1.1认识三角形 讲义 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

本讲义围绕“认识三角形”核心知识点，系统梳理从定义（含顶点、边、角等基本元素）到内角和定理、按角分类、三边关系，再到高、中线、角平分线三种重要线段的性质与应用，构建从概念到性质到应用的学习支架。 通过表格对比三种线段的文字、图形、符号语言及推理应用，培养几何直观（数学眼光）。练习题从基础判断到综合推理（如角平分线交点角度计算），发展推理意识（数学思维）。规范数学表达，课中助教师授课，课后帮学生巩固查漏。

1.1认识三角形 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 1.按角分类： 要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一、单选题 1．下列图形中没有运用三角形稳定性的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 利用三角形的稳定性解答即可． 【解答】 解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而B选项中，用到了四边形的不稳定性. 故选B． 【点睛】 本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键． 2．下列各个选项中给出长度的3条线段，其中能首尾依次相连组成三角形的是（     ） A．1cm，2cm，4cm B．4cm，5cm，6cm C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm 【答案】B 【提示】 根据构成三角形的条件即可判断． 【解答】 解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误， 故选B． 【点睛】 本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 3．画的边上的高，正确的是（       ） A．B．C． D． 【答案】A 【提示】 利用三角形的高线的定义判断即可． 【解答】 解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． ∴只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边． 4．如图，，，下列说法正确的是（       ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】B 【提示】 根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】 解：观察图像可知：是的高， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角形的高，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 5．三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是（　　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【提示】 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【解答】 解：设第三边为a，根据三角形的三边关系可知 7-5<a<7+5，即2<a<12 ∵第三边长为奇数 ∴a可以为3或5或7或9或11． ∴三角形的周长可能的情况包括： 5+7+3=15； 5+7+5=17； 5+7+7=19； 5+7+9=21； 5+7+11=23． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 6．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 【答案】B 【提示】 因为∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即为钝角三角形． 【解答】 解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0º），那么△ABC是钝角三角形． 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是得到∠A一定大于90°． 7．在△ABC中，，则△ABC是（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【提示】 根据设出各角的度数，结合三角形内角和定理求出各角，再根据三角形分类特征判定即可． 【解答】 解：在△ABC中，， 设， 由三角形内角和定理可得， 解得， ， 是一个锐角三角形， 故选：C． 【点睛】 本题考查三角形分类，熟练掌握三角形内角和定理，根据各角比例设未知数求解各个角的度数是解决问题的关键． 8．如图，在中，，，平分，交于，则的大小是（       ） A．45° B．40° C．54° D．50° 【答案】B 【提示】 根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，利用角平分线定义求出答案． 【解答】 解：∵，， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵平分， ∴∠BAD=, 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握三角形的内角和定理求出∠BAC的度数是解题的关键． 9．如图，、都是的角平分线，且，则（       ） A．45° B．50° C．65° D．70° 【答案】B 【提示】 由三角形内角和定理解得，再根据角平分线的性质解得，最后根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】 解： 、都是的角平分线， 故选：B． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10．如图，是中边上的一点，且，点是边上一点，且，，则（       ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【提示】 根据高相等的三角形的面积比等于对应底边长的比得出，，再根据面积的关系求出即可． 【解答】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查高相等的三角形的面积比等于对应底边长的比，找出三角形之间的面积关系是解答本题的关键 ． 11．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 【答案】D 【提示】 根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】 解：∵∠BAC＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°． 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用． 12．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 根据角平分线的性质以及三角形的内角和即可得到答案． 【解答】 解：平分，平分， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质以及三角形内角和的的应用，三角形内角和为180°．根据三角形内角和列出等式是解题关键． 二、填空题 13．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为，则第三边长的范围为________． 【答案】3<x<5 【提示】 根据三角形三边关系解答． 【解答】 解：由题意得4-1<x<4+1， 解得3<x<5， 故答案为：3<x<5． 【点睛】 此题考查了三角形的三边关系：三角形的任一边大于另两边的差，小于另两边的和，熟记三角形的三边关系是解题的关键． 14．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是______． 【答案】1.8 【提示】 根据点到直线的距离的概念解答即可． 【解答】 解：∵BD⊥AC，AD=1.8， ∴点A到BD的距离为1.8， 故答案为：1.8． 【点睛】 本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 15．在中，若，则是______三角形（按角分类）． 【答案】直角 【提示】 设∠C=x°，由∠C=∠B=∠A，可得：∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，然后由三角形内角和定理即可求出∠A、∠B、∠C的度数，即可判断三角形的形状． 【解答】 解：∠C=x°， ∵∠C=∠B=∠A， ∴∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， 即：3x+2x+x=180°， 解得：x=30°， ∴∠C=30°，∠A=3∠C=90°，∠B=2∠C=60°， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定，解题的关键是由∠C=∠B=∠A，得到∠B=2∠C，∠A=3∠C． 16．已知a，b，c是三角形的三条边，化简简|a-b+c|+|a-b-c|＝________． 【答案】2c 【提示】 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【解答】 解：根据三角形的三边关系，得 ， ， 原式 故答案为：2c 【点睛】 此题综合考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，解题的关键是利用三边关系得到各式的符号． 17．如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是12，则△ABE的面积是___． 【答案】3 【提示】 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【解答】 解：∵AD是BC上的中线， ∴， ∵BE是△ABD中AD边上的中线， ∴， ∴， ∵△ABC的面积是12， ∴． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 18．钝角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，则的取值范围是_______． 【答案】0＜β＜18° 【提示】 根据两锐角的和小于90度即可得出结论． 【解答】 解：∵此三角形是钝角三角形， ∴0＜β+4β＜90°，解得0＜β＜18°． 故答案为：0＜β＜18°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 19．如图，中，于，于，若，，则______． 【答案】8 【提示】 根据题目中的条件，利用三角形面积公式 即可求解. 【解答】 解：∵CD、BE分别为AB和AC边上的高. ∴ ∴ ∵， ∴ ∴. 故答案为：8. 【点睛】 本题考查三角形面积公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．如图所示，已知，CD是的平分线，，，则的度数为______． 【答案】88° 【提示】 先根据CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝40°，求出∠BCD的度数，再由三角形内角和定理便可求出∠BDC的度数． 【解答】 解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝20°， ∴∠BDC＝180°−∠B−∠BCD＝180°−72°−20°＝88°． 故答案为：88°． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键． 21．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，则的度数为__． 【答案】108°##108度 【提示】 根据三角形的内角和定理，即可求出∠B，然后根据平行线的性质，即可求出∠ADE，再根据折叠的性质可得∠ADE=，从而求出． 【解答】 解：在△ABC中，∠C=120°，∠A=24°， ∴∠B=180°－∠C－∠A=36° ∵DEBC， ∴∠ADE=∠B=36°， 根据折叠的性质：∠ADE==36°， ∴=180°−∠ADE−=108°， 故答案为：108°． 【点睛】 此题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质． 22．如图，中，点D是BC上的一点，点E是AB的中点，若，且的面积是，则的面积为________． 【答案】 【提示】 根据，得到△ABD的面积是cm2，利用点E是AB的中点，求出△AED的面积=△BDE的面积=2cm2． 【解答】 解：∵若，且的面积是， ∴△ABD的面积是cm2， ∵点E是AB的中点， ∴△AED的面积=△BDE的面积=2cm2， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了三角形中线分三角形面积的性质，同高三角形面积的关系，正确理解三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题 23．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 【答案】（1）图中有：，，，，，共5个； （2）的边：，，，角：，，； （3）是，，的边；是，，的角． 【提示】 （1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可； （2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出； （3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可 【解答】 解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC， 以AD为边的三角形有△ADE，△ADC， 再以DE为边三角形有△DEC， 一共有5个三角形分别为，，，，； （2）的边：，，， 角：，，； （3）是，，的边； 是，，的角． 【点睛】 本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键． 24．如图所示，已知，按下列要求作图： （1）作角平分线AD； （2）作的中线BE； （3）作中AC边上的高BF． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析． 【提示】 （1）利用量角器量出∠BAC的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段AD即可； （2）首先找出AC的中点E，然后画线段BE即可； （3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，另一条直角边过点B，画线段BF即可． 【解答】 （1）如图所示； （2）如图所示； （3）如图所示． 【点睛】 本题考查了画三角形的高、中线、角平分线，关键是注意三角形的高、中线、角平分线都是线段． 25．已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求AB的长． （2）若，求AB的最小值． 【答案】（1）7或9；（2）6． 【提示】 （1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论； （2）根据AC﹣BC=5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值． 【解答】 （1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2， ∴6＜AB＜10， 又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数， ∴AB为奇数，故AB=7或9； （2）∵AC﹣BC=5， ∴AC、BC中一个奇数、一个偶数， 又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数， ∴AB＞AC﹣BC=5， ∴AB的最小值为6． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 26．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）5°；（2）120° 【提示】 （1）先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数； （2）利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA． 【解答】 解：（1）∵∠CAB=50°，∠C=60° ∴∠ABC=180°-50°-60°=70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°， （2）∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAE=5°，∠BOA=120°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB． 27．在中，D是BC边上一点，且，MN是经过点D的一条直线. （1）若直线，垂足为点E. ①依题意补全图1. ②若，则________，________. （2）如图2，若直线MN交AC边于点F，且，求证：. 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【提示】 （1）①根据已知条件画出图形；②根据三角形的内角和计算∠C的度数，由垂直的定义计算即可； （2）根据已知角相等可得内错角相等，根据平行线的判定证明． 【解答】 （1）①如图所示. ②， . ， . ， . 故答案为. （2）， 且， . . 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理、平行线的判定，掌握三角形内角和定理和平行线的判定是解题的关键． 28．在中，     （1）如图1，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （2）如图2，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （3）如图3，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程） 【答案】（1）；（2）；（3）；详细过程见解析． 【提示】 （1）根据角平分线的定义得出∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，求出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-∠A，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据角平分线定义得出∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，根据三角形外角性质得出∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，求出∠ACE=2∠PCE=2∠P+∠ABC，即可得出答案； （3）根据角平分线定义得出∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB，求出∠DBC+∠ECB=180°+∠A，求出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB=90°+∠A，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】 解：（1）∠P=90°+∠A， 理由是：∵BP和CP是角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A， ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（90°-∠A） =90°+∠A； （2）∠P=∠A， 理由是：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACE， ∴∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC， ∵∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC， ∴∠ACE=2∠PCE=2∠P+∠ABC， ∴∠A=2∠P， 即∠P=∠A； （3）∠P=90°-∠A， 理由是：∵BP、CP分别平分∠DBC、∠ECB， ∴∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB， ∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A， ∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）=90°+∠A， ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（90°+∠A） =90°-∠A． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1认识三角形 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 1.按角分类： 要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一、单选题 1．下列图形中没有运用三角形稳定性的是（       ） A． B． C． D． 2．下列各个选项中给出长度的3条线段，其中能首尾依次相连组成三角形的是（     ） A．1cm，2cm，4cm B．4cm，5cm，6cm C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm 3．画的边上的高，正确的是（       ） A．B．C． D． 4．如图，，，下列说法正确的是（       ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 5．三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是（　　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 6．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 7．在△ABC中，，则△ABC是（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 8．如图，在中，，，平分，交于，则的大小是（       ） A．45° B．40° C．54° D．50° 9．如图，、都是的角平分线，且，则（       ） A．45° B．50° C．65° D．70° 10．如图，是中边上的一点，且，点是边上一点，且，，则（       ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 11．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 12．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为，则第三边长的范围为________． 14．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是______． 15．在中，若，则是______三角形（按角分类）． 16．已知a，b，c是三角形的三条边，化简简|a-b+c|+|a-b-c|＝________． 17．如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是12，则△ABE的面积是___． 18．钝角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，则的取值范围是_______． 19．如图，中，于，于，若，，则______． 20．如图所示，已知，CD是的平分线，，，则的度数为______． 21．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，则的度数为__． 22．如图，中，点D是BC上的一点，点E是AB的中点，若，且的面积是，则的面积为________． 三、解答题 23．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 24．如图所示，已知，按下列要求作图： （1）作角平分线AD； （2）作的中线BE； （3）作中AC边上的高BF． 25．已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求AB的长． （2）若，求AB的最小值． 26．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 27．在中，D是BC边上一点，且，MN是经过点D的一条直线. （1）若直线，垂足为点E. ①依题意补全图1. ②若，则________，________. （2）如图2，若直线MN交AC边于点F，且，求证：. 28．在中，     （1）如图1，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （2）如图2，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （3）如图3，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程） www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $