专题03 数列（4考点）--四川省对口招生五年（2021-2025）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题03 数列 1.数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式。 2.等差数列：了解等差数列的概念；了解等差数列前n 项和公式的推导过 程；掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式。 3.等比数列：了解等比数列的概念；了解等比数列前n 项和公式的推导过 程；掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式。 4.数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解 决简单实际问题的方法。 考点01 等差数列 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知等差数列的前n项和为Sn，且=10, (I)求数列的通项公式； （II）若数列,记cn = anbn ,求数列｛cn｝的前n项和Tn. 考点02 等比数列 1. （2025年对口招生）若是一个等比数列的连续三项，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）设数列的前项和为，且. （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和为. 考点03 数列的应用 1.（2024年对口招生） 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 2. （2023年对口招生）甲、乙两人玩猜硬币游戏，乙负责抛硬币，甲在乙每次抛前进行猜测.甲用数列记录自己每次的猜测情况，若猜测第次抛硬币出现正面记，出现反面记；乙用数列记录每次抛硬币后实际出现的正反面结果，当第次抛硬币出现正面记，出现反面记.他们进行50次游戏后，乙统计并计算出，则甲猜对的次数为_________. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知某高校学术报告厅共有20排座位，前2排的座位数是12，从第2排起后一排比前一排多2个座位，则该学术报告厅的座位总数是_________. 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校为了庆祝中国共产党建党100周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.这个梯形花坛共有10排，计划笫一排摆放100盆花，后面每排比前面一排少摆10盆，则该花坛 摆满共需 盆花. 考点04数列的综合应用 1. （2025年对口招生） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 2. （2024年对口招生）设数列前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 3. （2023年对口招生）设是首项为-10的等差数列，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列 1.数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式。 2.等差数列：了解等差数列的概念；了解等差数列前n 项和公式的推导过 程；掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式。 3.等比数列：了解等比数列的概念；了解等比数列前n 项和公式的推导过 程；掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式。 4.数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解 决简单实际问题的方法。 考点01 等差数列 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知等差数列的前n项和为Sn，且=10, (I)求数列的通项公式； （II）若数列,记cn = anbn ,求数列｛cn｝的前n项和Tn. 【答案】(I)由已知得，解得，由=10,得，则， 又，得，则数列的通项公式为. （II） , ， ， 相减得 .故 . 考点02 等比数列 1. （2025年对口招生）若是一个等比数列的连续三项，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【解析】因为若是一个等比数列的连续三项， 即，可化为， 解得或； 当时，第二项和第三项均为，不合题意； 当时，三项依次为，公比为，符合题意. 故选：A. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）设数列的前项和为，且. （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和为. 【答案】(Ⅰ) 略 （Ⅱ） 【分析】(Ⅰ)根据 构造出后，利用定义法证明，（Ⅱ）因为，所以要求的前项和为，可以先分别求出数列的前项和与数列前项和，然后相加即可得出。 【解析】(Ⅰ)在数列中，∵， ①当时,得. ②当时,= ∴ ∴∴ ∴ ∴ ∴数列是首项为3，公比为等比数列； （Ⅱ）由(Ⅰ)知数列的前项和为： ∴而数列是首项为-1，公差为1的等差数列，其前项和为： ∵ ∴数列的前项和为 考点03 数列的应用 1.（2024年对口招生） 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【解析】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米，故答案为：. 2. （2023年对口招生）甲、乙两人玩猜硬币游戏，乙负责抛硬币，甲在乙每次抛前进行猜测.甲用数列记录自己每次的猜测情况，若猜测第次抛硬币出现正面记，出现反面记；乙用数列记录每次抛硬币后实际出现的正反面结果，当第次抛硬币出现正面记，出现反面记.他们进行50次游戏后，乙统计并计算出，则甲猜对的次数为_________. 【答案】38 【分析】本题中,，所以由题意可得当甲猜对时，否则，然后设甲猜对的次数为次，即可根据构造关于x的方程求解即可. 【解析】设甲猜对的次数为次，则甲猜不对的次数为次， 根据题意：， 解得， ∴甲猜对的次数为次. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知某高校学术报告厅共有20排座位，前2排的座位数是12，从第2排起后一排比前一排多2个座位，则该学术报告厅的座位总数是_________. 【答案】582 【分析】首先利用等差数列的前n项和公式求出前19项的和，然后再加上即可得到该学术报告厅的座位总数。 【解析】∵前2排的座位数是12 ∴ ∵从第2排起后一排比前一排多2个座位， ∴ 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校为了庆祝中国共产党建党100周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.这个梯形花坛共有10排，计划笫一排摆放100盆花，后面每排比前面一排少摆10盆，则该花坛 摆满共需 盆花. 【答案】550 【分析】本题考查的是等差数列求和； 【解析】由题意得n=10,d=-10,a1=100,根据求和公式s=10×100+0.5×10×9×（-10）=550。 考点04数列的综合应用 1. （2025年对口招生） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件建立方程组，解出公差和公比即可求解. （2）利用错位相减法即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，由得， 代入，得， 解得（舍去），则， 所以通项公式. （2）由（1）知， 所以， 两边乘以公比得 ， 两式相减得， 即， 所以. 2. （2024年对口招生）设数列前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用写出，两式相减化简，在同除，化简等式累加，得到，等式两边同乘，得到，再由已知列方程组求出，即可求通项公式； （2）利用（1）求出，然后利用裂项相消求前项和即可. 【解析】（1）因为，有， 两式相减得， 即，化简得， 等式两边同除以，得， 化简得， 则有，，， 累加得， 即，等式两边同乘，则，即， 因为，且，即， 所以，即， ，即， 则，解得，，， ，当时，满足， 则数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 则， 则， 则 . 3. （2023年对口招生）设是首项为-10的等差数列，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）的通项公式为；（2）的最小值为. 【分析】本题（1）利用首项为-10的等差数列，且，，成等比数列.可以构造关于公差的方程，求得。（2）问中根据等差数列的前项和为可得，然后根据均值不等式或是二次函数均可求得最小值。 【解析】（1）∵首项为-10的等差数列，∴. ∵，，成等比数列，∴， ∴， ∴，∴，∴. ∴的通项公式为. （2）∵，∴. 法一（均值不等式法）：， 当且仅当时取等号.∴的最小值为. 法二（二次函数法）：∵，∴当时，取最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $