专题 3.6 圆内接四边形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦圆内接四边形核心知识点，以圆周角定义为基础，梳理其对角互补性质，通过基础篇（定义辨析、角度线段计算）到培优篇（与圆周角定理、垂径定理综合）的题型设计，构建从单一性质到综合应用的学习支架。 资料采用★、★★、★★★分层题型设计，结合具体例题（如求角度、多定理综合证明）培养几何直观与推理意识，同步练习涵盖选择填空解答题，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题 3.6 圆内接四边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】圆周角定义 1 【知识点二】圆内接四边形性质 1 二.题型分类精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】定义与概念辨析 2 【★题型2】利用圆内接四形性质求角度 3 【★题型3】利用圆内接四形性质求线段长 4 （二）培优篇 5 【★★题型4】利用圆内接四边形性质进行综合求值证明 6 【★★题型5】利用圆内接四边形性质与圆周角定理综合求值证明 7 【★★★题型6】利用圆内接四边形性质与垂径定理、圆周角定理综合求值证明 7 三．同步练习​ 8 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 8 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 12 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】圆周角定义 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆，如图1，四边形ABCD⊙O内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆 图1 【知识点二】圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补. 如图2，在⊙O中，四边形是⊙O的内接四边形，刚有， 图2 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】定义与概念辨析 【例题1】三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，证明：点D在的外接圆上．嘉淇的证明过程如下： 设点O为的外接圆的圆心． ， ∴为的直径，即点O为的中点． 连接， ， __◎__．， ∴点D在上， 即点D在的外接圆上． 如果嘉淇的证明过程正确，◎可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【变式3】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【★题型2】利用圆内接四形性质求角度 【例题2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为 ． 【小结归纳】 【★题型3】利用圆内接四形性质求线段长 【例题3】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【变式1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 （二）培优篇 【★★题型4】利用圆内接四边形性质进行综合求值证明 【例题4】（23-24九年级上·江苏扬州·月考）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【变式1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，四边形内接于，过点C作交于点E，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接， ． （1）求证：；（2）若，求的长． 【★★题型5】利用圆内接四边形性质与圆周角定理综合求值证明 【例题5】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数；（2）求证：． 【变式1】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为 【★★★题型6】利用圆内接四边形性质与垂径定理、圆周角定理综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． （1）若，求证：；（2）求四边形的面积； 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，是的直径，，在上，若，则的度数为 （度）． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °． 9．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，四边形是的内接四边形，D是延长线上的一点，，那么的度数为 度． 10．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，若为，为上一点，则的度数是 ． 12．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 三、解答题 13．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 16．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答） 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．（2021·广西贺州·二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2020·陕西渭南·二模）如图，已知的半径为，内接于，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）． 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是 ． 10．（21-22九年级上·全国·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 11．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 三、解答题 13．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，于点，且， （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：；（2）求证：． 16．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 圆内接四边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】圆周角定义 1 【知识点二】圆内接四边形性质 1 二.题型分类精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】定义与概念辨析 2 【★题型2】利用圆内接四形性质求角度 5 【★题型3】利用圆内接四形性质求线段长 7 （二）培优篇 11 【★★题型4】利用圆内接四边形性质进行综合求值证明 11 【★★题型5】利用圆内接四边形性质与圆周角定理综合求值证明 14 【★★★题型6】利用圆内接四边形性质与垂径定理、圆周角定理综合求值证明 18 二．同步练习​ 23 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 23 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 36 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】圆周角定义 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆，如图1，四边形ABCD⊙O内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆 图1 【知识点二】圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补. 如图2，在⊙O中，四边形是⊙O的内接四边形，刚有， 图2 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】定义与概念辨析 【例题1】三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，证明：点D在的外接圆上．嘉淇的证明过程如下： 设点O为的外接圆的圆心． ， ∴为的直径，即点O为的中点． 连接， ， __◎__．， ∴点D在上， 即点D在的外接圆上． 如果嘉淇的证明过程正确，◎可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，根据推理过程可知，为的半径，据此即可求解； 解：根据推理过程可知，为的半径， ∴◎可以为或， 故选：A 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【答案】D 【分析】本题考查了中垂线的尺规作图和三角形的外接圆，掌握“三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点”是解题的关键． 先根据作图得出、、在以为圆心、为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 解：连接，，，如图： 由题意得：直线垂直平分，直线垂直平分， ， 点、、在以为圆心、为半径的圆上， 点在上，、、为的弦，是的外接圆． A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 【变式3】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【★题型2】利用圆内接四形性质求角度 【例题2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补，可算得，再根据圆周角定理即可求出答案． 解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补． 根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答． 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为 ． 【答案】/111度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【小结归纳】 【★题型3】利用圆内接四形性质求线段长 【例题3】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点拨】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 【变式1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． （二）培优篇 【★★题型4】利用圆内接四边形性质进行综合求值证明 【例题4】（23-24九年级上·江苏扬州·月考）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见分析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 解：连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 【变式1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，四边形内接于，过点C作交于点E，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合圆内接四边形的性质得，再运用平行线的性质，得，又因为以及三角形内角和性质，得，最后求出，即可作答． 解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵四边形内接于， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得，结合四边形是的内接四边形，得，再根据旋转的性质，得，，则，运用三角形内角性质列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 解：依题意，点落在⊙上，连接如图所示： ∵，， ∴， ∵点落在⊙上，是的内接三角形， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接， ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相关知识并熟练角度之间的相互转换是解题的关键． （1）通过等腰三角形的性质证，，得到，即可求解． （2）通过等腰三角形的性质先求出，再利用圆的内接四边形对角互补，得到，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：（1）解：， ， ， ， ， ． （2）， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， ， 根据（1）可知， 四边形是平行四边形， 又为的直径，且， ． 【★★题型5】利用圆内接四边形性质与圆周角定理综合求值证明 【例题5】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 解：（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【变式1】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是的中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 【★★★题型6】利用圆内接四边形性质与垂径定理、圆周角定理综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． （1）若，求证：； （2）求四边形的面积； 【答案】（1）见分析；（2）40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 解：（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 解：如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【变式2】（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，，由圆内接四边形和得到，则，再根据垂径定理得到，，，，即可得到和是同一条直线，即在上，再由四边形、、都是矩形，得到，，， 设，半径，则，在和中，由勾股定理得到，解方程计算即可． 解：分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，， ∵四边形内接于一圆． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点、， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和是同一条直线，即在上， ∵，，，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，半径，则， 中，，则， 中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的对角互补求出，最后直角三角形的两锐角互余，即可求解． 解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形的性质和圆周角定理，可知， ，结合，即可求解． 解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理证得，根据圆内接四边形的性质，证得，进而求出的度数即可． 解： 四边形内接于 故选：B． 5．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 【答案】B 【分析】求落在正方形和阴影部分内的概率，可直接求正方形的面积和阴影部分的面积即可得出二者的大小关系． 解：设的半径为r，则正方形的对角线为2r， ∴， ， ∵， ∴， 故选：B． 【点拨】题目主要考查概率的比较，包括正方形和圆的基本性质，熟练掌握正方形和圆的基本性质是解题关键． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 解：如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，是的直径，，在上，若，则的度数为 （度）． 【答案】110 【分析】本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果． 连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出． 解：连接， ∵的半径）， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °． 【答案】110 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 9．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，四边形是的内接四边形，D是延长线上的一点，，那么的度数为 度． 【答案】100 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 如图，先利用邻补角计算出，再利用圆内接四边形的性质计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 解：所对的圆周角， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，若为，为上一点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为，圆内接四边形对角互补，掌握相关知识是解决问题的关键．连结、，由题意，再利用圆周角定理得到，，接着利用互余计算出，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数． 解：连结、，如图， 为， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 解：连接， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答． 解：证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 解：（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．证法一：连接，则，根据是的直径，可得，即可解答；证法二：连接，根据圆内接四边形的性质可得，再由是的直径，可得，即可解答． 解：证法一：如图①，连接，则． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 证法二：如图②，连接． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补可得． 解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点拨】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 5．（2021·广西贺州·二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 6．（2020·陕西渭南·二模）如图，已知的半径为，内接于，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长． 解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示， ∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴AB=， 故答案为：C． 【点拨】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，由，得，则，所以，于是得到问题的答案． 解：连接， 是中点， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 8．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）． 【答案】110 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．根据得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故答案为：110 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角得出，利用圆内接四边形的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可． 解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 10．（21-22九年级上·全国·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 解：：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点拨】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 11．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 三、解答题 13．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，再根据等腰三角形的判定定理即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：证明：∵平分， ∴， ∵四点共圆， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，于点，且， （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见分析；（2） 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）证明，解直角三角形求出，即可． 解：（1）解：结论：△是等边三角形． 理由：，， ， ， ， △是等边三角形； （2）△是等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）根据垂径定理得出，垂直平分，则，根据圆周角定理得出，得出为等边三角形，即可证明． （2）由（1）得，则，根据圆内接四边形的性质得出，结合平角得出，根据圆周角定理得出，等量代换即可证明． 解：（1）解：连接， 直径弦于点， ， 垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ． （2）解：由（1）得， ， 为四边形的外接圆， ， ， ， ， ． 【点拨】该题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 解：（1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $