5.5 诱导公式（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.5 诱导公式 第五章 三角函数 北师大版 基础模块上册 学习目标 1．理解诱导公式的推导逻辑，熟记常用诱导公式； 2．能准确运用公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数求解； 3．通过推导诱导公式，体会数形结合、化归与转化的数学思想，提升观察、归纳 和逻辑推理能力。 知识回顾 同学们，在之前的课程中，我们学习了三角函数以及任意角三角函数的基本关系式。接下来，让我们进行简单的回顾： 2.任意角三角函数的基本关系式有哪些？ （1）=1 （2）= 1.什么是三角函数？ 正弦sinα= ，余弦cosα=，正切tanα= (x≠0) 教学引入 我们知道，图像的对称性是函数性质(如奇偶性)的重要几何特征.在上一节，我们借助单位圆推导了同角三角函数的基本关系式. 下面，我们继续利用在平面直角坐标系中关于原点中心对称的单位圆，推导三角函数的诱导公式. 教学引入 问题提出： 我们知道，和（可写为）所对应的角是终边相同的角. 想一想，和，和之间有什么关系？ 教学引入 在平面直角坐标系中，由于和所对应 的角的终边相同，所以由三角函数的定义可 知， ，. 如图所示，角α的终边与单位圆的交点为 P()，终边继续旋转2k(k∈Z)后， 点P()又回到原来的位置，所以各 三角函数值并不发生变化. 导入新知1 我们知道，所有与α终边相同的角，连同α在内， 可以组成一个集合S={β|β=α+ 2k，k∈Z}. 由三角函数的定义可知，角α+ 2k(k∈Z)与角α 的同名三角函数的值相等.于是，当k∈Z时，有 sin(α+2k)=sinα; cos(α+2k)=cosα; tan(α+2k)=tanα． 案例分析 学以致用 教学引入 如图所示，和(可写为+)所对应的角的终边关于坐标原点对称。由三角函数的单位圆定义可得： )， 教学引入 如图所示，设单位圆与任意角α，+α的终边分别相交于点P和P'，则点P和P'关于原点中心对称. 如果点P的坐标是()，那么点P'的坐标应该是(). 教学引入 又由于点P'作为角+α的终边与单位圆的交点，其坐标应该是()，由此得到=,=. 由同角三角函数的关系式知 : 导入新知2 与任意角α的终边关于原点中心对称的角π+α的正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式如下： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα 案例分析 学以致用 教学引入 如图所示，和所对应的角的终边关于x轴对称.假设 和所对应的角的终边与单位圆的交点分别是点P与点P'. 根据对称性可知，点P与点P'的横坐标相同、纵坐标互为相反数.由此得到： 教学引入 如图所示，设单位圆与任意角α，α的终边分别相交于点P和点P'，则点P与点P'关于x轴对称. 如果点P的坐标是()，那么 点P'的坐标是(). 教学引入 由于点P'作为角α的终边与单位圆的交点，其坐标应该是()，由此得到=,=. 由同角三角函数的关系式知 : 导入新知3 与任意角α的终边关于x轴对称的角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式如下： sin(α)=sinα cos(α)=cosα tan(α)=tanα 案例分析 学以致用 教学引入 如图所示，α和α所对应的角的终边关于y轴对称.设单位圆与角α，α的终边分别是点P与点P'，则点P与点P'关于y轴对称.如果点P的坐标是()，那么点P'的坐标是(). 教学引入 由于点P'作为角α的终边与单位圆的交点，其坐标应该是()，由此得到=,=. 由同角三角函数的关系式知 : 导入新知4 与任意角α的终边关于y轴对称的角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式如下. ： sin(α)=sinα cos(α)=cosα tan(α)=tanα 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 请同学们结合本节课所学知识点回答下列问题： 旋转木马每转1圈是2弧度，转了弧度后，它的位置和转多少弧度的位置相同？用诱导公式说明原因。 答案：与(或)位置相同。用α+2k公式可得，，化简为(或)； 原因：诱导公式中“”对应“旋转整数圈”，所以转和转的终边相同——诱导公式 是“旋转循环”的数学表达。 课堂小结 sin(α+2k)=sinα; cos(α+2k)=cosα; tan(α+2k)=tanα． sin(α)=sinα cos(α)=cosα tan(α)=tanα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(α)=sinα cos(α)=cosα tan(α)=tanα 诱导公式一 诱导公式三 诱导公式二 诱导公式四 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】的值等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，则， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知角 的终边上一点 ，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由角 的终边上一点 ，可得 ， 因此，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求值：（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由于， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由角的终边过点，所以， 而，所以， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】若，且，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，因为，所以，因此. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】若点是角终边上一点，则的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为点是角终边上一点，所以，所以． 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】已知，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $