条直线不平行，则点存在； 设点,,坐标分别为,, 可得直线方程： ，直线方程：, 点过直线和直线 ， 于是有，， 而,是圆上的点，故直线满足 ， 由于直线过点(2,1),于是有， 而点坐标为 ， ， 故点的轨迹方程为：. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）设圆C的圆心为C,半径为r(r＞0).圆C与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点 M, N, , \MN\=4. (I)证明:为定值； （II）求圆心C(a,b)到直线x-2y = 0的距离的最小值. 【答案】(I)由题意知，则 是以C为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 ①， 是等腰三角形，，， 所以②，由①②可得. （II）设圆心 到直线x-2y = 0的距离为d，则，， 所以，即，将代入， 可得，整理得 ， 因为b为实数，所以此方程的判别式 注意到 ，解得 （当且仅当 或 时取等号）， 故所求距离的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $