专题03 函数零点及隐零点问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点及隐零点核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识体系，涵盖导函数零点研究、个数判断、参数范围及隐零点处理等要点，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统解题思路。 讲义特色在于融合命题轨迹分析与分层题型设计，创新采用“隐零点问题四步解法”，引导学生通过特值试探确定零点存在，再设而不求进行代换转化，培养数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合梯度练习，配合近5年真题频次分析，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生零点问题突破能力。

专题3函数零点及隐零点问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 利用导函数研究函数零点 2 真题动向 必备知识 知识1函数零点问题常规求解步骤 知识2利用导数确定函数零点的常用方法 知识3利用函数的零点求参数取值范围的方法 知识4导函数零点不可直接求时的特值试探和隐零点 命题预测 题型1判断或者讨论零点个数 题型2 根据零点个数求参数取值范围 题型3隐零点 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 24年和21年都直接考察了零点个数的判断，包括25年的高考题中也运用到了零点，23年的极值问题本质上也是导函数零点问题的讨论，零点是非常重要的的考点，在计算过程中，隐零点是非常重要的工具，要求考生灵活应用零点存在定理及指对运算。零点部分的出题围绕零点个数的判断和证明，根据零点求参数取值范围来进行。整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，会更加注重考察学生对导数概念的深入理解和灵活运用能力，包括但不限于函数的零点个数、以及根据零点求参数取值范围的角度来进行出题，恒成立或存在性问题求参数取值范围、不等式的证明等；从24年、25年的出题来看，出题高立意、低起点，利用中学现有的内容来进行延伸，考查学生灵活运用知识的能力。同时题目的综合性更强，可能会有解三角形、解析几何、数列等内容进行综合考查。 考点一 利用导函数研究函数零点 1．（2021·北京·高考真题，T15,5分）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．（2024年北京高考数学真题，T20,15分）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 3．（2016年北京文科数学 T20,13分）设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 知识1函数零点问题常规求解步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数． 知识2利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 知识3利用函数的零点求参数取值范围的方法 （1）分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构造不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 知识4导函数零点不可直接求时的特值试探和隐零点 （1）特值试探：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循一下原则： ①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探； ②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． （2）隐零点：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向： ①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题； ②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 易错提醒 判断零点个数的时候，首先要关注定义域；运用零点存在定理时，确定函数图像是连续的； 题型1判断或者讨论零点个数 1．(25-26高三上·北京第一零一中学·)设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 2．(25-26高三上·北京育才学校·期中)已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)当时，求证：； (3)讨论函数（且为常数）零点的个数. 3．(25-26高三上·北京汇文中学·期中)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程 (2)设函数. （i）求的单调区间； （ii）判断的零点个数，并说明理由； (3)若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论） 4．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，讨论的零点个数． 5．(25-26高三上·北京广渠门中学·开学考)已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 6．(25-26高三上·北京育才学校·月考)已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 7．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在区间上的零点个数； (3)若，其中，求证：. 题型2 根据零点个数求参数取值范围 8．(25-26高三上·北京第五中学·)已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 9．(25-26高三上·北京昌平区第一中学·期中)已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 10．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若有唯一零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若为的极小值点，证明：. 11．(25-26高三上·北京理工大学附属中学·月考)已知函数，设的图象在处的切线为l：． (1)若，证明：当时，； (2)若有三个零点，，（）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 12．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 13．(25-26高三上·北京平谷中学·)已知函数 (1)求函数 在处的切线方程; (2)求函数的单调性区间 (3)若函数有2个零点，求a的取值范围.(只写出结论不需要说明理由) 14．（北京市第二中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若的有三个零点，求a的取值范围． 题型3隐零点 15．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 16．（北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期12月月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 17．（北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期12月月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 18．（北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． Ⅰ求证：1是函数的极值点； Ⅱ设是函数的导函数，求证：． 19.（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数，曲线在的切线为． (1)求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 20．(清华大学附属中学2025届高三下学期数学统练试卷)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3函数零点及隐零点问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 利用导函数研究函数零点 2 真题动向 必备知识 知识1函数零点问题常规求解步骤 知识2利用导数确定函数零点的常用方法 知识3利用函数的零点求参数取值范围的方法 知识4导函数零点不可直接求时的特值试探和隐零点 命题预测 题型1判断或者讨论零点个数 题型2 根据零点个数求参数取值范围 题型3隐零点 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 24年和21年都直接考察了零点个数的判断，包括25年的高考题中也运用到了零点，23年的极值问题本质上也是导函数零点问题的讨论，零点是非常重要的的考点，在计算过程中，隐零点是非常重要的工具，要求考生灵活应用零点存在定理及指对运算。零点部分的出题围绕零点个数的判断和证明，根据零点求参数取值范围来进行。整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，会更加注重考察学生对导数概念的深入理解和灵活运用能力，包括但不限于函数的零点个数、以及根据零点求参数取值范围的角度来进行出题，恒成立或存在性问题求参数取值范围、不等式的证明等；从24年、25年的出题来看，出题高立意、低起点，利用中学现有的内容来进行延伸，考查学生灵活运用知识的能力。同时题目的综合性更强，可能会有解三角形、解析几何、数列等内容进行综合考查。 考点一 利用导函数研究函数零点 1．（2021·北京·高考真题，T15,5分）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 2．（2024年北京高考数学真题，T20,15分）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析(3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 3．（2016年北京文科数学 T20,13分）设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程； （Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（Ⅰ）由，得． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （Ⅱ）当时，， 所以． 令，得，解得或． 与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，， ，使得． 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点． （Ⅲ）当时，，， 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点． 当时，只有一个零点，记作． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递增． 所以不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有． 故是有三个不同零点的必要条件． 当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件． 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件． 【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值． 3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 知识1函数零点问题常规求解步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数． 知识2利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 知识3利用函数的零点求参数取值范围的方法 （1）分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构造不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 知识4导函数零点不可直接求时的特值试探和隐零点 （1）特值试探：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循一下原则： ①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探； ②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． （2）隐零点：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向： ①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题； ②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 易错提醒 判断零点个数的时候，首先要关注定义域；运用零点存在定理时，确定函数图像是连续的； 题型1判断或者讨论零点个数 1．(25-26高三上·北京第一零一中学·)设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】利用求导判断函数的单调性，求得函数的极大值，计算得到，，，利用函数的单调性和零点存在定理即可判断函数的零点情况. 【详解】的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得极大值为， 又，，， 即在区间上恒有， 又由零点存在定理，使得， 即函数在区间内无零点，在区间内有零点. 故选：C. 2．(25-26高三上·北京育才学校·期中)已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)当时，求证：； (3)讨论函数（且为常数）零点的个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程. （2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立. （3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. （2）当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴， ∴，即. （3）由得，. 令，则， 由得或，由得， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 当时，，当时，，当，. ∵时，取极小值， ∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点， 当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点， 当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点， 当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点. 综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【点睛】思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下： （1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论. （2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果. 3．(25-26高三上·北京汇文中学·期中)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程 (2)设函数. （i）求的单调区间； （ii）判断的零点个数，并说明理由； (3)若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论） 【答案】(1) (2)（i）答案见解析；（ii）2个零点，理由见解析 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）只需求得，即可； （2）（i）直接求导，根据导数的符号判断即可；（ii）根据零点存在定理判断即可； （3）由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象和切线，结合图象即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i），定义域为， 则， 所以函数只有单调减区间为，无单调增区间； （ii）又， 所以在区间上存在唯一的零点. 因为， 所以在区间上存在唯一的零点， 因此恰有2个零点； （3）. 由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象，如图， 现作出切线，可得最多有4条平行直线与函数图象相切. 4．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，讨论的零点个数． 【答案】(1)； (2)单调增区间为，单调减区间为； (3)答案见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义直接可得切线方程； （2）利用导数直接讨论函数的单调性可得； （3）根据函数为偶函数，先讨论函数在上的零点，再由对称性可得上的零点. 【详解】（1）因为函数， 所以，故 曲线在点处的切线方程为，即. 故曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 令得，或或． 0 0 0 0 极大值 极小值 极大值 的单调增区间为，单调减区间为． （3）任取 ，所以是偶函数． 下面可以先考虑在上的零点个数． （1）当时，恒成立，所以在上恒成立． ∴在上单调递增． 又∵，∴．∴在上无零点． 又∵是偶函数，在上单调递减，，即在上无零点. ∴在上无零点． （2）当时 令得，或 由，且函数在单调递减，所以存在唯一，使得 0 极大值 ∴在上单调递增，上单调递减．． 当①时，即时，∴在上无零点． 又∵是偶函数，∴在上无零点． ②当时，即时∴在上有一个零点． 又∵是偶函数，在上有一个零点． ∴在上有两个零点． 综上：当时，在上有两个零点； 当时，在上有无零点. 5．(25-26高三上·北京广渠门中学·开学考)已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 【答案】(1) (2)见详细解析 (3)2 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【详解】（1）将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． （2）当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． （3），令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 6．(25-26高三上·北京育才学校·月考)已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求出，在求出及，即可求解； （2）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （3）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 7．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在区间上的零点个数； (3)若，其中，求证：. 【答案】(1)(2)1 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得所求； （2）分当和两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而得结论； （3）设，求导确定函数的单调性与取值情况，从而可得结论. 【详解】（1）由，得且，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）①当时，，，所以. 所以在区间上无零点； ②当时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上仅有一个零点， 综上，在区间上的零点个数为1. （3）设，即， 所以， 设，， 因为时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 故，所以在区间上单调递增. 故，所以. 因为，所以， 又，所以. 题型2 根据零点个数求参数取值范围 8．(25-26高三上·北京第五中学·)已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 9．(25-26高三上·北京昌平区第一中学·期中)已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）． 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）求的导函数，分，，，分类讨论求和的解集，从而求出函数的单调区间； （3）由第（2）问的结果，分别讨论函数的情况，求出的取值范围. 【详解】解：（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． （3）由（2）可知： ①当时，在内单调递增，在内单调递减， 当时，取得最大值． （i）当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． （ii）当时，． 因为，，在内单调递减， 所以在内有唯一零点． 因为， 所以且． 因为，， 且在内单调递增，所以在内有唯一零点． 所以当时，恰有两个零点． ②当时，在，内单调递增，在内单调递减， 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ③当时，在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ④当时，在，内单调递增，在内单调递减． 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 10．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若有唯一零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若为的极小值点，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围； （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知若，极小值点，零点，符合题意，若，极小值点，零点满足，即， 此时，令，，利用导数求最值即可证明； 解法二：若，则，因为，所以，可得证. 【详解】（1）当时，， 则， 又，， 所以所求切线方程为，即. （2）（ⅰ）由题意得， 若，则， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，， 当时，，，所以. 由单调性和零点存在性定理可知，此时有两个零点，不符合题意； 若，令，得或， ①当，即时， 有当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，时，，故在区间上必有一个零点， 要使有唯一零点，只需， 即. ②当，即时，，单调递减， 仅有一个零点显然成立. ③当，即时， 有当时，，单调递减；时，，单调递增；当时，，单调递减. 由恒成立，故同理也仅有一个零点. 综上，的取值范围是. （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知若，极小值点，零点， 此时成立； 若，极小值点， 零点满足， 即， 此时， 且. 令，， ，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 故. 综上，. 解法二：由（ⅰ）知若，极小值点，零点， 此时成立； 若，则，因为，所以， 综上，. 11．(25-26高三上·北京理工大学附属中学·月考)已知函数，设的图象在处的切线为l：． (1)若，证明：当时，； (2)若有三个零点，，（）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程，构造，利用导数求解最值即可证明不等式. （2）（i）先确定有零点，然后分和两种情况讨论，利用导数研究其单调性，结合零点个数求解参数范围； （ii）由（i）得，根据（1）的结论得，结合即可证明. 【详解】（1）当时，，． 对求导得，则． 所以切线l的方程为，即， 令． 对求导得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以当时，． （2）（i），显然有，，． ①若，则恒成立，所以在上单调递增， 所以在上只有一个零点，不符合题意； ②若，令得，记其两根分别为， 则，，所以， 由得，或，由得，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，所以，， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以在上有唯一零点，为， 又，且， 所以在上只有一个零点，从而，所以． （ii）由（i）知，且，所以， 由（1）知，当时，，所以， 整理得， 又，所以，得证． 12．(25-26高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为0，无极小值． (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案； （2）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案. 【详解】（1）当时，， 则， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 得在处取得极大值，，无极小值． 故的极大值为0，无极小值． （2）， 当时，因为，所以， 在区间上单调递增，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ， 所以； 当时， 由，得， 当时，即，得函数在上单调递减， 而， 则在区间上没有零点， 当时，即， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而， 因为在区间上有零点， ， 得 令， 因为函数，在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 13．(25-26高三上·北京平谷中学·)已知函数 (1)求函数 在处的切线方程; (2)求函数的单调性区间 (3)若函数有2个零点，求a的取值范围.(只写出结论不需要说明理由) 【答案】(1)； (2)递减区间为，递增区间为； (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）根据导函数正负得出函数的单调性即可； （3）先根据的零点个数得出有两个解，即得有两个交点，再结合函数的单调性及值域即可求参. 【详解】（1）因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； （2）因为， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； （3）因为函数有2个零点，所以有两个解，即得有两个交点， 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时有两个解， 即函数有2个零点时. 14．（北京市第二中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若的有三个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析(3)． 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； （3）分别讨论出函数的单调性，并根据零点个数限定出极值的符号，解不等式即可得出a的取值范围． 【详解】（1）当a＝1时，，得， ，则， 所以切线方程为：， 即； （2）由题，可得， 当时，当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 当时，的解为，， ①当，即时，恒成立，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 此时在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 即在，上单调递增；在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则最多两个零点，不合题意； ②当时，，知在上单调递增，在上单调递减，上单调递增； 可得在处取得极大值，在处取得极小值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，此时可得a无解； ③当时，，则在上单调递增；则最多一个零点，不合题意； ④当时，，知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得在处取得极小值，在处取得极大值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，解得且； 综上得a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分类讨论出函数的单调性后，并结合函数图象根据零点个数限定出极值点的符号，解不等式可求得a的取值范围. 题型3隐零点 15．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； （3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得. 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为. 16．（北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期12月月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为 (3)3 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，即可求切线； （2）利用导数值的正负的来判断函数的单调区间； （3）利用隐零点结合分离参变量法来求最值，并估算答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为. 因为，所以， 令，解得，令，得. 所以的减区间为，增区间为. （3）因为对任意的，都有，所以， 令， 由（2）知，在上单调递增， ， 则在区间上存在唯一的零点，即， 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以，又因为， 则 所以，所以整数的最大值为3. 17．（北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期12月月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为 (3)3 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，即可求切线； （2）利用导数值的正负的来判断函数的单调区间； （3）利用隐零点结合分离参变量法来求最值，并估算答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为. 因为，所以， 令，解得，令，得. 所以的减区间为，增区间为. （3）因为对任意的，都有，所以， 令， 由（2）知，在上单调递增， ， 则在区间上存在唯一的零点，即， 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以，又因为， 则 所以，所以整数的最大值为3. 18．（北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． Ⅰ求证：1是函数的极值点； Ⅱ设是函数的导函数，求证：． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】试题分析：（1）根据极值点的定义知道，要研究函数值左右两侧的函数值都比小即可；（2），转化为求证这个函数的最小值大于-1即可，对这个函数再求导，研究导函数的正负，最终得到，对这个式子求最小值即可． （1）的定义域为 ， 当时，，即； 当时，，即； 根据极值的定义， 1是的极值点.   （2）由题意可知， ， 令， ，故在上单调递增. 又，又在上连续， 使得，即， .（*） 随x的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ . 由（*）式得，代入上式得 . 令， ，故在上单调递减. ，又，. 即 . 点睛：本题是考查了函数的极值点的问题．一种方法是直接研究导函数的变号零点，还有就是直接按照极值点的概念，在极值点附近，函数值都比极值点处的函数值大或者小．还考查了函数的最值问题，直接构造函数，使得函数的最小值大于零即可． 19.（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数，曲线在的切线为． (1)求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)零点个数为0，证明见解析. 【解析】（1），则有，解得， ，则. （2）由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. （3）因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以， 当时，，， 则，则函数的零点个数为0. 20．(清华大学附属中学2025届高三下学期数学统练试卷)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）2个 【知识点】根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）（i）根据是函数的极值点求出，设，根据的单调性、零点存在定理可得答案；（ii）求出，设，分、讨论，利用导数判断出单调性可得答案. 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i）， ，由题意， 得，设，则有， ，且在上单调递增， 根据零点存在定理得； （ii）由（i）知，所以，得， ，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $