数学期末复习讲义（集合）-2025-2026学年高一上学期《期末考点大串讲》(1)

2025-2026学年 高一上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义集合 1 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能判断出所给元素与集合间的关系；能根据元素与集合间的关系求参数 必考考点，单纯判断元素与集合间的关系，在职 教高考中一般出现在选择题第1题；根据元素与 集合间的关系求参数较难，要出的话题号靠后 2 集合元素的 三大特性 能从元素的互异性、确定性、无 序性理解集合，能利用元素的互 异性确定参数 高频易错点，常出现在选择题、填空题中， 常因忽略元素的互异性导致求解错误 集合及其表 示 能正确认清描述法集合元素 基础考点，常出现在选择题、填空题中，注 意点集形式 集合之间的 关系 能判断两个集合的包含或相关关 系；能根据集合间的包含或相等 关系求参数 重难必考点，判断两个集合的包含或相关关 系常出现选择题中，根据集合间的包含或相 等关系求参数出现在解答题中 3 集合的运算 能正确进行集合的交、并、补运 算：能根据集合运算的结果求参数 的取值范围 重难必考点， 集合的交、并、补运算常出现选择 题中，根据集合运算的结果求参数的取值范围出现在解答题中 4 第1章集合 5 知识点1 元素与集合的概念 6 集合： 一般地，由某些确定的对象组成的整体，简称为集 元素： 构成集合的对象 7 知识点2 集合的元素特征 8 特征 含义 举例 确定性 给定一个集合，那么任何一个元素在不 在这个集合中就确定了 “街上的高个子”中因为高个子没有明确 的标准，故“高个子”不能组成集合 互异性 一个集合中的元素是互不相同的，即集 合中的元素是不重复出现的 集合，就意味 无序性 集合中的元素无顺序，可以任意排列、 调换 高一(1)班每周都换座位也改变不了它是 (1)班的事实 9 知识点3 元素与集合的关系 10 若是集合的元素，则称属于集合，记作； 若不是集合的元素，则称不属于集合，记作 11 知识点4 常用数集 12 数集 符号表示 含义 举例 自然数 集 N 非负整数全体构成的集合，叫自然数集。 正整数 集 (或N 自然数集排除0的集合，或正整数构成的集 合。 整数集 Z 整数全体构成的集合，叫整数集。 有理数 集 Q 有理数全体构成的集合，叫有理数集。 实数集 R 实数全体构成的集合，叫实数集。 空集 把不含任何元素的集合，叫做空集。 如方程的实数 解 13 注意： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两(多个)集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关(互异性)，与形式无关(数集中与表示 数的范围的字母无关) 知识点5 集合的类 15 元素个数分类 含义 举例 有限集 集合中含有的元素个数是有限的 无限集 集合中含有的元素个数是无限的 空集 不含任何元素的集合 方程的实数解 16 知识点6 集合的表示方法 17 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 方法：在花括号{ }内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式： 注意事项： 方程的解，即 不等式的解集，即 ； 函数的定义域，即； 函的值域，即； 函数的图像点构成的集合. 图示法 图表示集合 18 知识点7 集合间的基本关系 19 表示关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 (则) 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集 20 结论：当集合A中元素有个，子集个数有个，真子集个数有个， 非空真子集个数有个； 规定：空集是任何集合的子集 知识点8 集合的基本运算 22 1.集合的交、并、补运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 概念 由所有属于集合A或属于 集合B的元素所组成的集 合，称为集合A与B的并集 由属于集合A且属于集合B 的元素所组成的集合，称 为集合A与B的交集 对于集合A，由全集U中不属 于集合A的所有元素组成的集 合，称为集合A相对于全集U 的补集 记号 (读作:A并B) (读作:A交B) (读作:A的补集) 符号语 言 图形语 言 23 2.集合运算中的常用二级结论 (1)并集的性质：；；； (2)交集的性质：；；； (3)补集的性质：；； ； 24 一、单选题 1.(23-24高三上·广东深圳·期末)下列集合为有限集的是( ). B A.面积为8 的四边形 B.不等式 的正整数解集 C.方程的实数解 D.大于 3 的自然数 【答案】B 25 【分析】根据有限集的定义求解即可. 【详解】选项 A：面积为8的四边形有无数种形状，如不同边长的平行四边形、 梯形等，是无限集. 选项 B：不等式的正整数解为，数量有限，是有限集. 选项 C：方程的实数解有无数组(如等)， 是无限集. 选项 D：大于3的自然数有无数个，是无限集. 故选： 26 2.(24-25高一上·四川·期末)下列说法正确的是( ) D A.与表示不同一集合 B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，结合相等集合、元素与集合之间的关系、集合与集合之间的 关系，即可判断求解. 27 【详解】根据相等集合的定义，可得与 表示同一集合，故选项A错误； 因为空集中不含任何元素，故，故选项B错误； 因为集合 中含有一个元素0，而空集中不含元素，且空集是任一非空集合的真 子集， 故 ，故选项C错误； 根据真子集的定义，可得 ，故选项D正确； 故选： 28 3.(24-25高一上·广西·期中)下列结论中，正确的是( ) B A.是空集 B. 是空集 C.和是不同的集合 D.方程的解集是 【答案】B 29 【分析】根据集合的概念和空集的定义即可求解. 【详解】选项A中，空集是不包含任何元素的集合，通常用符号表示， 的元 素个数为1，故错误； 选项B中，方程无解，所以 是空集，故正确； 选项C中，在集合中，元素的顺序并不重要，只要两个集合包含相同的元素，它 们就是相同的集合，和 是相同的集合，故错误； 选项D中，由集合中元素的互异性，方程的解集为 ，故错误； 故选： 30 4.(24-25高一上·四川·期末)集合 的子集个数是( ) A A.8 B.7 C.6 D.3 【答案】A 【分析】根据题意，结合子集的定义及集合中元素的个数，即可求解. 【详解】因为集合 中含有3个元素， 所以集合A的子集的个数为个. 故选： 31 5.(22-23高一下·新疆伊犁·期末)集合， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】集合， ，则 故选： 32 6.(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知集合 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据常用数集的定义结合集合的并运算即可求解. 【详解】由题意得，集合 ， ， 所以 故选： 33 7.(23-24高三上·广东深圳·期末)设全集为，集合，则是 ( ). B A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】全集为，集合 ，则 故选： 34 二、填空题 8.(24-25高一上·甘肃武威·期末)设，，则 ________ 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】已知， ， 则 ， 故答案为： 35 9.(24-25高一下·甘肃酒泉·期末)已知集合是自然数且 ， ，则______________. 【分析】由集合的并集运算即可得解. 【详解】因为集合 ， 所以,又 ， 所以 故答案为： 36 10.(24-25高一上·山西晋中·期末)已知集合 ， 则__________. 【分析】由集合的交集和并集的定义进行运算即可. 【详解】因为集合 ， 所以， 故答案为： 37 题型一 集合的基本概念 【典例】(23-24高三上·广东深圳·期末)下列不能构成集合的是( ). D A.某班的全体同学 B.数轴上所有的点 C.中国2024年法定放假的节日 D.世界上国土面积辽阔的国家 【分析】根据集合的定义逐项判断即可得解. 38 【详解】某班的全体同学，标准明确，可以构成集合，故A不符合题意； 数轴上所有的点，标准明确，可以构成集合，故B不符合题意； 中国2024年法定放假的节日，标准明确，可以构成集合，故C不符合题意； 世界上国土面积辽阔的国家，标准不明确，构不成集合，故D符合题意， 故选：D. 解题技巧 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无 疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不 能构成集合. 2.判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元 素满足互异性. 39 【变式】(24-25高三上·江西宜春·期末)下列选项能组成集合的是( ) D A.美丽的蝴蝶 B.接近1的数 C.某班本学期视力较差的同学 D.大于的负数 【分析】根据集合的定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，美丽的蝴蝶，标准不确定，故不能构成集合，A选项错误； 对于B，接近1的数，标准不确定，故不能构成集合，B选项错误； 对于C，某班本学期视力较差的同学，标准不确定，故不能构成集合，C选项错 误； 对于D，大于的负数，标准确定，能构成集合，D选项正确； 故选：D. 40 题型二 元素与集合的关系 【典例】(24-25高二下·山东菏泽·期末)下列关系式中，正确的个数是( ) ①；②；③；④；⑤；⑥ C A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断即可求解. 【详解】由题可知 ，所以②⑤正确， 正确的有2个. 故选： 41 解题技巧 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元 素的共同特征.(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、表示的数集. 2.解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化 为比较熟悉的问题解决. 3. 解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后 将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性. 42 【变式】(24-25高一上·湖北襄阳·期末)已知集合，，则 的值为( ) D A.5 B.2 C. D.5或 【分析】已知，可得或，解得的值. 【详解】已知集合，， 可得或， 所以或 故选： 43 题型三 集合与集合的关系 【典例1】(24-25高二下·山东菏泽·期末)集合且 的真子集 的个数是( ) B A.8 B.7 C.4 D.3. 【分析】根据真子集的个数为(表示集合中元素的个数)进行计算即可. 【详解】因为集合且 ， 集合有3个元素，所以真子集的个数为个. 故选： 44 【典例2】(22-23高一上·浙江杭州·期末)已知集合，集合 ， 若，则 ( ) A A.1 B.0 C.3 D.0或1 【分析】利用集合的包含关系即可得解. 【详解】因为，，， 所以，则 故选： 45 【典例3】(24-25高二下·山东菏泽·期末)设集合 ，若集合A 和集合B中元素都相同，则 ( ) B A.0 B.1 C.2 D. 【分析】根据集合中的元素相等，则元素一一对应相等即可，再结合元素的互异 性求解即可. 46 【详解】因为集合 ，且集合A和集合B中元素都相同， 所以当时，则有，此时 不满足元素的互异性， 当时，则有，解得或 (舍)， 此时 满足题意， 所以 故选： 47 解题技巧 1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 ______________________________________________________________________________________ 48 2.若集合A中有N个元素，则集合A有个子集，有-1)个真子集，有-1)个非空 子集，有-2)个非空真子集. (2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：和自身.其次，依次按含有1个 元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，，一一写出，保证不重不漏. 3. 解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后 将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性. 49 【变式1】(24-25高二下·广东·期末)已知集合， ，则 下列选项正确的是( ) B A. B. C. D. 【分析】根据交集与并集的概念结合集合之间的符号表示逐项分析即可. 【详解】已知集合， ， 则 ，故B正确， 且，所以，故A错误， 且，故CD错误. 故选： 50 【变式2】(21-22高一上·浙江金华·期末)符合关系式 的集合 M的个数为( ) D A.6 B.5 C.4 D.3 【分析】由包含与真包含的概念可知，集合的个数，等同于集合 的真子 集的个数，由此即可解答. 51 【详解】已知 ， 则集合中必有元素，因为 ， 所以集合的个数，等同于集合 的真子集的个数， 因为集合的真子集的个数为个， 所以集合M的个数为3个， 故选： 52 【变式3】(24-25高一上·湖北·期末)若集合，，且， 则实数的值为( ) D A.0 B.1 C.1或3 D.3 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】因为集合的元素有，集合的元素有， 又因为，所以两集合的元素相同， 所以，即 故选： 53 题型四 集合间运算 【典例1】(23-24高三上·广东深圳·期末)已知集合 ，集合 ，则( ). D A. B. C. D. 【分析】根据交集的概念与并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则 ，所以B，C错误， ，所以A错误，D正确， 故选： 54 【典例2】(23-24高一上·广东梅州·期中)已知全集，集合或 ，或，则集合 ( ) C A. B. C. D.或 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合或 ， 所以 ； 又因为或 ， 所以 故选：C 55 【典例3】(24-25高一上·新疆喀什·期末)已知集合 ，集合 ，那么 ( ) A A.R B. C. D. 【分析】根据并集的概念及运算可求解. 【详解】由题可知， 故选：A 解题技巧 56 1.并集运算应注意的问题 (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集，然后将集合化 简，再按定义求解. (2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个. (3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能 否取到. 解题技巧 57 2.求集合的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么. ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“”的形式. ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为 58 (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代 表元素是有序数对，则是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集. ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心 点表示，不含有端点的值用空心点表示. 3. 求集合交、并、补运算的方法 59 3. 求集合交、并、补运算的方法 60 【变式1】(23-24高一上·浙江杭州·期末)设全集， ，则 ( ) A A. B. C. D. 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】全集，，则 ， 故选：A. 61 【变式2】(17-18高一上·新疆喀什·期末)已知全集 ，则 ( ) A A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集 ， 所以，所以 故选： 62 【变式3】(19-20高一上·浙江·期末)若集合， ， 则等于( ) C A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用集合的交并补运算，结合区间的表示即可得解. 【详解】因为，所以 ， 又，所以 故选： 63 题型五 由集合的关系求参数 【典例1】(24-25高一上·河北石家庄·期末)设集合 ， (1)当时，求； 【答案】(1) (2)若，求实数的取值范围. (2) 64 【分析】(1)根据交集的概念计算即可； (2)根据交集的结果可得集合A与集合B之间的关系，再由集合B是否为空集由包 含关系即可得解. 【详解】(1)当时，集合为 ， 且集合，所以 65 (2)若，则，可得： 时，，解得； 时，则， 所以，解得，所以， 所以综上可得，即 66 解题技巧 1.已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子 集是否为空集. 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互 异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分 类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到. 67 2. 利用交、并集运算求参数的思路 (1)涉及或A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求 解，要注意空集的特殊性. (2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察 法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则 可利用数轴得到不同集合之间的关系. 68 【变式1】(24-25高一上·山东菏泽·期末)已知集合 ，集合 ，集合 ，求： (1)； 【答案】 ； 【分析】根据交集和并集的概念即可求解. 【详解】因为集合，集合 ， 所以 69 (2)若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合与集合之间的关系结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为集合，集合，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为 70 $