情境专项训练08：数学广角——数与形（期末真题专练）六年级数学上册（人教版）

六年级数学上册期末复习（人教版） 情境卷08：数学广角——数与形（期末真题专练） 一、选择题 1．（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（     ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 2．（24-25六年级上·河北沧州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（     ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64 3．（24-25六年级上·广东东莞·期末）照下图中的方法继续摆圆片，摆到第5个图案时，需要（     ）个圆片。 A．11 B．14 C．17 D．20 4．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、…中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第6个数据，这个数据为（     ）。 A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25六年级上·河北承德·期末）将一个圆进行分割（如图所示），每次分割的面积占比排成数列为，这一列数中第7个数是（ ）。 6．（24-25六年级上·广东东莞·期末）赵芳是个勤于观察，善于思考的好孩子，她通过数形结合（下图），发现了“求两个连续自然数的平方的差”的规律。 请你根据赵芳发现的规律，直接写出下面算式的结果： （ ）；（ ）。 7．（24-25六年级上·北京房山·期末）小明正在帮助他的爸爸进行家庭装修。他们需要将一些木板按照下面的规律拼接在一起（如下图），以覆盖一个长条形的区域。每块木板长10厘米，把9块这样的木板粘在一起，长（ ）厘米。（重叠部分均为2厘米） 8．（24-25六年级上·新疆喀什·期末）由下图可以看出，每多搭一个三角形，就要增加（ ）根小棒，照这样搭下去，第8个图形一共需要（ ）根小棒。 9．（24-25六年级上·河南开封·期末）下面是用棋子摆成的“Z”，根据规律，摆第6个“Z”要用（ ）个棋子，用32个棋子摆成的是第（ ）个“Z”。 10．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）数形结合是一种重要的数学思想。认真观察下边的图形，数字是3时，图中共有4个点；数字是13时，图中共有（ ）个点；数字是99时，图中共有（ ）个点。 11．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）如图，按这样的规律，第6幅图对应的分数是（ ），是第（ ）幅图对应的分数，第（ ）幅图中涂色部分周长是大正方形的 12．（24-25六年级上·四川凉山·期末）古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，将“数”排列成三角形、正方形等美丽的图形。如下图，排列成三角形的数叫作三角形数。照这样排列下去，第8个图形所表示的数是（ ）。 13．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）活动课上，同学们合作用白色和灰色的圆片按照下面的方法摆图形。照这样摆下去，第6个图形中，一共有（ ）个圆片；当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有（ ）个。 14．（24-25六年级上·江西赣州·期末）如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下（ ）人；要想坐下38人，至少需要（ ）张这样的桌子拼起来。 15．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如下图，用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要（ ）根小棒，摆n个正五边形需要（ ）根小棒。 16．（24-25六年级上·广东韶关·期末）如图，拼一个三角形用3根小棒，拼2个三角形用5根小棒，拼3个三角形用（ ）根小棒，拼10个三角形用（ ）根小棒，拼n个三角形用（ ）根小棒。 17．（24-25六年级上·广东东莞·期末）如图，3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的高24厘米。9个这样的杯子叠起来高度是（ ）厘米。个这样的杯子叠在一起的高度是（ ）厘米。 18．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）乐乐用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要（ ）根小棒，第n个图形需要（ ）根小棒。 19．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）用边长为1cm的小三角形按图中的方式接着摆图形，摆第5个图形需要（ ）个小三角形，第9个图形的周长是（ ）cm，第n个图形的周长是（ ）cm。 20．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有（ ）个数字，倒数第2个数字是（ ）。 21．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。用大小相同的正方形卡纸摆成如图所示图案，照这样的规律摆放，第⑥个图案有（ ）个小正方形。 22．（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）下图是北京天坛圜丘坛的最上层图，最上层中心有一块圆形石板（叫天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板铺成第1环，又围绕第1环增加9块铺成第2环，这样向外每环依次增加9块。第5环有（ ）块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了（ ）块扇面形石板。 23．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）如图，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是（ ）cm，（ ）个三角形组成的图形周长是81cm。 24．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）《庄子・天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第（ ）天取得的长度是尺。 25．（24-25六年级上·湖北宜昌·期末）六年级进行足球比赛，每两个班之间比一场。淘气尝试用画图的方法解决比赛场次问题，下图表示（ ）个班的比赛场次，若再增加一个班，将增加（ ）场比赛。 26．（24-25六年级上·福建莆田·期末）观察下面的点群，请回答问题。 （1）第（ ）个点群中包含25个点。 （2）第个点群中包含（ ）个点。 27．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有（ ）个黑色三角形和（ ）白色三角形，第8个图形有（ ）个黑色三角形和（ ）白色三角形。 28．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到（ ）个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为（ ）平方厘米。 第1幅          第2幅      第3幅        第4幅 三、解答题 29．（24-25六年级上·湖北随州·期末）小明带着一只狗在马路边散步，这条马路长800米，小明和狗都以匀速向前走。当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，然后小狗又返回与小明相向而行，遇到小明后又跑向终点，到达终点后再与小明相向而行……直到小明到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 30．（24-25六年级·广东梅州·期末）图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学上册期末复习（人教版） 情境卷08：数学广角——数与形（期末真题专练） 一、选择题 1．（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（     ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 【答案】B 【分析】看图第1个图形用了（1×4）根小棒，第2个图形用了（2×6）根小棒，第3个图形用了（3×8）根小棒。其中，第几个图形第1个因数就是几。第2个因数分别是4、6、8……每次加2，那么第8个图形加了7次2，即第8个图形的第2个因数是（4＋2×7）。据此解题。 【详解】8×（4＋2×7） ＝8×（4＋14） ＝8×18 ＝144（根） 所以，第8个图形中一共用了144根小棒。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·河北沧州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（     ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64 【答案】B 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49……＝，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项分析解答。 【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是“正方形数”，9和16不是“三角形数”，不符合题意； B．36＝15＋21；36＝62，是“正方形数”，15和21是“三角形数”，符合题意； C．49＝18＋31；49＝72，是“正方形数”，18和31不是“三角形数”，不符合题意； D．100＝36＋64；100＝102，是“正方形数”，36和64不是“三角形数”，不符合题意。 符合这一规律的是36＝15＋21。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·广东东莞·期末）照下图中的方法继续摆圆片，摆到第5个图案时，需要（     ）个圆片。 A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】C 【分析】第1个图案需要5个圆片，可以写成：3×1＋2； 第2个图案需要8个圆片，可以写成：3×2＋2； 第3个图案需要11个圆片，可以写成：3×3＋2； …… 由此可知，第n个图案需要（3n＋2）个圆片，据此求出第5个图案需要圆片的个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要（3n＋2）个圆片； 第5个图案需要圆片： 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 摆到第5个图案时，需要17个圆片。 故答案为：C 4．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、…中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第6个数据，这个数据为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察所给数据的分子，可得：9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，可以发现分子是从3开始的连续自然数的平方，3－1＝2，即第n个数据的分子为（n＋2）2。分母依次为5＝32－4，12＝42－4，21＝52－4，32＝62－4，可以发现分母是从3开始的连续自然数的平方减4，即第n个数据的分母为（n＋2）2－4。当n＝6时，分子为（6＋2）2＝82＝64，分母为（6＋2）2－4＝64－4＝60，所以第6个数据为。 【详解】由分析可知： 3－1＝2 第n个数据的分子：（n＋2）2 第n个数据的分母：（n＋2）2－4 当n＝6时； 分子： （6＋2）2 ＝82 ＝64 分母： （6＋2）2－4 ＝82－4 ＝64－4 ＝60 所以第6个数据为。 故答案为：C 二、填空题 5．（24-25六年级上·河北承德·期末）将一个圆进行分割（如图所示），每次分割的面积占比排成数列为，这一列数中第7个数是（ ）。 【答案】 【分析】给出的数依次是、、、……观察数列找规律：分子始终为1，分母的规律是后一个数＝前一个数×2；按分母递推规律：从第1个数的分母2开始，依次乘2，推到第7个数的分母（2连续乘6次，得到128）得出结果：分子保持1，分母为128，即第7个数是。据此解答。 【详解】根据分析，按规律递推找第7个数： 第1个数：分母2，即 第2个数：分母2×2＝4，即 第3个数：分母4×2＝8，即 第4个数：分母8×2＝16，即 第5个数：分母16×2＝32，即 第6个数：分母32×2＝64，即 第7个数：分母64×2＝128，即 所以这一列数中第7个数是。 6．（24-25六年级上·广东东莞·期末）赵芳是个勤于观察，善于思考的好孩子，她通过数形结合（下图），发现了“求两个连续自然数的平方的差”的规律。 请你根据赵芳发现的规律，直接写出下面算式的结果： （ ）；（ ）。 【答案】 11 4047 【分析】观察赵芳发现的规律，可知两个连续自然数的平方差就等于这两个连续自然数的和，据此进行计算。 【详解】由分析可得： 6＋5＝11 2024＋2023＝4047 7．（24-25六年级上·北京房山·期末）小明正在帮助他的爸爸进行家庭装修。他们需要将一些木板按照下面的规律拼接在一起（如下图），以覆盖一个长条形的区域。每块木板长10厘米，把9块这样的木板粘在一起，长（ ）厘米。（重叠部分均为2厘米） 【答案】74 【分析】1块木板长10厘米，10＝1×10－（1－1）×2；2块木板长18厘米，16＝2×10－（2－1）×2；3块木板长26厘米，26＝3×10－（3－1）×2…由此可知，总长度＝几块木板就用几×10－（几－1）×2，据此列式计算。 【详解】9×10－（9－1）×2 ＝90－8×2 ＝90－16 ＝74（厘米） 把9块这样的木板粘在一起，长74厘米。 8．（24-25六年级上·新疆喀什·期末）由下图可以看出，每多搭一个三角形，就要增加（ ）根小棒，照这样搭下去，第8个图形一共需要（ ）根小棒。 【答案】 2 17 【分析】由图可知，第1个三角形用3根小棒，后续每增加2根小棒就可以多1个三角形；第8个图形，在第1个三角形的基础上，再增加（8－1）组2根的小棒；据此解答。 【详解】由图可知： 第②个图形：（3＋2）根小棒 第③个图形：（3＋2＋2）根小棒 第④个图形：（3＋2＋2＋2）根小棒 则第n个图形：3＋2×（n－1）＝3＋2n－2×1＝3＋2n－2＝2n＋3－2＝2n＋（3－2）＝（2n＋1）根小棒 则第8个图形：2×8＋1＝16＋1＝17（根） 所以每多搭一个三角形，就要增加2根小棒，照这样搭下去，第8个图形一共需要17根小棒。 9．（24-25六年级上·河南开封·期末）下面是用棋子摆成的“Z”，根据规律，摆第6个“Z”要用（ ）个棋子，用32个棋子摆成的是第（ ）个“Z”。 【答案】 20 10 【分析】看图可知，第1个用了（3×1＋2）个棋子，第2个用了（3×2＋2）个棋子，第3个用了（3×3＋2）个棋子，第4个用了（3×4＋2）个棋子。那么第6个需要用（3×6＋2）个棋子，第n个需要（3n＋2）个棋子。令3n＋2＝32，解出n，即可求出用32个棋子摆成的是第几个“Z”。 【详解】3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 解：设用32个棋子摆成的是第n个“Z”。 3n＋2＝32 3n＋2－2＝32－2 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 所以，摆第6个“Z”要用20个棋子，用32个棋子摆成的是第10个“Z”。 10．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）数形结合是一种重要的数学思想。认真观察下边的图形，数字是3时，图中共有4个点；数字是13时，图中共有（ ）个点；数字是99时，图中共有（ ）个点。 【答案】 49 2500 【分析】观察图形可知： 数字是1时，共有1个点，1＝12； 数字是3时，共有4个点，4＝1＋3＝22； 数字是5时，共有9个点，9＝1＋3＋5＝32； 数字是7时，共有16个点，16＝1＋3＋5＋7＝42； …… 发现规律：数字是奇数，数字是几，就从奇数1开始加到这个数，加数按连续奇数排序，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”，即可求出图中点的个数。 【详解】数字是13时，共有点： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝72 ＝49（个） 当数字是99时，共有点： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋99 ＝502 ＝2500（个） 填空如下： 数字是13时，图中共有（49）个点；数字是99时，图中共有（2500）个点。 11．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）如图，按这样的规律，第6幅图对应的分数是（ ），是第（ ）幅图对应的分数，第（ ）幅图中涂色部分周长是大正方形的 【答案】 9 100 【分析】观察图形可知，第1幅图对应的数是，第2幅图对应的数是，第3幅图对应的数是……，因此第6幅图对应的数是，把化成，所以是第9幅图对应的分数，观察第一幅图的阴影部分的周长是大正方形周长的，第二幅图的阴影部分的周长是大正方形周长的，第三幅图的阴影部分的周长是大正方形周长的，……第n幅图的阴影部分的周长是大正方形周长的，所以第100幅图中涂色部分周长是大正方形的 【详解】由分析可知：第6幅图对应的分数是＝ ＝，所以是第9幅图对应的分数 第100幅图中涂色部分周长是大正方形的 12．（24-25六年级上·四川凉山·期末）古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，将“数”排列成三角形、正方形等美丽的图形。如下图，排列成三角形的数叫作三角形数。照这样排列下去，第8个图形所表示的数是（ ）。 【答案】36 【分析】根据题意，第一个图形有1个点，表示1；第二个图形有3个点，表示3，可以写成：1＋2＝3；第三个图形有6个点，表示6，可以写成：1＋2＋3＝6；第四个图形有10个点，表示10，可以写成：1＋2＋3＋4＝10；由此可知，第n个图形有（1＋2＋3＋＋n）个点，表示（1＋2＋3＋＋n），由此当n＝8时，把8代入算式计算即可。 【详解】根据分析可知，第n个图形有（1＋2＋3＋＋n）个点。 当n＝8时，表示的数是： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，将“数”排列成三角形、正方形等美丽的图形。如下图，排列成三角形的数叫作三角形数。照这样排列下去，第8个图形所表示的数是36。 13．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）活动课上，同学们合作用白色和灰色的圆片按照下面的方法摆图形。照这样摆下去，第6个图形中，一共有（ ）个圆片；当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有（ ）个。 【答案】 36 56 【分析】通过观察图可知： 第1个图形：一共有（1×1）个圆片，有0个灰色圆片； 第2个图形：一共有（2×2）个圆片，有2个灰色圆片； 第3个图形：一共有（3×3）个圆片，有3个灰色圆片； 第4个图形：一共有（4×4）个圆片，有4个灰色圆片。 由此可以得出规律：第n个图形一共有（n×n）个圆片；从第二个图形开始，第几个图形就对应有几个灰色圆片，且每个图形的白色圆片个数等于一共有的圆片个数减去灰色圆片个数，据此解答。 【详解】由分析得： 6×6＝36（个） 第6个图形中，一共有36个圆片。 当一个图形中有8个灰色圆片时，说明这个图形是第8个图形。 8×8＝64（个） 64－8＝56（个） 即当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有56个。 14．（24-25六年级上·江西赣州·期末）如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下（ ）人；要想坐下38人，至少需要（ ）张这样的桌子拼起来。 【答案】 22 9 【分析】1张桌子可以坐6人，6＝1×4＋2；2张桌子拼起来可以坐10人，10＝2×4＋2…由此可知坐下的人数＝桌子数×4＋2；桌子数＝（坐下的人数－2）÷4，据此列式计算。 【详解】5×4＋2 ＝20＋2 ＝22（人） （38－2）÷4 ＝36÷4 ＝9（张） 5张这样的桌子拼起来能够坐下22人；要想坐下38人，至少需要9张这样的桌子拼起来。 15．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如下图，用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要（ ）根小棒，摆n个正五边形需要（ ）根小棒。 【答案】 41 4n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4×2）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4×3）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可。 【详解】5＋4×（10－1） ＝5＋4×9 ＝5＋36 ＝41（根） 5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要41根小棒，摆n个正五边形需要（4n＋1）根小棒。 16．（24-25六年级上·广东韶关·期末）如图，拼一个三角形用3根小棒，拼2个三角形用5根小棒，拼3个三角形用（ ）根小棒，拼10个三角形用（ ）根小棒，拼n个三角形用（ ）根小棒。 【答案】 7 21 1＋2n 【分析】观察图形可知：搭一个三角形需要3根小棒，每增加1个三角形，需要增加2根小棒，搭两个三角形需要（3＋2）根小棒，搭三个三角形需要（3＋2＋2）根小棒。将第一个三角形的3根小棒表示成（1＋2）根，则搭两个三角形表示成（1＋2＋2）根，搭三个三角形表示成（1＋2＋2＋2）根小棒，可知搭n个三角形需要（1＋2n）根小棒，据此即可解答问题。 【详解】拼3个三角形：3＋2＋2 ＝1＋2＋2＋2 ＝1＋（2＋2＋2） ＝1＋2×3 ＝7（根） 拼10个三角形： 1＋2×10 ＝1＋20 ＝21（根） 拼3个三角形用7根小棒，拼10个三角形用21根小棒，拼n个三角形用（1＋2n）根小棒。 17．（24-25六年级上·广东东莞·期末）如图，3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的高24厘米。9个这样的杯子叠起来高度是（ ）厘米。个这样的杯子叠在一起的高度是（ ）厘米。 【答案】 32 【分析】观察可知，20厘米的高度等于个杯口高度加1个杯子高度，24厘米等于个杯口高度加1个杯子高度，因为用24减20可得2个杯口高度，再除以2得1个杯口高度，再用20减乘1个杯口高度的积，得到1个杯子的高度。当9个杯子叠起来时会有个杯口高度加1个杯子高度，据此计算即可。个这样的杯子叠在一起的高度就可用1个杯口高度乘加1个杯子的高度，据此列式并化简解答。 【详解】 （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的高24厘米。9个这样的杯子叠起来高度是32厘米。个这样的杯子叠在一起的高度是或厘米。 18．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）乐乐用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要（ ）根小棒，第n个图形需要（ ）根小棒。 【答案】 26 5n＋1/1＋5n 【分析】第1个图形的小棒数为（5×1＋1）；第2个图形的小棒数为（5×2＋1）；第3个图形的小棒数为（5×3＋1），所以第5个图形的小棒数为（5×5＋1），第n个图形的小棒数为（5×n＋1），据此解答。 【详解】5×5＋1 ＝25＋1 ＝26（根） 5×n＋1 ＝5n＋1（根） 即第5个图形需要26根小棒，第n个图形需要（5n＋1）根小棒。 19．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）用边长为1cm的小三角形按图中的方式接着摆图形，摆第5个图形需要（ ）个小三角形，第9个图形的周长是（ ）cm，第n个图形的周长是（ ）cm。 【答案】 25 27 3n 【分析】观察图形可知：摆第1个图形需要1个小三角形，摆第2个图形需要4个小三角形，摆第3个图形需要9个小三角形，而1＝12，4＝22，9＝32，由此可得：小三角形的个数＝图形序数的平方，据此用5乘5即可求出摆第5个图形需要多少个小三角形。 第1个图形的周长是1×3＝3（cm），第2个图形的周长是2×3＝6（cm），第3个图形的周长是3×3＝9（cm），由此可得：图形的周长＝图形的序数×3，据此求出第9个和第n个图形的周长。 【详解】通过分析可得：小三角形的个数＝图形序数的平方 图形的周长＝图形的序数×3 52＝25（个），则摆第5个图形需要25个小三角形； 9×3＝27（cm），则第9个图形的周长是27cm，第n个图形的周长是3ncm。 20．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有（ ）个数字，倒数第2个数字是（ ）。 【答案】 2024 2023 【分析】观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，如图，第2024行的倒数第2个数字上方右侧的数是1，据此确定第2024行的倒数第2个数字。 【详解】2024－1＝2023 仔细观察规律，从上到下，第2024行有2024个数字，倒数第2个数字是2023。 21．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。用大小相同的正方形卡纸摆成如图所示图案，照这样的规律摆放，第⑥个图案有（ ）个小正方形。 【答案】42 【分析】注意观察前四个图形中小正方形个数可以发现分别为：2，6，12，20，每个图中小正方形的个数是这个图形的长和宽的乘积得数（每个图的长都比宽多1），所以可得小正方形的个数S与第n个图之间的关系用字母表示为：S＝n×（n＋1），据此解答即可。 【详解】第①个图形有2＝1×2个小正方形； 第②个图形有6＝2×3个小正方形； 第③个图形有12＝3×4个小正方形； 第④个图形有20＝4×5个小正方形； 第⑤个图形有5×6＝30个小正方形； …… 第n个图形有n×（n＋1）个小正方形； 因此第⑥个图形有6×7＝42个小正方形。 所以，照这样的规律摆放，第⑥个图案有42个小正方形。 22．（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）下图是北京天坛圜丘坛的最上层图，最上层中心有一块圆形石板（叫天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板铺成第1环，又围绕第1环增加9块铺成第2环，这样向外每环依次增加9块。第5环有（ ）块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了（ ）块扇面形石板。 【答案】 45 405 【分析】由题意可知， 第一环有9块石板； 第二环有9×2＝18块石板； 第三环有9×3＝27块石板； …… 第n环有9×n＝9n块石板； 要求第5环有多少块石板，把n＝5代入9n即可； 要求铺了9环，一共铺了多少块扇面形石板，用加法一层层加即可解答。 【详解】第5环有：5×9＝45（块） 9＋9×2＋9×3＋9×4＋9×5＋9×6＋9×7＋9×8＋9×9 ＝9＋18＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝27＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝54＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝90＋45＋54＋63＋72＋81 ＝135＋54＋63＋72＋81 ＝189＋63＋72＋81 ＝252＋72＋81 ＝324＋81 ＝405（块） 所以，第5环有45块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了405块扇面形石板。 23．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）如图，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是（ ）cm，（ ）个三角形组成的图形周长是81cm。 【答案】 7 79 【分析】如图所示的这种“首尾相接”的拼法中，每添加一个三角形（与已有图形共享一条边）时，周长只增加1 cm，则 1个三角形组成的图形周长是3cm， 2个三角形组成的图形周长是4cm， 3个三角形组成的图形周长是5cm， 4个三角形组成的图形周长是6cm， 5个三角形组成的图形周长是7cm， …… n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm。 【详解】根据分析可知：n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm， 所以，5 个三角形的周长是：  2＋5＝7（厘米）； 又因周长是 81 cm，则2 ＋ n ＝ 81，解得n＝81－2＝79， 所以，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是7cm，79个三角形组成的图形周长是81cm。 24．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）《庄子・天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第（ ）天取得的长度是尺。 【答案】5 【分析】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，那么第n天取得的长度是尺（n为正整数）。已知取得的长度是尺，而，所以n＝5，即第5天取得的长度是尺。 【详解】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，第n天取得的长度是尺（n为正整数）。 所以n＝5； 第5天取得的长度是尺。 25．（24-25六年级上·湖北宜昌·期末）六年级进行足球比赛，每两个班之间比一场。淘气尝试用画图的方法解决比赛场次问题，下图表示（ ）个班的比赛场次，若再增加一个班，将增加（ ）场比赛。 【答案】 5 5 【分析】①每两个班之间比一场，所以最少是2个班才能进行比赛，那么2个班比赛1场，3个班比赛3场，4个班比赛6场，5个班比赛10场（如下图所示，每两个班之间的比赛用一条弧线连接）；所以图中每一个点表示一个班，共5个点即有5个班进行比赛。 ②2个班比赛：1场； 3个班比赛：3场，可以写成3＝1＋2； 4个班比赛：6场，可以写成6＝1＋2＋3； 5个班比赛：10场，可以写成10＝1＋2＋3＋4； …… 所以可知，每增加一个班，增加的比赛场数是：比赛班级数－1； 所以增加一个班即有6个班比赛时，会增加比赛场数为：6－1＝5（场）。 【详解】图中每一个点表示一个班，共5个点即有5个班进行比赛； 5＋1－1 ＝6－1 ＝5（场） 即再增加一个班，将增加5场比赛。 六年级进行足球比赛，每两个班之间比一场。淘气尝试用画图的方法解决比赛场次问题，图中表示5个班的比赛场次，若再增加一个班，将增加5场比赛。 26．（24-25六年级上·福建莆田·期末）观察下面的点群，请回答问题。 （1）第（ ）个点群中包含25个点。 （2）第个点群中包含（ ）个点。 【答案】（1）7 （2）4n－3 【分析】从点群中发现规律，第1个点群有1个点，第2个点群有5个点，是1＋4，第3个点群有9个点，是1＋4＋4，第4个点群有13个点，是1＋4＋4＋4，由此可发现第n个点群有1＋（n－1）×4，也就是4n－3，依此解答。 【详解】（1）根据分析，第n个点群有1＋（n－1）×4， 1＋（n－1）×4 ＝1＋4n－4 ＝4n－3 点群中包含25个点也就是： 4n－3＝25 4n－3＋3＝25＋3 4n＝28 4n÷4＝28÷4 n＝7 所以第7个点群中包含25个点。 （2）第个点群中包含4n－3个点。 27．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有（ ）个黑色三角形和（ ）白色三角形，第8个图形有（ ）个黑色三角形和（ ）白色三角形。 【答案】 10 15 36 45 【分析】先观察前3个图形中黑、白三角形的数量，总结规律： 黑色三角形：第1个图形1个（1），第2个3个（1＋2），第3个6个（1＋2＋3），可推出第n个图形的黑色三角形数量是前n个自然数的和，公式为； 白色三角形：第1个图形3个（1＋2），第2个6个（1＋2＋3），第3个10个（1＋2＋3＋4），可推出第n个图形的白色三角形数量是前n＋1个自然数的和，公式为。再代入n＝4和n＝8，计算对应数量。 【详解】第4个图形： 黑色三角形： 白色三角形： ＝15 第8个图形： 黑色三角形： ＝36 白色三角形： 故第4个图形有10个黑色三角形和15个白色三角形，第8个图形有36个黑色三角形和45个白色三角形。 28．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到（ ）个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为（ ）平方厘米。 第1幅             第2幅           第3幅          第4幅 【答案】 4n－4 6.28 【分析】由图可知，第1幅图形有1个正方形，0个直角三角形； 第2幅图形有2个正方形，有（4×1）个直角三角形； 第3幅图形有3个正方形，有（4×2）个直角三角形； 第4幅图形有4个正方形，有（4×3）个直角三角形 …… 以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4（n－1）个直角三角形。 从图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知：最大正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2＝8倍。最大正方形的面积是8×8＝64平方厘米，最小正方形的面积就是64÷8＝8平方厘米。又知：最小正方形的边长＝圆的直径，那么最小正方形的面积＝8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2，r2＝8÷4＝2。因此第4幅图中圆的面积为2×3.14＝6.28平方厘米。 【详解】由分析可得： 画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 8×8÷（2×2×2） ＝8×8÷8 ＝8（平方厘米） 8＝（2r）2 ＝（2r）×（2r） ＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 画n个正方形能得到12个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为6.28平方厘米。 三、解答题 29．（24-25六年级上·湖北随州·期末）小明带着一只狗在马路边散步，这条马路长800米，小明和狗都以匀速向前走。当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，然后小狗又返回与小明相向而行，遇到小明后又跑向终点，到达终点后再与小明相向而行……直到小明到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 【答案】1600米 【分析】根据题意，当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，说明小狗的速度是小明的2倍。因为小明和狗都以各自的速度匀速行走，所以在相同的时间内，小狗跑的路程是小明的2倍。小明到达终点时走了800米，则小狗跑了（800×2）米。 【详解】800×2＝1600（米） 答：小狗从出发开始，一共跑了1600米。 30．（24-25六年级·广东梅州·期末）图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 【答案】（1）91个 （2）420平方厘米 【分析】（1）第1个图中有1个棱长为1厘米的小正方体，第2个图中有（1＋4）个棱长为1厘米的小正方体，第3个图中有（1＋4＋9）个棱长为1厘米的小正方体，第n个图中有（1＋4＋9＋…＋n2）个棱长为1厘米的小正方体，由此解答本题； （2）第1个图形的表面积是棱长是1厘米的正方体的表面积，第2个图形的表面积是长、宽都是（1×2）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上4个边长是1厘米的正方形的面积，第3个图形的表面积是长、宽都是（1×3）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上（4×2＋4×1）个边长是1厘米的正方形的面积，第n个图形的表面积是长、宽都是（1×n）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上[4×（1＋2＋…n－1）]个边长是1厘米的正方形的面积，由此解答本题。 【详解】（1）1＋4＋9＋42＋52＋62 ＝1＋4＋9＋16＋25＋36 ＝91（个） 答：图⑥由91个棱长为1厘米的小正方体堆成。 （2）（10×1＋10×1＋10×10）×2＋4×（1＋2＋3＋…＋9）×（1×1） ＝（10＋10＋100）×2＋4×45×1 ＝120×2＋180 ＝240＋180 ＝420（平方厘米） 答：图⑩立体图形的表面积是420平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $