第四章 数列 单元检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列单元检测 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题58分） 1． 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 2．在数列中，对任意的，，都有，且，则（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 3．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 4．已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（     ） A．58 B．57 C．56 D．55 6．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　 )． A．5 B．6 C．7 D．8 7．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝，a3a4＝－，则＋＋＋＋＋＝(　 　)． A． B．－ C． D．－ 8．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )． A．2 B．3 C．4 D．5 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中真命题有( )． A．若S10＝0，则S2＋S8＝0 B．若S4＝S12，则使Sn＞0的n的最大值为15 C．若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大 D．若S7＜S8，则S8＜S9 10．已知数列{an}满足a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的有( )． A．数列{an}是等差数列 B．a2k＝7－2k(k∈N*) C．a2k－1＝12－2k(k∈N*) D．an＋an＋1＝18－3n 11.已知数列中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．是等比数列 C． D． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某公司2017年产值为2000万元，2023年产值为8000万元，则年产值的平均增长率是 . 13．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝ . 14．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列中，为其前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 16．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 17．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 18．若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 19．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 数列单元检测答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D C A D B D D BC BC ABC 12. －1 13. 14.100 15.（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 16.（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 17.（1）当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 18.　(1)因为数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1． 所以a1＋1＝2，解得a1＝1． 又因为数列{an}是公差为2的等差数列， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1． 所以2nbn＝nbn＋1，即2bn＝bn＋1， 所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn＝2n－1． (2)数列{cn}满足cn＝＝＝， 数列{cn}的前n项和Tn＝1＋＋＋…＋， 所以Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－， 所以Tn＝4－. 不等式(－1)nλ＜Tn＋恒成立， 即(－1)nλ＜4－恒成立． 当n＝2k(k∈N*)时，λ＜4－恒成立， 所以λ＜3； 当n＝2k－1(k∈N*)时，－λ＜4－恒成立， 所以λ＞－2. 综上所述，实数λ的取值范围是(－2,3)． 19.（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $