专题02 函数、指数函数与对数函数（8考点）--四川省对口招生五年（2021-2025）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题02 函数、指数函数与对数函数 1.函数的概念：理解用集合语言和对应关系定义的函数概念。 2.函数的表示方法：理解函数表示的解析法、列表法和图像法；理解分段 函数的概念。 3.函数的单调性和奇偶性：理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义 与函数图像的几何特征；初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法。 4.函数的应用：初步掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际 问题的方法。 5.实数指数幂：了解n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念；了解实数指数幂的运算法则。 6.指数函数：了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 7.对数的概念：了解对数的概念及性质；了解常用对数与自然对数的表示 方法；了解指数与对数的关系。 8.对数的运算：了解积、商、幂的对数及运算法则。 9.对数函数：了解对数函数的定义、图像和性质。 10.指数函数与对数函数的应用：初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、 对数函数模型解决简单实际问题的方法。 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 函数的定义域 1. （2025年对口招生） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【解析】因为函数，所以，解得， 即函数的定义域为.故选：C. 2. （2024年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数定义域为与对数函数真数大于零可求定义域. 【解析】函数有意义， 则，，即，则函数的定义域是； 故选：C. 3. （2023年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； 【解析】要使得函数有意义， 必须满足，∴，∴函数的定义域是. ∴选B. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】函数解析式中既有根式,又有分式,所以求根式和分式同时有意义的公共部分即可得出定义域.其中根式中被开方数≥0,分式中分母≠0. 【解析】要使函数有意义.必须使得∴ ∴ ∴函数的定义域是 ∴选A. 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A.[1,+∞） B.(1,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞) 【答案】A 【分析】根据题意，结合根式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【解析】因为函数，所以x-1≥0，解得x≥1，故选A。 考点02 函数的函数值 1. （2025年对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】； 【分析】画出和的图像，由此得到的最大值. 【解析】设，画出和的图像， 由图可知，当时，取得最大值，故答案为：. 考点03 函数的性质 1. （2025年对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）函数为偶函数 ； （2） 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意，所以， 当时，得， 即，整理得，所以函数为偶函数. （2）已知数列，当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为，前项中有个周期余两项， 所以. 2. （2024年对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【解析】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以， 因为，所以 . 故选：D. 3.（2024年对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【解析】函数是偶函数，则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即，则，即，解得； 则； 故答案为：2. 4. （2023年对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。 【解析】∵定义在上的函数是奇函数， ∴， ∴，∴，∴，分离常数得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是. ∴选D. 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是则 . 【答案】60； 【分析】由题意得，函数满足，即函数图像关于（0,2）对称；函数的图像也关于（0,2）对称；因此，两个函数的交点成对关于（0,2）对称。设交点为，则4，两个函数一共有15对交点，总和为60. 6.（2021年职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 【答案】(I) ，解得，又，得， 则，设，则由是增函数，知， 则， 则，故函数在上单调递增. （II）. 下面证明：当时，， 由二项式定理可知， 考点04 二次函数 1.（2025年对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【解析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为.故选：A. 2.（2024年对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【解析】（）由题意可设，，则与是方程的两根， 所以，，因为， 所以，整理得，解得或 （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 考点05函数图像 1. （2025年对口招生） 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【解析】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确.故选：C. 2. （2023年对口招生）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由图象向右平移1个单位得出图象，再将图象关于x轴对称翻折得出图象.本题考查图象的平移变换及对称翻折变换. 【解析】由的图象向右平移1个单位得出图象，如图A所示，然后将的图象关于x轴对称翻折得出图象，如图B所示. ∴选B. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的图像大致是（ ） 【答案】A 【分析】首先根据奇偶性排除C、D，然后根据分段函数当时，，单调递增，即可得出答案。 【解析】∵ ∴定义域为，关于原点对称。 ∵ ∴为偶函数，图像关于轴对称。排除C、D ∵当时，，单调递增。排除B。 ∴选A。 考点06 指数运算和对数运算 1.（2024年对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【解析】 . 故选：C 2. （2023年对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 【答案】A 【分析】本题考查指对互化及对数的运算法则，等公式及法则，是基础题. 【解析】∵，∴，∵，∴，∴， ∴选A. 3. （2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】通过逆用完全平方公式及运用及等性质即可化简求值. 【解析】 ∴选B. 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 【答案】2 【分析】本题考查对数的运算，log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 =1+1=2。 考点07 指数函数和对数函数 1.（2024年对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【解析】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 2. （2024年对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【解析】由题意得，因为幂函数在上是增函数，又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又，所以. 故选：C. 2. （2023年对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的最大值为4（2）实数的取值范围为. 【分析】本题主要考查对数的运算法则，复合函数的值域问题及函数恒成立问题, 综合考查了学生的数形结合思想，转化与化归思想，数学运算等核心素养，是综合题. 【解析】（1）∵， ∴ . ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴的最大值为4. （2）∵对任意，都有恒成立， ∴， ∴， 解①：，∴， 解②：∵=，=，， ∴， 令，∴，∴，∴，∴.∵， ∴，∴，∴，∴，∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 【答案】A 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，内函数y=x-1为增函数，外函数对数函数底数为0.5＜1单调递减，复合后原函数单调递减，则有x-1＞0，x＞1；则答案为A。 考点08 函数的应用 1. （2023年对口招生）某水文监测站对一河道某处的水深每小时进行一次记录，结果如图所示.，，，为线段的等分点.已知9点时河道水深为160cm，从11点到12点河道水深减少了10%，则在11点时河道水深为（ ） A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm 【答案】D 【分析】本题根据题意结合图象可以列出方程，考查读图识图的能力. 【解析】设等分点每一层水深为x cm，由题意可得11点时河道水深为，12点时河道水深为，12点时河道水深也可以表示为，所以可得方程， 解得：， 在11点时河道水深为==200cm. ∴选D. 2（2022年职教师资和高职班对口考试）某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非0常数）.如果分泌信息素后，在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为，在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】由题意构造方程组，消元法解之即得,本题考察了,等对数的运算法则 【解析】∵在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为， ∴，化简得① ∵在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为∴ 化简得②联立①②得解得 ∴选B . 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数、指数函数与对数函数 1.函数的概念：理解用集合语言和对应关系定义的函数概念。 2.函数的表示方法：理解函数表示的解析法、列表法和图像法；理解分段 函数的概念。 3.函数的单调性和奇偶性：理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义 与函数图像的几何特征；初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法。 4.函数的应用：初步掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际 问题的方法。 5.实数指数幂：了解n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念；了解实数指数幂的运算法则。 6.指数函数：了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 7.对数的概念：了解对数的概念及性质；了解常用对数与自然对数的表示 方法；了解指数与对数的关系。 8.对数的运算：了解积、商、幂的对数及运算法则。 9.对数函数：了解对数函数的定义、图像和性质。 10.指数函数与对数函数的应用：初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、 对数函数模型解决简单实际问题的方法。 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点01 函数的定义域 1. （2025年对口招生） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. （2024年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. （2023年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A.[1,+∞） B.(1,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞) 考点02 函数的函数值 1. （2025年对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 考点03 函数的性质 1. （2025年对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 2. （2024年对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 3.（2024年对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 4. （2023年对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是则 . 6.（2021年职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 考点04 二次函数 1.（2025年对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 2.（2024年对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 考点05函数图像 1. （2025年对口招生） 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 2. （2023年对口招生）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的图像大致是（ ） 考点06 指数运算和对数运算 1.（2024年对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 2. （2023年对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 3. （2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 考点07 指数函数和对数函数 1.（2024年对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 2. （2024年对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. （2023年对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 考点08 函数的应用 1. （2023年对口招生）某水文监测站对一河道某处的水深每小时进行一次记录，结果如图所示.，，，为线段的等分点.已知9点时河道水深为160cm，从11点到12点河道水深减少了10%，则在11点时河道水深为（ ） A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm 2（2022年职教师资和高职班对口考试）某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非0常数）.如果分泌信息素后，在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为，在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $