第五章圆和第六章对概率的进一步认识综合练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第五章圆和第六章对概率的进一步认识综合练习题 一、单选题 1．元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．将矩形纸片按如图所示进行裁剪，所裁剪出的扇形与圆刚好能够做成一个圆锥．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（   ） A．指针指向的数字能被整除 B．指针指向的数字是偶数 C．指针指向的数字比大 D．指针指向的数字能被整除 5．下列说法中正确的个数有（   ） ①已知点与点关于原点对称，则； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③两个相似三角形周长的比为，则其对应的面积比为； ④等边三角形的边长是4，则外接圆半径是； ⑤圆的内接平行四边形一定是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 7．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D是四个格点，经过A，B，C三点的圆弧与交于点E． 结论I：点E是线段的中点，同时也是的中点； 结论Ⅱ：阴影部分的面积为． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 9．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的外接圆，，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中的平分线．图①中小亮的画法是：连接，则即为的平分线；图②中小明的画法是：连接并延长；交于点，连接，则即为的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（   ） A．小亮的做法正确，小明的做法不正确 B．小亮和小明的做法都不正确 C．小亮和小明的做法都正确 D．小明的做法正确，小亮的做法不正确 11．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 12．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为1.5m，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 （结果保留）． 14．图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 15．为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是 ． 16．三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在中，为的平分线，则．如图（2），四边形是的内接四边形，对角线，相交于点．若，，，，，则的长为 ． 17．如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 18．如图，在菱形中，，，经过、两点，且与相切于点，与相交于点．点为线段的中点，则长为 ． 三、解答题 19．如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E． (1)写出图中一个与相等的角______； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)若的半径为，，求的长． 20．绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚赢，若配成黄色小亮赢．请利用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平． 21．如图，中，点O在边上，经过点A的与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，． (1)判断直线与的位置关系，并加以证明； (2)若，求的长． 22．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 23．图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 24．如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及刚好有两人会表演节目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将会获得奖品的盲盒记为A，会获得表演节目的机会的盲盒记为B， 画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中刚好有两人会表演节目的结果有：（A，B，B），（B，B，A），（B，A，B），共3种结果， ∴刚好有两人会表演节目的概率为． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了圆锥的展开图，弧长公式，设，则小圆的直径为，根据弧长等于底面圆的周长，列等式解答即可． 【详解】设，则小圆的直径为， 根据题意，得， 解得， 故选C． 4．A 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图可知，试验的概率为，逐一进行判断即可，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，当转动次数为次时，频率为，故该事件的概率约为． 、转动转盘后，出现能被整除的数有个，概率为，符合题意； 、转动转盘后，数字是偶数的有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字比大的数有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字能被整除的数有个，概率为，不符合题意； 故选：． 5．B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，圆的相关概念，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，圆的相关概念，相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：①点与点关于原点对称， ， ， 故说法①正确； ②平分弦（非直径）的直径一定垂直于弦， 故说法②错误； ③两个相似三角形周长的比为，则其对应的面积比为， 故说法③正确； ④等边三角形的边长是4，则外接圆半径是， 故说法④错误； ⑤圆的内接平行四边形一定是正方形， 故说法⑤错误； 综上所述，说法正确的个数有个， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了切线的判定．根据切线的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴直线是的切线，故甲同学的答案正确； ∵是的直径， ∴， 若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误； 若， ∴， 即， ∴直线是的切线，故丙同学的答案正确； 故选：C 7．D 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，弧与圆周角之间的关系，求不规则图形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，连接，先计算出的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，证明，即可判断结论I；再利用2倍的阴影部分面积等于半圆的面积减去△的面积即可判断结论Ⅱ． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴，； ∴点E是线段的中点，同时也是的中点，故结论I正确； ∴弧与弦所围成的面积等于阴影部分的面积， ∴2倍的阴影部分面积等于半圆的面积减去的面积， ∴ ∴，故结论Ⅱ正确， 故选：A． 9．B 【分析】由圆周角定理得出，进而得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点所对应的读数为， ， 为直径，， 点在上， ， ， 是的外角， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 10．C 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，角平分线判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．图①中连接，图②中，连接并延长；交于点，连接，根据等弧所对得圆周角相等，以及垂径定理，圆周角定理求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， 即为的平分线， 故小亮的做法正确； 连接并延长；交于点，连接， 为直径， ， ，， ， ， 即为的平分线， 故小明的做法正确． 故选：C． 11．B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 12．D 【分析】此题考查了旋转的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 连接，依题意得：，由旋转的性质得，则，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 13． 【分析】本题考查的是弧长公式的应用，直接利用弧长公式计算即可； 【详解】解：由题意可得：的长度为， 故答案为： 14．1.3 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D， 由题意得，米，米， ∵当转动到最低位置时， ∴， （米），， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴此时B的高度上升了1.3米， 故答案为：1.3． 15． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【详解】解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴春节和端午节刚好被选中的概率为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是根据阅读部分的提示灵活运用新的知识点，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，先求解，再证明，利用相似三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴由斯库顿定理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 17． 【分析】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 18． 【分析】此题重点考查菱形的性质、切线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 设交于点，连接并且延长交于点，连接，由切线的性质得，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得，则，再证明△△，得，，所以，推导出，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接并且延长交于点，连接，则， 与相切于点， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ，，， ， ，，， △△， ，， ， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， 故答案为：． 19．(1)（或或）； (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得,则， （2）根据题意得,则，由角平分线的，结合和，则，故； （3）连接OD，交AC于点F，连接OA．由题意得，，则，在中，结合即可。 【详解】（1）解：∵D是弧的中点， ∴, ∴， 故答案为：（或或）； （2）解：是等腰三角形， 理由如下： ∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵CE平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （3）解：连接OD，交AC于点F，连接OA．如图， ∵，D是弧AC的中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴。 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及同弧所对圆周角相等、角平分线的定义、等腰三角形的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的相关知识。 20．公平，见解析 【分析】本题考查了用树状图或列表法计算概率，分别计算出小刚、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论，熟练利用树状图或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：如下表所示： 红 蓝 绿 红 （红，红） （红，蓝） （红，绿） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，绿） 绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，绿） 白 （白，红） （白，蓝） （白，绿） 由表可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有2种结果，其中配成黄色的有2种结果， 所以，， ， 小刚、小亮获胜的概率相同， 故游戏公平． 21．(1)直线与相切，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，证明，得到，根据与相切，得到，即可得出结论； （2）勾股定理求出，证明，设⊙O的半径为r，列出比例式求出的值，勾股定理求出的长，用进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切， 证明如下：如图，连接，则． ∴，， ∴，， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设⊙O的半径为r，则， ， ∴． 在中， ， ∴． 22．(1)补全图形见解析 (2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 (3) 【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可； （2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可； （3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下： ； （2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10． ∴排在第，位的数据为， ∴甲社团的成绩的中位数为（分）； ∵乙社团排在第，位的数据为，， ∴乙社团的成绩的中位数为（分）； ∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； （3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键． 23．(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 24．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用参数法表示出中各边的长是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $