数学期末复习讲义（充要条件）-2025-2026学年高二上学期《期末考点大串讲》(1)

2025-2026学年 高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义充要条件 1 核心考点 复习目标 考情规律 命题 理解命题的概念，能判断出所给命题 的真假 基础考点，一般出现在选择题中，单纯 考查较少 充分必要条件 理解必要条件与充分条件的概念，能 判断所给命题之间的关系 高频考点，一般出现在选择题中，基本 每年对口高考中均有考查 2 第一章 充要条件 3 知识点1 命题 4 能判断真假的陈述句称为命题.判断为真的命题称为________， 判断为假的命题称为________. 一般地，对于形如“如果，那么”的命题， 我们称 为____________， 简称条件；称 为____________，简称结论. 真命题 假命题 命题的条件 命题的结论 5 知识点2 充必要条件 6 若，则是的______条件，是的______条件 是的____________条件 且______ 是的____________条件 ______且 是的______条件 是的__________________条件 ______且______ 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 7 一、单选题 1.(22-23高二下·山东青岛·期末)下列语句中是命题的是( ) B A.周期函数的和是周期函数吗？ B. C. D.梯形是不是平面图形呢？ 【答案】B 8 【分析】根据命题的定义，即可求解. 【详解】对于A：不是，因为A是一个疑问句，不能判断其真假，故不构成命题； 对于B：是，因为能够判断真假，故是命题； 对于C：不是，因为不能判断其真假，故不构成命题； 对于D：不是，不能判断真假且不是陈述句，故不构成命题. 故选： 9 2.(23-24高三上·江苏淮安·期末)下列命题中是真命题的是( ) A A. B. C.3是偶数，或3不是质数 D.若两个三角形相似，则它们全等 【答案】A 【分析】由选项判断正误即可. 【详解】A：成立，故A是真命题， B：成立，故B是假命题， C：3是奇数，且3是质数，故C是假命题， D：两个三角形相似，它们不一定全等，故D是假命题. 故选： 10 3.(23-24高一上·山东菏泽·期末)“且”是“”的( ) C A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】设且，，可得，，根据充要条 件的定义可判断结果. 【详解】设且，，可得 ，， 所以“且”是“”的充要条件. 故选：C 11 4.(23-24高二上·陕西宝鸡·期末)“”是“有实数解”的( )条件 B A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分又不必要 D.充要 【分析】先将有实数解等价转化为，再根据充要条件的定 义可判断. 【详解】方程有实根等价于，即 因为“若，则”为假命题，若“，则”为真命题； 所以“”是“有实数解”的必要不充分条件. 故选：B 12 5.(24-25高一下·江苏苏州·期末)已知向量，则“” 是“”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 【分析】根据向量垂直求出参数，然后根据充分条件、必要条件的概念可知. 【详解】由题可知：若，则 或 所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：A 13 6.(24-25高一下·四川自贡·期末)“”是“”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14 【分析】根据对数函数的单调性及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】因为函数，，函数在定义域上为增函数， 则，解得， 所以当即时，可以推出，故充分性成立； 当时，推不出，因为当时，此时无意义，故必要性不成 立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 15 7.(19-20高二下·浙江温州·期末)命题是命题的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件以及必要条件的概念求解即可. 【详解】当时，可以推出， 当时，不一定为，可以是任何角度值， 故命题是命题的充分不必要条件. 故选： 16 8.(24-25高二上·山东潍坊·期末)已知集合 ，则“ ”是“”的( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由已知结合集合的包含关系检验充分及必要性即可. 【详解】充分性： 当时，集合 ，此时满足 ；故“”是“”的充分条件； 17 必要性： 因为集合，当时，或， 所以或；当时， 符合题意，当时， 符合题意， 故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选： 18 9.(22-23高一上·河北承德·期末)是的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义及对数函数的性质即可得解. 【详解】在单调递增. 所以，则 而，、没有意义，故不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选： 19 10.(23-24高二上·湖南怀化·期末)已知直线和平面，直线，直线， 则“”是“”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理以及充分条件，必要条件，即可求解. 20 【详解】当已知时， ，，， 根据线面平行判定定理，可得， 充分性成立， 当已知， ，， ，，， 或与m异面， 必要性不成立， 是的充分不必要条件. 故选： 21 题型一 命题 【典例1】(24-25高二上·江苏·期中)下列语句中，能构成命题的是( ) C A.请帮我解一下这道数学题 B.明天会下雨吗？ C.方程有实数根 D.求证：方程没有实数根 22 【分析】依据命题的定义，逐个判断选项即可求解. 【详解】在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫 做命题. C选项是可以判断真假的陈述句，是命题. A、B、D选项均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题. 故选： 23 【典例2】(24-25高二上·河北石家庄·期末)下列命题是假命题的是( ) B A.正方形是平行四边形 B.2是无理数 C.如果，那么 D. 【分析】根据假命题的概念对选项逐个分析即可. 【详解】正方形是平行四边形，故A为真命题， 2是有理数，故B为假命题， 如果，那么，故C为真命题， ，故D为真命题， 故选： 解题技巧 24 四步解题流程 1.审题与翻译 明确条件与结论：用笔圈出来。 符号化/数学化：将文字语言翻译成精准的数学语言或符号。例如，“至少有 一个”翻译为“ ”，“对所有”翻译为“ ”，“整数”要考虑正负零等。 2.分析逻辑关系 这是一个什么类型的命题？是涉及集合、函数、不等式、几何？ 结论Q是条件P的必要、充分，还是充要条件？这能帮助你理清思路。 25 3.尝试证明或举反例 首选思路：尝试证明。顺着条件P，运用定义、定理、公式进行推导，看是 否能必然得到Q。如果你能严谨地证明出来，命题自然为真。 受阻时：寻找反例。如果在证明过程中发现推不下去，或者需要附加条件 才能成立，就要警惕命题可能为假。此时，你的核心任务就是构造一个反例。 反例的关键：它必须满足所有条件P，但明确违反结论Q。 反例要尽可能简单、典型。 4.做出判断并书写 真命题：写出完整的、逻辑清晰的证明过程。 假命题：清晰地展示你的反例，并简要说明它为何满足条件但违背结论 26 【变式1】(24-25高二上·全国·课后作业)下列语句是命题的是( ) B A. B. C.你们期末考试了吗 D.这是一棵大树 【分析】命题是能判断真假的语句，由命题概念来对四个选项分别进行判断. 【详解】A项：，无法判断真假，所以A不是命题； B项： ，可以判断不正确，所以B是命题； C项：“你们期末考试了吗”是疑问句，命题不能是疑问句，所以C不是命题； D项：“这是一棵大树”无法判断真假，所以D不是命题. 故选： 27 【变式2】(24-25高二上·河北石家庄·期中)下列命题是假命题的是( ) A A.0是空集的元素 B.0是自然数集N的元素 C.对于任意集合A，都有 D. 【分析】根据空集、自然数集的概念，以及集合交集、并集的概念和性质，结合 题意，即可判断求解. 28 【详解】对于A，空集中没有元素，所以0不是空集的元素，是假命题，故选 项A符合题意； 对于B，因为0是自然数，所以0是自然数集N的元素，是真命题，故选项B不符合 题意； 对于C，因为空集是任何集合的子集，所以对于任意集合A，都有， 是真命题，故选项C不符合题意； 对于D，根据交集的性质，可得，是真命题，故选项D不符合题意； 故选： 29 题型二 与集合有关的充分必要条件 【典例1】(24-25高二下·广东·期末)已知集合 ，则“ ”是“”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合集合间的包含关系判断. 【详解】若，则，所以有； 反之，若，则或，即或 因此可以推出，但不一定能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选： 30 【典例2】(24-25高二下·全国·课后作业)设是三个集合，则“” 是“”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 31 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若 ， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： 32 解题技巧 集合包含关系法(最直观、最常用) 这是解决集合问题的最强大工具。将条件转化为集合，然后通过维恩图或集合运算来判断包 含关系。 解题步骤： 将命题转化为集合：明确命题P和Q分别对应哪些元素的集合。 画出集合关系图：用维恩图表示出集合P和Q。 判断包含关系： 如果 P ⊆ Q，则P是Q的充分不必要条件。 如果 Q⊆ P，则P是Q的必要不充分条件。 如果 ，则P是Q的充要条件。 如果 P Q 且 Q P(即P与Q有交集但不互相包含)，则P是Q的既不充分也不必要条件。 33 【变式1】(2024高三·广东·专题练习)设集合，，则“”是 “”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】判断与的关系确定充分条件或必要条件即可. 【详解】集合， ， 若则，则可推出， 若则或，不能推出， “”是“”的充分不必要条件. 故选： 34 【变式2】(24-25高二下·全国·课后作业)对于结论“”成立的充分条件，以下 说法错误的是( ) B A. B.集合N中的元素都是集合M的元素 C.集合M中的元素是集合N的元素 D. 35 【分析】根据子集及充分条件的概念判断即可. 【详解】对于A，若，则，故是的充分条件； 对于B，若集合N中的元素都是集合M的元素，则， 如，此时不能推出， 故“集合N中的元素都是集合M的元素”不是的充分条件； 对于C，若集合M中的元素是集合N的元素，则， 故“集合M中的元素是集合N的元素”是的充分条件； 对于D，若，则， 故是的充分条件. 故选： 36 题型三 与立体几何有关的充分必要条件 【典例1】(23-24高二上·江西·期末)已知是两条不重合的直线，是一个平 面，，则“”是“”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】依据线面垂直的定义和性质结合充分性和必要性的判断方法判断. 【详解】根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有， 现只满足一条()，即充分性不成立， 由线面垂直的性质知，若，，则成立，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： 37 【典例2】(21-22高二下·浙江·期末)已知空间两条直线，则“直线不平行” 是“直线异面”的( ) B A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【分析】根据空间直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】由题直线不平行,则直线可能相交或异面，充分性不成立， 直线异面，则直线不平行，必要性成立， 故“直线不平行”是“直线异面”的必要非充分条件. 故选：B 38 解题技巧 解决立体几何充分必要条件问题的关键是： 1、混淆“无数条”与“任意一条”、“所有条”：这是最经典的陷阱。“无数条”在数学上不排 除这些直线方向相同；“任意一条”或“所有条”则意味着包含各个方向。判定定理需要的是能 确定方向的两个相交直线。 2、偷换定理中的“特定对象”：性质定理的结论(如线面平行推出线线平行)中的线，是交 线或面内任意直线，不能替换为题目中预先指定的某条特定直线 39 3.忽视定理的“完整前提”： 线面平行判定：必须强调直线 在平面外。 线面垂直判定：必须强调垂直于 两条相交直线。 面面平行判定：必须强调是 两条相交直线 平行于另一平面。 4.混淆“位置关系”与“度量关系”： 例如，“直线与平面内所有直线所成角相等”是“直线垂直于此平面”的充要条件吗？是。因为只有90度角才满足与面内所有直线(包括不同方向的)成等角 40 【变式1】(23-24高二下·山东·期末)“直线在平面外”是“直线”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据直线在平面外直线，直线直线在平面外，并结合 充要条件的概念可判断结果. 【详解】因为直线在平面外有两种情况，即直线与平面相交或直线与平面平行， 所以直线在平面外直线， 而直线直线在平面外， 所以“直线在平面外”是“直线”的必要不充分条件. 故选：B 41 【变式2】(23-24高二上·四川南充·期末)设是两个平面，直线与垂直的一个 充分条件是( ) D A.且 B.且 C.且 D.且 42 【分析】根据直线与平面、平面与平面之间的平行垂直关系判定. 【详解】A选项中，当且时，若平行于与的交线，则无法得到 ，A错误. B选项中，当且时，若在平面内，则无法得到，B错误. C选项中，当且时，若是与的交线，则无法得到，C错误. D选项中，当且时，则此时，故“且”是直线与垂直 的一个充分条件，D正确. 故选： 43 题型四 与三角函数有关的充分必要条件 【典例1】(24-25高一下·四川南充·期末)“”是“”成立的( ) B A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 44 【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则， 所以“”不能推出“，充分性不成立， 若，则， 所以“”能推出“”，必要性成立， 所以“”是“”成立的必要条件， 故选： 45 【典例2】(24-25高二下·广东梅州·期末)在中，“”是“”的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】分析和之间的逻辑关系，判断前者是否为后者的充分或 必要条件即可求解. 46 【详解】在中，，且，则， 即等价于，因为是的真子集， 所以在中，“”是“”的充分不必要条件. 故选： 47 解题技巧 解决三角函数充分必要条件问题的关键是： 1、始终牢记定义域 2、写出完整通解(不要漏解) 3.善用数轴和图象直观判断 4.巧用特殊值快速验证 48 【变式1】(24-25高二下·江苏镇江·期末)在中“”是“”的什么 条件( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】根据必要不充分条件的判定即可解得. 【详解】若在中，则， 如在中，则或 所以在中“”是“”的充分不必要条件. 故选： 49 【变式2】(24-25高一下·广东梅州·期末)是的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 50 【分析】根据充分条件与必要条件的定义结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以函数在上为增函数，此时，故充分性成立； 当时，此时且，故必要 性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 51 题型五 与解析几何有关的充分必要条件 【典例1】(24-25高二上·四川自贡·期末)“”是“方程表示 椭圆”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 52 【分析】由椭圆的定义结合充分、必要条件即可得解. 【详解】由方程表示椭圆， 可得，解得，即， 所以方程表示椭圆可推出， 但推不出方程表示椭圆， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选： 53 【典例2】(25-26高一上·全国·期末)“”是直线与圆 相切的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径， 得到的值即可解得. 54 【详解】由圆，可得圆心为，半径 直线与圆相切， ，， “”是直线与圆相切的充要条件， 故选：C 解题技巧 55 解题技巧 1.明确几何条件 准确理解P和Q的几何含义 画出草图帮助理解 2.转化为代数条件 将几何关系用距离、方程、坐标等表示 注意定义域和约束条件 56 3.分析集合关系 确定满足P的点的集合 确定满足Q的点的集合 比较两者的包含关系 4.应用核心法则 根据"小充分，大必要"判断 注意边界情况 5.验证特殊情况 检查相切、重合、平行等特殊情况 验证参数取极端值的情况 57 【变式1】(21-22高二下·浙江·期末)“为双曲线方程”是“，” 的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据双曲线的标准方程即可解得. 【详解】表示为双曲线，则或，充分性不成立， ，则表示为双曲线，必要性成立， 故选：B 58 【变式2】(23-24高一下·全国·期末)“”是“直线与 直线平行”的( ) C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据两直线平行，直线方程系数的关系，结合充分必要条件的定义即可 求解. 59 【详解】当时，两直线方程分别为和， 两直线平行. 当直线与直线平行时，则 解得或，当时两直线重合，舍去，故 所以“”是“直线与 直线平行”的充分必要条件. 故选： 60 题型六 与向量有关的充分必要条件 【典例1】(24-25高二上·湖北武汉·期末)已知：与不共线，：与都是非零 向量，则命题是命题的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 61 【分析】根据充分条件与必要条件的概念和向量共线的概念判断即可. 【详解】因为零向量与任何向量共线，所以当与不共线，必有与都是非零 向量，充分性成立； 与都是非零向量时，与不一定共线.当满足时，与共线.必 要性不成立. 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选： 62 【典例2】(24-25高二上·浙江·期末)“”是“”的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的判定，即可选出正确答案. 【详解】两向量的模相等不一定共线，两向量平行模也不一定相等， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 63 解题技巧 1、零向量是“万能陷阱”：涉及向量平行(共线)或垂直时，必须考虑零向量 2、逻辑方向要清晰：严格区分“”(证明充分性)和“”(证明必要性)。可以借助 “有它就行是充分，没它不行是必要”的口诀辅助理解。 3.几何条件的多种情况：将向量条件翻译为几何图形时(如垂直、共线)，注意考虑所有可能情 况，避免以偏概全 64 【变式1】(23-24高二上·安徽芜湖·期末)已知向量，则“ ”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 65 【分析】由向量共线的坐标运算验证充分性、必要性即可. 【详解】因为向量， 充分性：若，则，所以，即，充分性成立； 必要性：若，则，解得，必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 故选： 66 题型七 与复数有关的充分必要条件 【典例1】(24-25高二上·江西·期末)“复数是纯虚数”是“ 且”的( ). C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 67 【分析】根据纯虚数的概念结合充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】若复数是纯虚数， 则且， 故“复数是纯虚数”可以推出“且”， 若“且”，则复数是纯虚数， 故“且”能推出“复数是纯虚数”， 所以“复数是纯虚数”是“且”的充要条件， 故选： 68 【典例2】(21-22高一上·新疆喀什·期末)是“实系数一元二次方程 有虚根”的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由实系数一元二次方程有虚根求出的取值范围，再判 断命题的必要不充分条件即可. 69 【详解】因为实系数一元二次方程有虚根， 所以， 解得， 不能推出， 能推出， 是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件. 故选： 70 解题技巧 解决复数充分必要条件问题的关键是： 1、熟记核心表：将上表的核心关系，特别是“纯虚数”和“实数”的条件，作为解题的出发点； 2.固化解题步骤：严格遵循“标准化 翻译 逻辑判断”三步法，避免跳跃思维 3.针对性练习：重点练习含“纯虚数”和“复数运算”的充要条件判断题，这是高频考点和难点 71 【变式1】(23-24高二上·江苏南京·期末)是复数 为实数( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 72 【分析】由复数的定义判断其充分性、必要性即可. 【详解】充分性：若，则为实数， 故充分性成立； 必要性：若为实数，则， 解得或，故必要性不成立； 所以是复数为实数的充分而不必要条件. 故选： 73 $