数学期末复习讲义（平面向量）-2025-2026学年高二上学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—平面向量 核心考点 复习目标 考情规律 向量的概念 理解向量的有关概念及向量的几何表示 基础考点，一般出现在选择题中 共线向量、相等向量 理解共线向量、相等向量的概念． 高频考点，各种题型皆有可能，基本每年高考中均有考查 平面向量的运算 理解并掌握向量加法、减法、数乖运算的概念，能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算． 基础考点，一般单独考查较少，常出现在考查其他知识点的步骤中 向量的数量积 理解平面向量的数量积的定义 基础考点，各种题型皆有可能，封考查对定义公式的运用 平面向量坐标表示 理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差、数乘的坐标运算法则 基础考点，一般单独考查较少，常出现在考查其他知识点的步骤中 平面向量数量积的坐标 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算；能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题． 高频考点，是职高各种考试中出现最多的考点，各种题型皆有可能，基本每年高考中均有考查 第二章 平面向量 知识点1 平面向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2 向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 知识点3 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 知识点4 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 3.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 4. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 知识点5 平面向量的内积 1.向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）下列说法错误的是（    ） A．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 B．两个相等向量如果起点相同，其终点一定重合 C．不相等的向量一定不平行 D．不平行的向量一定不相等 2．（24-25高二上·云南临沧·期末）下列结论中正确的是（    ）． A．若和都是单位向量，则 B．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等 D．模相等的两个平行向量是相等的向量 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．（20-21高二上·山西晋中·期末） （   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江·期末）化简（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知向量，则向量有可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（21-22高二上·安徽滁州·期末）已知，与夹角为，则 . 9．（23-24高二上·河北·期末）已知向量，则向量的模（长度） ． 10．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知向量，则向量与 夹角的余弦值为 答案 1．C 【分析】根据相等向量和平行向量的定义，结合题意即可判断． 【详解】相等向量是方向相同且长度相等的向量，与起点无关． 选项A，方向相同且模相等的几个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故不符合题意； 选项B，两个相等向量如果起点相同，其终点一定重合，符合相等向量的定义，表述正确，故不符合题意； 选项C，因为平行向量是方向相同或相反的非零向量，所以不相等的向量也有可能平行，故该选项表述不正确，符合题意； 选项D，不平行的向量方向一定不相同，故一定不相等，选项表述正确，故不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】根据向量的相关概念判断即可. 【详解】对于选项A：若和都是单位向量，但是两向量的方向可能不一致，则不一定满足，故A错误； 对于选项B：向量是可以平移的，若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，故B错误； 对于选项C：两个相等向量的模一定相等，故C正确； 对于选项D：两个向量相等，则它们的模长相等且方向相同，两个平行向量方向不一定相同，故D错误. 故选：C. 3．B 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的定义逐个判断选项即可. 【详解】A选项，两向量模长相等，两向量不一定共线，故该选项错误； B选项，零向量的模长为0，故该选项正确； C选项，两向量相等则两向量的长度、方向都相同，故该选项错误； D选项，共线向量是平行向量，不一定在同一直线上，故该选项错误. 故选：B. 4．C 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】； 故选：C. 5．B 【分析】根据平面向量的线性运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 6．C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，， 则. 故选：C. 7．B 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量， 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以平行，故正确； 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以不平行，故错误， 故选：. 8． 【分析】根据平面向量内积的公式即可得解. 【详解】， 故答案为：. 9．5 【分析】根据向量坐标求出向量模的长度. 【详解】, , 故答案为:. 10．/-0.6 【分析】根据向量夹角的计算公式求解. 【详解】因为， 所以，，， 所以，即向量与 夹角的余弦值为. 故答案为：. 题型一 向量的有关概念 【典例1】（24-25高二上·全国·单元测试）给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由向量的概念分析即可. 【详解】和是相反向量，模相等，方向相反，因此①正确， 平行向量是指方向相同或相反的向量，因此②正确， 单位向量是指模等于1的向量，因此，但方向不一定相同，因此③错误， 方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是相反向量，是共线向量，因此④正确. 故选:C. 解｜题｜技｜巧 易错点提醒 混淆向量与标量：向量有方向，不能直接比较大小 忽略零向量的特殊性：零向量与任何向量平行 错误使用分配律：向量点积不满足结合律 【变式1】（23-24高三下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，在长和宽分别为的矩形中， （　　） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】由向量的线性运算及向量的模即可得解. 【详解】在矩形中，. 故选：. 题型二 向量的线性运算 【典例1】（24-25高二上·浙江·期末）向量等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可解得. 【详解】由题 . 故选：C 解｜题｜技｜巧 1、 2、 【变式1】（24-25高二上·安徽·月考）计算：（   ） A． B． C． D．0 答案 1、【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】． 故选：A. 题型三 平面向量的坐标运算 【典例1】（24-25高二下·四川广安·期末）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 【变式1】（22-23高一上·河北张家口·期末）设向量，与共线，则（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】根据共线向量坐标表示、向量线性运算的的坐标表示求解即可. 【详解】因为，与共线， 则，即，得， 故. 故选：B 题型四 向量共线的坐标表示 【典例1】（24-25高二下·全国·期末）已知，当与平行，则x的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求解出与的坐标，再由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以，， 因为与平行， 所以，所以． 故选：A. 【典例2】（2024高三·专题练习）已知，且A，B，C三点共线，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量共线去表示A，B，C三点共线，即可求得的值. 【详解】由，可得， 由A，B，C三点共线，则，则， 解之得， 故选：C 解｜题｜技｜巧 　1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1． 2．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值． 【变式1】（24-25高二上·江西赣州·期末）已知向量，，且与共线，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024高三·专题练习）已知点，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示求解. 【详解】∵向量，，且与共线， ∴，解得. 故选：D. 2、【答案】B 【分析】根据三点共线，得与共线，由向量的共线定理即可求解. 【详解】由，得，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 故选：B. 题型五平面向量内积的定义、模 【典例1】（2025高三·广东·专题练习）已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据向量内积公式代入求解即可. 【详解】向量，，且与的夹角为， 所以． 故选：D. 【典例2】（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 【典例3】（21-22高三·广东湛江·二模）已知向量，则（   ） A． B．1 C．2 D．13 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则和模长公式求解即可. 【详解】， ， . 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1. 求平面向量数量积的定义法 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ． 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件 2. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝． (2)|a±b|＝＝． 【变式1】（24-25高二下·全国·课前预习）若，则（   ） A．6 B． C．12 D． 【变式2】（22-23高三上·广东·阶段练习）已知向量，，则等于（   ） A． B．4 C．7 D．2 答案 1、【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义求值即可. 【详解】已知， 则. 故选：B. 2、【答案】A 【分析】先求得，再计算模长即可. 【详解】向量， ， . 故选：A. 题型六 平面向量的夹角与垂直 【典例1】（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）下列向量中，与垂直的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示逐项判断即可. 【详解】对A：因为，所以与不垂直，故A项错误； 对B：因为，所以与不垂直，故B项错误； 对C：因为，所以与垂直，故C项正确； 对D：因为，所以与不垂直，故D项错误. 故选：D. 【典例2】（2025高三·四川·专题练习）设向量与向量垂直，则实数（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由平面向量垂直的坐标运算列方程求解即可. 【详解】已知向量与向量垂直， 得，解得， 故选：B. 【典例3】（2025高三·四川·专题练习）已知向量，，则与的夹角为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算夹角公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1．向量夹角公式cos 〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误． 2．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数． 【变式1】（23-24高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，下列说法正确的是（   ）． A． B． C．与共线 D． 【变式2】（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，且，则x的值为（   ） A．2.5 B．10 C．0.5 D． 【变式3】（25-26高三上·云南·一模）已知向量，，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．135° D．150° 答案 1、【答案】B 【分析】由平面向量平行和垂直的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量，， 因为，所以与不平行也不共线，故选项错误； 因为，所以，故选项正确； ，，，故选项错误. 故选：. 2、【答案】D 【分析】根据向量垂直列式计算即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：D. 3、【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $