数学期末复习讲义（平面向量）-2025-2026学年高二上学期《期末考点大串讲》

2025-2026学年 高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义平面向量 1 核心考点 复习目标 考情规律 向量的概念 理解向量的有关概念及向量的几何表示 基础考点，一般出现在选择题中 共线向量、 相等向量 理解共线向量、相等向量的概念. 高频考点，各种题型皆有可能，基本每 年高考中均有考查 2 平面向量的 运算 理解并掌握向量加法、减法、数乖运算 的概念，能够利用向量的交换律和结合 律进行向量运算. 基础考点，一般单独考查较少，常出现 在考查其他知识点的步骤中 向量的数量 积 理解平面向量的数量积的定义 基础考点，各种题型皆有可能，封考查 对定义公式的运用 平面向量坐 标表示 理解向量坐标的概念，掌握两个向量 和、差、数乘的坐标运算法则 基础考点，一般单独考查较少，常出现 在考查其他知识点的步骤中 平面向量数 量积的坐标 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运 算；能够利用向量的数量积解决模长、 夹角等问题. 高频考点，是职高各种考试中出现最多 的考点，各种题型皆有可能，基本每年 高考中均有考查 3 第二章 平面向量 4 知识点1 平面向量的概念 5 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模 (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0 . (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量.规定：0与任 一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 6 知识点2 向量的线性运算 7 1.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 __________________________________ _____________________________________________ (1)交换律： ； (2)结合律： ( 三角形法则 平行四边形法则 8 减法 向量加上向量的相反向量叫做 与的差，即- - 三角形法则 9 数乘 实数与向量的积是一个向量， 记作 (1)模： ； (2)方向： 当时，与的方向相同 ； 当时，与的方向相反 ； 当时， 设是实数. (1) (2) (3) . 2.共线向量定理 向量(与共线，当且仅当存在唯一一个实数，使 . 10 知识点3 平面向量的基本定理 11 如果，是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数使____________. 不共线 12 知识点4 平面向量的坐标表示 13 1.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与____________________的两个单位向量，作为基底， 对任一向量，有唯一一对实数，使得：，______叫做向量的直 角坐标，记作，显然______，______. 轴，y轴正方向相同 14 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则________________， -_________________，__________，____________________. 2.平面向量的坐标运算 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则_________________， ___________________________. 15 4. 中点坐标公式 若的坐标分别是，线段的中点P的坐标为，则 此公式为线段的中点坐标公式. 3.向量共线的坐标表示 若，，则________________. 16 知识点5 平面向量的内积 17 1.向量的夹角 两个非零向量与，过O点作，，则_______叫做向量与的夹角； 范围是______. 与的夹角为__时，则与垂直，记作 18 2.平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与 的内积(或内积)，记作·，即·___________，规定零向量与任一向量的内积 为0，即 (2)几何意义：内积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 19 3.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量，为向量，的夹角. ①内积：·____________. ②模：____________________. ③设，则A，B两点间的距离 ④夹角：_____ ⑤已知两非零向量与，·________________ 20 3.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量，为向量，的夹角. ①内积：·____________. ②模：____________________. ③设，则A，B两点间的距离 ④夹角：_____ 21 一、单选题 1.(23-24高二上·河北邯郸·期末)下列说法错误的是( ) C A.起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 B.两个相等向量如果起点相同，其终点一定重合 C.不相等的向量一定不平行 D.不平行的向量一定不相等 【答案】C 【分析】根据相等向量和平行向量的定义，结合题意即可判断. 22 【详解】相等向量是方向相同且长度相等的向量，与起点无关. 选项A，方向相同且模相等的几个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故不 符合题意； 选项B，两个相等向量如果起点相同，其终点一定重合，符合相等向量的定义， 表述正确，故不符合题意； 选项C，因为平行向量是方向相同或相反的非零向量，所以不相等的向量也有可 能平行，故该选项表述不正确，符合题意； 选项D，不平行的向量方向一定不相同，故一定不相等，选项表述正确，故不符 合题意； 故选： 23 2.(24-25高二上·云南临沧·期末)下列结论中正确的是( ). C A.若 和 都是单位向量，则 B.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C.两个相等向量的模相等 D.模相等的两个平行向量是相等的向量 【答案】C 24 【分析】根据向量的相关概念判断即可. 【详解】对于选项A：若 和 都是单位向量，但是两向量的方向可能不一致， 则不一定满足 ，故A错误； 对于选项B：向量是可以平移的，若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定 分别重合，故B错误； 对于选项C：两个相等向量的模一定相等，故C正确； 对于选项D：两个向量相等，则它们的模长相等且方向相同，两个平行向量方向 不一定相同，故D错误. 故选： 25 3.(24-25高二上·山东菏泽·期中)下列说法正确的是( ) B A.若 ，则 B.零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的定义逐个判断选项即可. 【详解】A选项，两向量模长相等，两向量不一定共线，故该选项错误； B选项，零向量的模长为0，故该选项正确； C选项，两向量相等则两向量的长度、方向都相同，故该选项错误； D选项，共线向量是平行向量，不一定在同一直线上，故该选项错误. 故选： 26 4.(20-21高二上·山西晋中·期末) ( ) C A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】 ； 故选： 27 5.(24-25高二上·浙江·期末)化简 ( ) B A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算即可得解. 【详解】 . 故选： 28 6.(24-25高二下·云南临沧·期末)已知 ， ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知 ， ， ， 则 . 故选： 29 7.(24-25高三上·山西吕梁·期末)已知向量 ，则向量 有可能是( ) B A. B. C. D. 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量 ， 选项， ，所以不平行，故错误； 选项， ，所以平行，故正确； 选项， ，所以不平行，故错误； 选项， ，所以不平行，故错误， 故选： . 30 二、填空题 8.(21-22高二上·安徽滁州·期末)已知 ， 与 夹角为 ，则 ____. 【分析】根据平面向量内积的公式即可得解. 【详解】 ， 故答案为： . 31 9.(23-24高二上·河北·期末)已知向量 ，则向量 的模(长度) ___. 5 【分析】根据向量坐标求出向量模的长度. 【详解】 , , 故答案为: . 32 10.(23-24高二上·山西晋中·期末)已知向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为__________ 33 【分析】根据向量夹角的计算公式求解. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 即向量 与 夹角的余弦值为 . 故答案为： . 34 题型一 向量的有关概念 【典例1】(24-25高二上·全国·单元测试)给出下列命题： ① ； ②向量 与向量 的方向相同或相反，则 ； ③若 都是单位向量，则 ； ④方向为南偏西 的向量与方向为北偏东 的向量是共线向量； 其中，正确的命题是( ) C A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【分析】由向量的概念分析即可. 35 【详解】 和 是相反向量，模相等，方向相反，因此①正确， 平行向量是指方向相同或相反的向量，因此②正确， 单位向量是指模等于1的向量，因此 ，但方向不一定相同，因此③错误， 方向为南偏西 的向量与方向为北偏东 的向量是相反向量，是共线向量，因 此④正确. 故选 36 解题技巧 易错点提醒 混淆向量与标量：向量有方向，不能直接比较大小 忽略零向量的特殊性：零向量与任何向量平行 错误使用分配律：向量点积不满足结合律 37 【变式1】(23-24高三下·浙江杭州·阶段练习)如图所示，在 长和宽分别为 的矩形 中， ( ) C A. B. C. D. 【分析】由向量的线性运算及向量的模即可得解. 【详解】在矩形 中， 故选： . 38 题型二 向量的线性运算 【典例1】(24-25高二上·浙江·期末)向量 等于( ) C A.0 B. C. D. 【分析】根据向量的加法和减法运算即可解得. 【详解】由题&97 & 故选：C 39 解题技巧 1、_____________________________ 2.______________________________ 40 【变式1】(24-25高二上·安徽·月考)计算： ( ) A A. B. C. D.0 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选： 41 题型三 平面向量的坐标运算 【典例1】(24-25高二下·四川广安·期末)设 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为 ， ， 所以 ， 故选： 42 【变式1】(22-23高一上·河北张家口·期末)设向量 ， 与 共线，则 ( ) B A. B. C. D. 43 【分析】根据共线向量坐标表示、向量线性运算的的坐标表示求解即可. 【详解】因为 ， 与 共线， 则 ，即 ，得 ， 故 . 故选：B 44 题型四 向量共线的坐标表示 【典例1】(24-25高二下·全国·期末)已知 ，当 与 平行，则的值为( ) A A.1 B. C.2 D. 45 【分析】先求解出 与 的坐标，再由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 因为 与 平行， 所以 ，所以 . 故选： 46 【典例2】(2024高三·专题练习)已知 ，且A，B，C三点共线，则 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 47 【分析】利用向量共线去表示A，B，C三点共线，即可求得 的值. 【详解】由 ，可得 ，&142 & 由A，B，C三点共线，则 ，则 ， 解之得， 故选：C 48 解题技巧 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得 (或等)即可. (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数，使且 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得 (而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量 不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值. 49 【变式1】(24-25高二上·江西赣州·期末)已知向量 ， ，且 与 共 线，则 的值为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】根据向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量 ， ，且 与 共线， ，解得 . 故选： 50 【变式2】(2024高三·专题练习)已知点 ，且 三点共线，则 ( ) B A. B. C. D. 51 【分析】根据 三点共线，得 与 共线，由向量的共线定理即可求解. 【详解】由 ，得 ， ， 因为 三点共线，所以 ， 所以 ，解得 . 故选： 52 题型五平面向量内积的定义、模 【典例1】(2025高三·广东·专题练习)已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ， 则 ( ) D A. B. C.5 D.&178 & 【分析】根据向量内积公式代入求解即可. 【详解】向量 ， ，且 与 的夹角为 ， 所以 . 故选： 53 【典例2】(24-25高三下·河北·对口/高职单招)已知向量 ， ，则 ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量 ， ， 则 ， 故选： . 54 【典例3】(21-22高三·广东湛江·二模)已知向量 ，则 ( ) D A. B.1 C.2 D.13 【分析】根据向量的运算法则和模长公式求解即可. 【详解】 ， ， . 故选： 55 解题技巧 1. 求平面向量数量积的定义法 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式· 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重 合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件 2. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)·或 (2) 56 【变式1】(24-25高二下·全国·课前预习)若 ，则 ( ) B A.6 B. C.12 D. 【分析】根据向量的内积的定义求值即可. 【详解】已知 ， 则 . 故选： 57 【变式2】(22-23高三上·广东·阶段练习)已知向量 ， ，则 等 于( ) A A. B.4 C.7 D.2 【分析】先求得 ，再计算模长即可. 【详解】 向量 ， ， . 故选： 58 题型六 平面向量的夹角与垂直 【典例1】(24-25高二上·山东潍坊·阶段练习)下列向量中，与 垂直的向量 是( ) C A. B. C. D. 59 【分析】根据向量垂直的坐标表示逐项判断即可. 【详解】对A：因为 ，所以与 不垂直，故A项错误； 对B：因为 ，所以与 不垂直，故B项错误； 对C：因为 ，所以与 垂直，故C项正确； 对D：因为 ，所以与 不垂直，故D项错误. 故选： 60 【典例2】(2025高三·四川·专题练习)设向量 与向量 垂直，则实数 ( ) B A. B. C. D.3 【分析】由平面向量垂直的坐标运算列方程求解即可. 【详解】已知向量 与向量 垂直， 得 ，解得 ， 故选： 61 【典例3】(2025高三·四川·专题练习)已知向量 ， ，则 与 的夹角为( ) B A. B. C. D.&238 & 62 【分析】根据向量的数量积运算夹角公式求解即可. 【详解】因为向量 ， ， 所以 因为 ，所以 . 故选： 63 解题技巧 1.向量夹角公式 ，的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 2.当两向量垂直时，利用·列方程(组)可求未知数. 64 【变式1】(23-24高三上·湖南长沙·期末)已知向量 ， ，下列说法 正确的是( ). B A. B. C. 与 共线 D. 65 【分析】由平面向量平行和垂直的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量 ， ， 因为 ，所以 与 不平行也不共线，故选项 错误； 因为 ，所以 ，故选项 正确； ， ， ，故选项 错误. 故选： . 66 【变式2】(25-26高三上·江苏苏州·阶段练习)已知 ，且 ，则的值为( ) D A.2.5 B.10 C.0.5 D. 【分析】根据向量垂直列式计算即可. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，解得 . 故选： 67 【变式3】(25-26高三上·云南·一模)已知向量 ， ，则 与 的夹 角为( ) B A. B. C. D. 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】因为 ， 又 ，所以 . 故选： 68 $