专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 指数函数与对数函数 1. 了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． B A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难. 2. 理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则 C 3. 理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程 C 4. 了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 3 对数函数定义域的求解 3 （1）题型：集中在选择题和填空题。 （2）分值：指数函数与对数函数几乎每年都有涉及，分值一般在7分左右。 （3）内容：指数幂的运算和对数运算是常考点。 填空题 11 对数的运算 4 2024 填空题 12 对数的运算性质（加法法则） 4 2023 选择题 3 对数的运算性质（加法法则） 3 填空题 11 根式与分数指数幂的运算 4 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西对口招生考试大概率有2道题目分别考查指数函数与对数函数，题型分别设置为单项选择题与填空题，分值共7分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数幂的运算与对数运算 · 指数函数与对数函数的概念、定义域、值域 · 指数函数与对数函数的图象及性质 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数。 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝N(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 五、10分钟小测验 1.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算法则求解. 【详解】A选项，，选项A错误； B选项，，选项B错误； C选项，，选项C错误； D选项，，选项D正确. 故选：D. 2.若函数是指数函数，则有（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以且，且， 解得． 故选：C. 3.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数性质确定的值域. 【详解】, 即函数的值域为. 故选：B. 4.化为对数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数与对数的互化求解即可. 【详解】由， 故选：B. 5.若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数函数图象的应用、对数的运算 【分析】将点代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，则，所以. 故选：C. 6.（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】由对数的运算性质以及指数幂的运算计算即可. 【详解】. 故选：A. 7.若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的概念判断与求值 【分析】根据分段函数解析式代入求值即可. 【详解】函数，所以， 则. 故选：C. 8.对数函数在定义域上是减函数，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】利用对数函数的性质进行求解即可. 【详解】由对数函数的性质可知： 若对数函数在定义域上是减函数， 则满足． 故选：C. 六、经典例题解析 （一）指数函数 【考试题型1】指数与指数幂的运算 【例1】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）） . 【答案】6 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】根据实数指数幂进行计算即可. 【详解】. 故答案为：. 【例2】（2023届·山西省吕梁市柳林县高级职业中学高三一模） . 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【考试题型2】指数函数的概念、图象与性质 【例3】（2025届·江苏省苏南五市三区中等职业学校高三学业水平模拟）已知指数函数（且）的图像过点，则的解析式为 . 【答案】 【知识点】求指数函数解析式 【分析】将点代入即可求. 【详解】将点代入得， ，即，得， 则的解析式为； 故答案为：. 【例4】（2025届·河北省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）函数（且）与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据一次函数和指数函数的性质可判断结果. 【详解】因为一次函数的，所以函数单调递减，故排除选项C和D； 由于中，即图像与y轴交点坐标为， 对A选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递增，符合要求，故正确； 对B选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递减，不符合要求，故错误. 故选：A 【例5】（2026届·重庆市职教高考研究联合体高等职业教育分类考试高三第一次模拟）已知函数，函数图像过点. (1)求的值； (2)当为何值时有最小值，最小值为多少? 【答案】(1). (2)当时，函数的最小值为. 【知识点】判断指数函数的单调性、求指数（型）函数的最值、求指数函数解析式、求二次（型）函数的最值 【分析】（）将点代入函数解析式中求出值即可得解. （）根据题意结合二次函数的最值及指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为函数图像过点，所以， 则， 解得，所以， 故. （2）由（）得， 令， 则，当时，， 又在定义域内为减函数， 所以当时，， 即当时，函数最小值为. （二）对数函数 【考试题型3】对数的概念及运算（高频考点） 【例6】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试数学试题） ． 【答案】2 【知识点】对数的运算 【分析】根据同底数对数的减法运算法则即可计算：． 【详解】， 故答案为：2． 【例7】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：C. 【例8】（2025届·陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校高三上学期职教单招第三次模拟）计算 (1) (2) 【答案】(1)原式. (2)原式. 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】(1)根据对数运算性质即可求解. (2)根据对数及指数幂的运算即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【考试题型4】对数函数的概念、图象与性质 【例9】（2023届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】利用具体函数的定义域求法即可得解. 【详解】函数有意义，则： ，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：D. 【例10】（2025届·四川省职教高考研究联合体普通高校对口招生高三上学期第三次模拟）函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、对数的运算、判断对数型函数的图象形状 【分析】由对数函数的性质确定定义域和单调性，逐个判断选项得到答案. 【详解】已知函数， 要使有意义，应满足，故定义域为，排除A、B选项， 由对数函数的性质可知，在定义域内单调递减，排除D选项， 代入，得到，函数图象经过点，故C选项正确， 故选：C. 【例11】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三高考最后六次实战考试）设，则a、b、c从小到大的排列顺序为 . 【答案】 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数和对数函数的单调性求出范围易得答案. 【详解】设， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 指数与指数运算 概念 定义 核心公式 指数运算 an（a>0，n∈R) 对数运算 换底公式 不同底对数转化工具 运算口诀：“指数乘除变加减，对数真数积变和；换底公式搭桥梁，1的对数为0要记牢” 2.函数图象与性质对比 （1）指数函数 参数 图象 过，单增，渐近线 过，单减，渐近线 值域 关键点 （2）对数函数 参数 图象 过，单增，渐近线 过，单减，渐近线 值域 关键点 （二）、解题策略与技巧 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解得漏解 未考虑真数 先写定义域再求解 底数分类错误 解a未讨论 或 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简误为 未用公式 弄清对数运算法则与换底公式条件 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 运算条件反射：每日1-2题指数和对数混合运算（强化公式变形能力） 图象思维渗透：不等式与大小比较可以画草图辅助分析 2、高频考向精炼： 题型1：指数与对数运算 题型2：求解复合函数定义域 题型3：指数函数与对数函数的图象及性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $