以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 例1.(25-26九年级上湖南岳阳·期中)如图，一次函数 y=ax+b a b (“,为常数， a≠0 )的图象与反比例函数 =x（k为常数，k≠0)的图象交于A2,4),Bn,-2两点. ()求一次函数和反比例函数的解析式。 (2)若ar+b x,请直接写出满足条件的x的取值范围： ③)直线B与轴交于点C,点Pm,0是x轴上的点，若PAC的面积大于12，请直接写出m的取值范围. 0 8 【答案】()反比例函数的解析式为y= 一次函数的解析式为y=x+2 (2)-4<x<0或x>2: (3)m>4或m<-8 【详解】)把点A2,4到代入y=冬 得k=8, 反比例函数的解析式为y= x 8 把点Bn,-2)代入y=x得， 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 n=-4, 点4(2,4，B4,2到在一次函数=ax+b的图象上， 〔4=2a+b .-2=-4a+b a=1 解得b=2, y=x+2 ·一次函数的解析式为 (2)根据函数图象及交点坐标可知，不等式r+b>的x取值范围为：-4<x<0或x>2: k 2中，当=0时，=2， y=x+2 (3)在函数 C-2,0) 设点P坐标为m0),则PCm+21, 1 S,4c-2m+2x4>12, |m+2>6 解得：m>4或m<-8」 R△MBC中，∠1BC=90,B=3,1C=5. P B 例2.(25-26九年级上重庆月考)如图，在 动点从点出发， BC CA 沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒：同时，点从点出发，沿射线“方向匀速运动，速度为0.5 个单位每秒，设运动时间为r秒0<x<10),记点P到直线C巴的距离为片，△4BC与△B0C的面积之比为”. ()请直接写出”，少关于X的函数表达式，并注明自变量的取值范围： 2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数”，”的图象，并分别写出函数”，”的一条性质： ③)结合函数图象，请直接写出≤”时'的取值范围。（近似值保留小数点后一位，误差不超过02） 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 冰 11 10 9 87 5 3 B 0123456789101x 2.4-0.48x,0<x≤5 【答案】(1)片= 0.48x-245<x<10:片= 0,(0<x<10 (2)见解析 (3)0<x≤7.6 【详解】(1)：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3,AC=5, BC=V53-32=4 秒后， B PM BP=0.8x Co=0.5x 当BP=BC=4时，即0.8x=4,解得x=5, ∴.当0<x≤5时，PC=4-0.8x, S-)PCAB=4-0.8=6-1.2x, 2 2 点p到直线C0的距离为y-25-2-4-24-048, AC 5 当5<x<10时，PC=0.8x-4, Se-c4B-g08x-4=12-6, 2 点p到直线c0的距离为-25g-24r-12=048x-24, AC 5 2.4-0.48x,0<x≤5 则 0.48x-2.4,5<x<10: 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 QQM⊥BCCQ=0.5x 过作 则M0=0.3x, 5.c-x3x4=6,Sx=8CQM-×403x=06r = S匹=6=10(0<x<10 所以1 S.B0c 0.6xx (2) 11 10H 9 8 6 4 2 012345678910ix 函数”的性质：当<x≤5时，'随增大而增大， 当5<x<10时，y随x的增大而减小： 函数”的性质：0<x<10时，'随增大而增大： V (3)由图象可知， =乃时，x*7.6 八≤”时， 0<x≤7.6 m 例3。(25-26九年级上安徽滁州期中)如图，一次函数y=:+b（k≠0)与反比例函数y=下(m≠0：x<0 )的图象交于4-2,6,8-6叫两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)求△AOB的面积. 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 y B 12 【答案】(I)反比例函数的解析式是y=- 一 次函数的解析式是y=x+8 (2)16 【详解】(1)解：：反比例函数y=x（m≠0，x<0)的图象过A-2,6),B-6,两点， ÷m=-2×6=-12,-6a=m, a=2, B-62,反比例函数的解析式是y=-12 把-26) B-6,2)代入一次函数y=+b中， 「-2k+b=6 [k=1 得-6k+b=2,解得：b=8, y=x+8 ·一次函数的解析式是 (2)解：设少x+8 y轴交于点C,如图， 则当=0时， y=8 点C的坐标是(08 ,即0C=8, S.408=S.B0c-S.AOC -zockl-jockl x8x6-1x8x2 2 =16 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 B 例4.(25-26九年级上安徽马鞍山期中)如图，反比例函数'=的图象与一次函数y=+b的图象交于Am,3)、 B(-3,m两点. ()求一次函数的解析式及△40B的 积： (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围. 3)若点P是 P是坐标轴上的一点，且满足△P1B的面积等于△1OB 0 面积的倍，直接写出点的坐标。 【答案】0)少=x+2 4 (2)x>1或-3<x<0 6P(-6.0),B(2,0),B0,6).B0,-2 【详解】(1)解：反比例函数y=的图象与一次函数y=+b的图象交于Am,3)、B(-3,m两点， 将A与B坐标代入反比例解析式得：m=1,n=-1, .A1,3)B(-3,-1 代入一次函数解析式得： [k+b=3 -3k+b=-1, 解得：k=1,b=2, 6 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 y=x+2 则一次函数的解析式为 当t=0 y=2 时， 当0 时，则+2=0 解得x=-2, 直线y=x+2与轴、'轴的交点坐标为-2,0)、(0,2)， ÷S。40B =1x2×2+x2x1+x2×1=4, 2 2 2 (2)解：·41,3)，(-3，-1 “反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为x>1或-3<x<0； (3)解：.a08=4 S.PAB=2S.408=8 设Rp,0,即OR=p+2, 3m=5e+5m-p+2x3+分p+2w1=8, 解得：P=6欧P=2, .P(-6,0).B2,0) 同理可得：B(0,6),P(0,2 综上所述，点P的坐标为P-6,0,B(2,0),P0.6),0,-2 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 变式1.(25-26九年级上四川成都期中)如图，在平面直角坐标系中，直线=x+ 分别与y轴、x轴相交于 点4，B2,0,过点4的直线与双曲线y-k>0交于C,D两点（点C在点D的右侧. (I)求a的值及线段AB的长： 上'轴于点E,过点D作DF1轴于点F,连接D, CE⊥y 若CG=1,DF=2,求的值及△1BD k (2)过点作 的面 积； (⊙)将直线0沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G·再将)=>0x>0的图象沿者直线-2翻 x 折，翻折后的图象交直线AG于点M,N(点M在点V的左侧)，当△AOM∽△OGM时，求k的值. 备用图 【答案】0)0= 2:AB=5 15 (2)k=3:△ABD的面积为4 3)ks16 【详解】①D解，将20代入直线，=1中，符2a+1=0放4=， 直线B的装达式为=方+1， 令=0，则y=1,即40,1， OA=1,0B=2 所以 故B=VP+22=V5 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 (2)解：如图所示， E 由题意可得：CE=1,DF=2, 故C的横坐标为1，D的纵坐标为-2， 又因为C.D两点在双商线y-女k>0上， 放设cL1,0会2 设直线CD的表达式为y=mr+n, k=m+n 则-2=- m+n, 2 m=2 解得：n=k-2, 由待定系数法可得直线C”的表达式为 y=2x+k-2 又因为40,1在直线CD上， 故1=k-2, 解得：k=3, 所以双曲线的表达式为 -2cii.o) △ABD 的面积 =SA40B+SA4OD+SABOD 9 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 -1AOxBO+AOxol+BOxDF 1 2 1 1 31 ×1×2+-×1× ×2×2 2 21 22 15 4· (3)解：：40,1，B(20,关于轴对称的点坐标为01，（2,0 设直线1B沿'轴翻折得到的新直线解析式为'=x+1, 代入-20 ,得：0=-2+1 1 解得：K 2, ∴直线AB沿y轴翻折得到新直线y=+1, 1 把y=0代入y=2x+1得：0=2x+1, 21 解得：x=-2, .G-20) y=k>0,x>0的图象沿若直线y=2翻折后，如图所示， W 是公共角， B ∠AMO=∠OMG △AOM∽△OGM时， :∠MGO=∠MOA, tan∠MGo=40_=l FGoF2tan∠uoA, tan∠MOA=u-1 M2, o以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形与直角三角形存在性问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，0）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 例2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.5个单位每秒．设运动时间为秒，记点到直线的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 例3．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 例4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 变式2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：双曲线． (1)若直线与双曲线交于点，求和的值； (2)在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； (3)若点，点双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 变式4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 考点二 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式； (2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 例3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． (1)若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 例4．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P是x轴上一点，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 变式1．（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接，．作轴于点E，且． (1)求一次函数关系式和k的值； (2)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． (1)______（用含有的代数式表示）； (2)如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明：   ②计算：的长度 (3)若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 考点三 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 变式1．（24-25九年级上·广东清远·期末）阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 变式2．（2025·湖北·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $