6.3.1角的概念同步训练2025-2026学年人教版数学七年级上册

6.3.1 角的概念 一、核心知识点 （一）角的定义与本质 · 定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。 · 特殊角定义： · 平角：一条射线反向延长得到，顶点不变，两边成一直线（和为180°，不是直线）； · 周角：一条射线绕顶点旋转一周重合得到（和为360°，不是射线）； · 直角：平角的一半（90°）。 （二）角的表示方法（3种） · 三个大写字母：顶点在中间，如∠AOB（OA、OB为角的两边）； · 单个大写字母：仅当顶点处只有一个角时使用，如∠O； · 阿拉伯数字/希腊字母：在角内部标注，如∠1、∠α。 （三）角的分类与换算 · 数量关系：1周角=2平角=4直角；1平角=2直角；1直角=90°； · 单位换算：1°=60′，1′=60″（满60进1，借1当60，十进制与六十进制不可混淆）。 （四）钟面角相关 · 基础规律：钟表12个大格，每大格=360°÷12=30°； · 速度关系：分针速度6°/分钟，时针速度0.5°/分钟（分针速度是时针的12倍）； · 夹角计算：先算初始夹角（大格数×30°），再根据时间差算时针、分针移动的角度差，最终求合角或差角。 （五）方向角规范 · 表述规则：先写“北/南”，再写“偏东/偏西”，最后加角度（如北偏东60°，不是东偏北60°）； · 特殊方向：东北=北偏东45°，西北=北偏西45°，东南=南偏东45°，西南=南偏西45°。 （六）角的识别 · 找小于180°的角：以同一顶点为核心，按“两条射线组合”的顺序逐一列举，避免遗漏或重复。 二、易错注意事项 1. 定义误区：切勿认为“两条射线组成的图形就是角”，必须强调“有公共端点”；平角、周角是角（有顶点和两边），不是直线或射线。 1. 表示规范：同一顶点有多个角时，不能用单个大写字母表示（如顶点O有3个角，不能统称∠O），需用三个字母或标注数字/希腊字母。 1. 钟面角易错：计算时忽略时针的移动（如9点30分，时针已偏离9点位置15°，夹角不是90°）。 1. 单位换算：度分秒是六十进制，不是十进制（如1.5°=1°30′，不是1°50′），加减时需先统一单位。 1. 方向角表述：不能颠倒“南北”与“东西”顺序（如“东偏北30°”表述错误，应为北偏东30°）。 1. 角的计数：列举角时按固定顺序（如从OA到OB、OA到OC、OB到OC），避免重复或遗漏。 同步训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 2．如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 3．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 6．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 7．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．1周角= 平角，1平角= 直角，1直角= ， ， ． 9．如果现在是，那么经过 分钟，分针与时针第一次相遇． 10．如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 11．如图，方向是北偏东 ， ． 三、解答题 12．请将下列各角用符号表示出来： 13．请写出下列各图中的角： 14．已知四点，，，，按照下列语句完成图形． (1)画直线，射线，射线； (2)连接交于点； (3)请用适当的方法表示以为顶点的所有角． 15．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，点C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟表上每相邻两个数字之间的夹角为是解题的关键．根据钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，题中钟表上为9点30分，时针和分针之间相隔个数字，据此列式解答即可． 【详解】解：∵钟表上12个大格，一圈， ∴每相邻两个数字之间的夹角为， ∵分针每走一圈，时针走一个大格， ∴钟表上9点30分，时针和分针之间相隔个大格， ∴此时分针与时针所成的角的度数为． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 7．C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 8． 2 2 90 60 60 【分析】此题考查了周角、平角、直角的概念以及角度单位度、分、秒的换算，根据周角为，平角为，直角为；等于，等于，即可求解． 【详解】解：周角等于，平角等于，因此1周角 平角； 平角等于，直角等于，因此1平角直角； 直角等于； 根据角度单位换算，，． 故答案为：2，2，90，60，60． 9． 【分析】本题主要考查钟面角问题，熟练掌握时针与分针的速度以及追赶问题的求解方法是解题的关键． 先明确时针和分针的速度，再计算出时分针与时针的夹角，最后根据追赶问题公式求出相遇所需时间． 【详解】解：时针速度：/分钟， 分针速度：/分钟 时，时针与分针的夹角为： 设经过分钟，分针与时针第一次相遇，可得 ， ， ， 故答案为：． 10． B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 11． /60度 /105度 【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【详解】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 12．(或)，(或)，(或)， 【分析】本题主要考查角用符号表示，角的表示有：一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母．根据题干选择三个大写英文字母表示即可． 【详解】解：根据题干可知，或() ，或()，或()． 13．见解析 【分析】本题考查角的表示，根据角的定义及表示方法表示各图中的角即可． 【详解】解：第一个图中的角是，，，； 第二个图中的角是， 第三个图中的角是，，，，，，，，，，，． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3)，，（不唯一，表示正确即可） 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的画法及角的表示方法，熟练掌握直线、射线、线段的定义和角的表示规则是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义，分别画出直线（向两端无限延伸）、射线（以为端点向延伸）、射线（以为端点向延伸）． （2）连接线段，找到其与的交点并标记为． （3）识别以为顶点的角，通过观察图形中以为端点的射线组成的角来表示． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：如图为所求； （3）解：以为顶点的角：，，（不唯一，表示正确即可）． 15．(1)与距小明家距离相同 (2)商场B在小明家的北偏西方向，处；学校在小明家的东北方向，处；公园在小明家的南偏东方向，处；停车场在小明家的南偏东方向，处 【分析】（1）根据线段中点的定义求出，然后判断出距小明家距离相同的地方； （2）根据方向角的定义解答； 【详解】（1）解：点为的中点， ， ， 距小明家距离相同的是学校和公园，即与距小明家距离相同 （2）解：根据图形可得， 商场B在小明家的北偏西方向，处；学校在小明家的东北方向，处；公园在小明家的南偏东方向，处；停车场在小明家的南偏东方向，处 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $