16.3 一次函数（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

16.3 一次函数 第十六章 函数及其图象 学习目标 课时讲解 1 一次函数的定义 一次函数的图象 一次函数的性质 用待定系数法确定一次函数表达式 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时流程 2 知1－讲 感悟新知 知识点 一次函数 1 1. 定义： 一般地，形如 y=kx+b( k， b 是常数， k ≠ 0)的函数，叫做一次函数 .特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx(常数 k ≠ 0)也叫做正比例函数 . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征： (1)k ≠ 0； (2)自变量x的次数是1； (3)常数项b可以是任意实数 . 感悟新知 知1－讲 2. 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数 y=kx ( k ≠ 0 )是一次函数 y=kx+b ( k ≠ 0 ) 中 b=0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 . 知1－练 感悟新知 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1) y= － 2x2； (2) y= ； (3) y=3x2 － x(3x － 2)； (4) y= － . 例1 解题秘方：紧扣一次函数与正比例函数的定义进行识别. (1) y= － 2x2 (2) y= 知1－练 感悟新知 解：因为 x 的次数是 2，所以 y=－2x2 不是一次函数 . 因为 y= =x＋， k= ， b= ， 所以 y= 是一次函数，但不是正比例函数 . 知1－练 感悟新知 (3) y=3x2 － x(3x － 2) (4) y= － . 解：因为 y=3x2－x(3x－2) =2x， k=2， b=0， 所以它是一次函数，也是正比例函数 . 因为 y=－中－不是整式，不符合 y=kx＋b 的形式，所以它不是一次函数 . 知1－练 感悟新知 方法点拨：判断一个函数是不是一次函数的方法 知1－练 感悟新知 1-1. [ 期中· 郑州] 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为( ) A. y= B. y= C. y= D. y=( - )x C 知1－练 感悟新知 1-2.下列说法中， 正确的是(　　) A. y=2x-1 是一次函数，也是正比例函数 B. y=2x-(2x-7)是一次函数，不是正比例函数 C. y=x 既是一次函数，也是正比例函数 D. y=-2x 是正比例函数，不是一次函数 C 感悟新知 知1－练 已知函数 y= ( n2 － 4 ) x2+ ( 2n － 4 ) xm － 2 － ( m+n － 8 ) . (1)当 m， n 为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当 x=1 时的函数值 . 例2 解题秘方：紧扣一次函数定义的三个特征及函数值的求法进行求解 . (1)当 m， n 为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当 x=1 时的函数值 . 知1－练 感悟新知 解： 由题意，得解得 m=3， n= － 2. ∴当 m=3， n= － 2 时，函数是一次函数 . 由(1)得此一次函数表达式为 y= － 8x+7. ∴当 x=1 时， y= － 8×1+7= － 1. 注意隐含条件：一 次项的系数不为0. 知1－练 感悟新知 2-1.已知函数 y=(n＋1)x2＋ (2n－4)x－ (n＋5). (1)当 n 为何值时，函数是一次函数？ 解：若函数是一次函数，则二次项系数是0， 一次项系数不为0. ∴n＋1＝0且2n－4≠0.∴n＝－1. 即当n＝－1时，函数是一次函数． 知1－练 感悟新知 (2)如果函数是一次函数，计算当x=时的函数值 . 感悟新知 知2－讲 知识点 一次函数的图象 2 1.一次函数的图象： 一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b.特别地，正比例函数 y=kx( k ≠ 0)的图象是经过原点(0， 0)的一条直线 . 知2－讲 感悟新知 特别提醒 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系： 一次函数y=kx+b (k≠0，b≠0)的图象可以看成由正比例函数y=kx (k≠0)的图象向上(b>0) 或向下( b<0) 平移｜b｜个单位长度得到. 2. 一次函数图象的画法：因为“两点确定一条直线”， 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再过两点作直线即可. 一般地，画一次函数y=kx+b (k ≠ 0)的图象时，应选取它与y 轴的交点(0，b)和它与x 轴的交点 . 画正比例函数图象时，通常选取(0，0)和(1，k)两点，再过这两点画直线，有时为了方便画图和建立平面直角坐标系，应视具体情况灵活选取两点. 感悟新知 知2－讲 知2－讲 感悟新知 简记为“两点法”作图，有时为了描点简便，可取横、纵坐标为整数的点. 感悟新知 知2－讲 3. 一次函数的图象与k，b 的关系： 在一次函数y=kx+b(k ≠ 0)中，k决定图象的倾斜方向和倾斜程度，若两个一次函数k相同，b不相同，则两直线平行，一条直线可以由另一条直线平移得到；b决定图象与y轴的交点位置，若两个一次函数b相同，则两直线交于y轴上一点(0，b). 感悟新知 知2－讲 4. 一次函数图象的平移 (1)上、下平移： 直线 y=kx+b 向上平移 n ( n>0 )个单位长度得到直线 y=kx+b+n；直线 y=kx+b 向下平移 n ( n>0 )个单位长度得到直线 y=kx+b － n，简记为上加下减(只改变 b ) . (2)左、右平移(拓展)： 直线 y=kx+b 向左平移 m ( m>0 )个单位长度得到直线 y=k ( x+m ) +b；直线 y=kx+b 向右平移 m ( m>0 )个单位长度得到直线 y=k ( x － m ) +b，简记为左加右减(只改变 x ) . 感悟新知 知2－讲 5. 拓展： (1)当直线平行于 x 轴且与 y 轴交点的纵坐标为 b 时，这条直线对应的函数表达式为 y=b. (2)当直线平行于 y 轴且与 x 轴交点的横坐标为 a 时，这条直线对应的函数表达式为 x=a. (3) x 轴、 y 轴分别表示为直线 y=0、直线 x=0. 知2－讲 感悟新知 特别提醒 平面直角坐标系中两直线l1：y=k1x+b1与l2： y=k2x+b2的位置关系： k1， k2，b1， b2的关系 l1 与 l2 的关系 k1≠ k2 l1 与 l2相交 k1≠k2，b1=b2 l1 与l2相 交于 y 轴上的 一点(0， b1)或(0， b2) k1=k2，b1≠ b2 l1 与 l2平行 k1=k2，b1=b2 l1 与 l2重合 感悟新知 知2－练 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象： (1) y1=2x － 1； (2) y2=2x； (3) y3=2x+2. 然后观察图象，你能得到什么结论？ 解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图，然后观察图象特点即可. 例3 知2－练 感悟新知 解： 列表如下： 描点、连线，得到它们的图象， 如图 16.3-1. x 0 1 y1 －1 1 y2 0 2 y3 2 4 知2－练 感悟新知 结论：几个一次函数中的 k 值相等( b 值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线 . 它们可以通过互相平移得到 . 知2－练 感悟新知 3-1.已知一次函数y=mx － (m － 2)的图象过原点，则(     ) A.m>2 B.m<2 C.m=2 D. 不能确定 C 知2－练 感悟新知 3-2. [ 中考 ·长沙 ] 下列函数图象中，表示直线 y=2x ＋ 1 的是(     ) B 知2－练 感悟新知 设直线y= － － 3与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，画出函数图象并求 S △ AOB. 例4 解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答． 知2－练 感悟新知 解： 当 x=0 时， y= － 3， ∴点 B 的坐标为( 0， － 3)； 当 y=0 时， x= － 6，∴点 A 的坐标为(－ 6， 0) . 画出函数图象如图 16.3-2. 由图象可知， OA=| － 6|=6， OB=| － 3|=3，∴ S △ AOB= × 6× 3=9. 知2－练 感悟新知 方法提醒：平面直角坐标系中图形面积的计算方法： 计算直角坐标系中图形面积的方法是先利用点的坐标求出线段的长，然后根据面积公式求图形的面积 . 知2－练 感悟新知 4-1. [ 期末·郑州]如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B. (1)S△AOB=_________ ； (2)点M(3，0) 在x 轴上，若点P是直线AB上一个动点，当S△PBM=S△AOB时，求点P的坐标. 3 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 感悟新知 知2－练 [期中·周口] [教材P49 练习T2] 把一次函数y=3x-2 的图象向上平移2 个单位长度，得到的图象的表达式是( ) A. y=3x-4 B. y=x-2 C. y=5x-2 D. y=3x 例5 知2－练 感悟新知 解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减”进行求解. 解：∵一次函数y=3x-2 的图象向上平移2 个单位长度，∴得到的图象的表达式是y=3x-2+2，即y=3x． 答案：D 知2－练 感悟新知 特别警示：“上加下减，左加右减”这种平移规律，是函数表达式的变化规律，不要将其与点的坐标的平移规律相混淆，点的坐标的平移规律是：上加下减，左减右加. 知2－练 感悟新知 5-1.一次函数y=-2x+3的图象向下平移2 个单位长度后，与y 轴的交点坐标为( ) A.(0，5) B.(0，1) C.(5，0) D.(1，0) 5-2.若直线y=x 向上平移3 个单位长度后经过点(2，m)， 则m 的值为_________ . B 5 感悟新知 知3－讲 知识点 一次函数的性质 3 1. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： (1)若k>0，y 随x 的增大而增大，函数的图象从左到右上升； (2)若k<0，y 随x 的增大而减小，函数的图象从左到右下降． 2. 一次函数y=kx+b(k，b 是常数且k ≠ 0)的图象与k，b 的符号的关系： 感悟新知 知3－讲 一次函数 y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0) k， b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1.由k，b的符号可以确定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限；反之，由直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限也可以确定k，b 的符号 . 2. k 决定一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴交点的位置 . 感悟新知 知3－练 例6 [母题 教材P52 练习T2]已知直线 l1，l2 在平面直角坐标系中的位置如图 16.3-3，点 P1( x1， y1)在直线 l1 上，点 P3( x3， y3)在直线 l2 上，点 P2( x2， y2)为直线 l1，l2 的交点， x2<x1，x2<x3，则(     ) A. y1< y2 < y3 B. y3 < y1 < y2 C. y3 < y2 < y1 D. y2 < y1 < y3 知3－练 感悟新知 解： 观察直线 l1，知 y 随 x 的增大而减小 . ∵ x2<x1，∴ y2>y1. 观察直线 l2，知 y 随 x 的增大而增大 . ∵ x2<x3， ∴ y2<y3. ∴ y1<y2<y3. 解题秘方：紧扣函数的增减性求解 . 答案：A 知3－练 感悟新知 6-1. 已知( x1， y1)，( x2，y2)，( x3， y3)为直线y=－2x＋3 上的三个点，且 x1<x2<x3，则以下判断正确的是(     ) A. 若 x1x2>0，则 y1y3>0 B. 若 x1x3<0，则 y1y2>0 C. 若 x2x3>0，则 y1y3>0 D. 若 x2x3<0，则 y1y2>0 D 感悟新知 知3－练 [母题 教材P52 练习T1]已知一次函数 y= ( 6+3m ) x+ ( m － 4 ) ， y 随 x 的增大而增大，函数图象交y 轴于负半轴上，求 m 的取值范围 . 例7 知3－练 感悟新知 解： 根据题意， 得 解得 － 2<m<4. 所以 m 的取值范围是 － 2<m<4. 解题秘方：紧扣“k， b 的符号与函数的增减性及图象的位置关系”解答 . 知3－练 感悟新知 7-1. [中考·东营] 一次函数y=kx+2(k ≠ 0) 的函数值y 随x 的增大而减小， 当x=-1 时y的值可以是( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 A 感悟新知 知3－练 例8 [ 中考·深圳] 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30 元/ 个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140 元 ②购买2 个足球的价格比购买一个篮球多花费40 元 ③购买5 个篮球与购买6 个足球花费相同 感悟新知 知3－练 (1)请你从上述3 个条件中任选2 个作为条件，求出篮球和足球的单价； 解题秘方：根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； 知3－练 感悟新知 解： 选择②③ . 设每个篮球x 元，每个足球y 元． 由题意，得解得 答：每个篮球60 元，每个足球50 元． (选择①②，①③均可) 感悟新知 知3－练 (2)若该学校要购买篮球，足球共10 个，且足球的个数不超过篮球个数的2 倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 解题秘方：根据一次函数的性质求最值即可． 知3－练 感悟新知 解: 设购买m个篮球，则购买(10-m)个足球． 根据题意，得2m≥ 10-m，解得m≥ ． 设购买篮球和足球的总费用是w元，则w=60m+50(10-m)=10m+500，∵ 10>0，∴w随着m的增大而增大． ∵m≥且m为整数， ∴m的最小值为4，当m=4 时，w取得最小值，为540． 答：当购买4 个篮球时，花费最少，最少费用是540 元. 知3－练 感悟新知 8-1. [中考·烟台] 2025年6 月5日是第54 个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. 知3－练 感悟新知 (1)求甲、乙两种路灯的单价； 知3－练 感悟新知 (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40 盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少. 知3－练 感悟新知 知4－讲 感悟新知 知识点 用待定系数法确定一次函数表达式 4 1.待定系数法：先设待求的函数表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除点(0，0)外的条件即可求出k的值；在一次函数y=kx+b中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出 k和b 的值 . 感悟新知 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： (1)设： 设出含有待定系数的函数表达式； (2)代： 把已知条件中的自变量的值与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ； (3)解： 解方程(组) ，求出待定的系数； (4)代回： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 . 知4－讲 知4－练 感悟新知 [母题 教材 P53做一做]根据下表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的对应值，可得 p 的值为_______ . 例9 x -－2 0 1 y 3 p 0 1 知4－练 感悟新知 解题秘方：紧扣待定系数法求函数表达式的步骤求解，求出函数表达式后再求 p 的值 . 解：设一次函数表达式为 y=kx＋b，由表中对应值可知，当x=－2 时， y=3，当 x=1 时， y=0， 由此得到 解得 ∴ y=－x+1. 当 x=0 时， y=(－1)× 0＋1=1，即 p 的值为 1. 知4－练 感悟新知 9-1. 已知一次函数的图象经过 A( 0， － 4)，B( 1， － 2)两点 . 求： (1)这个一次函数的表达式； 知4－练 感悟新知 (2)一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积 . 一次函数 性质 y随x的减 小而减小 一次函数 应用 求法 图象 画法 位置 k，b的符号 两点法 建模 k>0 k<0 正比例函数 特例 y随x的增 大而增大 课堂小结 解：由(1)得此一次函数表达式为y＝－6x－4. ∴当x＝时，y＝－6×－4＝－12. 解：∵M(3，0)，∴OM＝3，∴AM＝3－2＝1. 由(1)知S△AOB＝3，∴S△PBM＝S△AOB＝3. ①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△ABM＋S△PAM＝×1×3＋×1×＝3，∴＝3， ∵点P在x轴下方， ∴yP＝－3，令－3＝－x＋3， 解得x＝4，∴P(4，－3)； ②当点P在x轴上方时，易知点P在点B上方，则S△PBM＝S△APM－S△ABM＝×1×－×1×3＝3，∴＝9， ∵点P在x轴上方，∴yP＝9， 将y＝9代入y＝－x＋3，得9＝－x＋3，解得x＝－4，∴P(－4，9)． 综上所述，满足条件的点P的坐标为(4，－3)或(－4，9)． 解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元． 根据题意得解得 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元． 解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40－m)盏． 根据题意得m≤(40－m)，解得m≤10. 设购买费用为n元，则n＝60m＋80(40－m) ＝－20m＋3 200. ∵－20<0，∴当m取得最大值时，n取得最小值． 易知m的最大值为10，此时，40－m＝40－10＝30， ∴购买甲种路灯10盏，乙种路灯30盏，可使所需费用最少． 解：设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 将点A(0，－4)，B(1，－2)的坐标分别代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为y＝2x－4. 设该函数图象与x轴交于点C. 当y＝0时，2x－4＝0，解得x＝2， ∴C(2，0)，即OC＝2. 又易知一次函数的图象与y轴交于点A(0，－4)，∴OA＝4， ∴S△AOC＝OA·OC＝×4×2＝4， 即这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4. $