小题限时练7-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

小题限时练7 (分值：73分　时间：45分钟) 一、单项选择题 1．复数的虚部是(　　) A．i B．1 C．－2i D．－2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 024＝(　　) A．2 B．－2 C．－1 D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sin ，cos )，则cos (α＋)＝(　　) A．0 B． C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．函数f(x)＝的图象大致是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为5∶3，母线长为8 cm，其母线与上底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为(　　) A．π cm3 B．π cm3 C．π cm3 D．π cm3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．已知不透明的布袋里装有编号不同且其余完全相同的红色、白色、黑色、蓝色的球各两个，从中随机选四个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两个球不同色的概率为(　　) A． B． C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在[0，2π]上仅有4个零点，直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．设A，B，C，D为抛物线x2＝4y上不同的四点，点A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l，设点D到直线AB和直线AC的距离分别为d1，d2，且d1＋d2＝AD，则sin ∠CAB＝(　　) A． B． C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x) 的值域为(－∞，4) C．若f(x)＝3，则x＝－ D．f(x)<1的解集为(－1，1) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量．已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则(　　) A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则(　　) A．C1F∥AE B．C1F⊥A1D C．点F到平面EAC的距离为 D．过点E作平面α与平面EAC垂直，当α与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的取值范围为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、填空题 12．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，t)，且(2a－b)⊥a，则实数t＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13．已知函数f(x)＝e2x－1－e1－2x＋sin (x－)＋1，则不等式f(2x＋1)＋f(2－x)≥2的解集为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14．甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后(n∈N*)，记球在甲手中的概率为pn，则p3＝________；pn＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 参考答案与解析 小题限时练7 1．解析：选D．因为＝＝1－2i，所以复数的虚部是－2. 2．解析：选A．由题知a2＝＝＝2，a3＝＝＝－1，a4＝＝＝，所以数列{an}的周期为3.所以a2 024＝a3×674＋2＝a2＝2. 3．解析：选B．由题意可得P(，)， 则tan α＝， 所以α＝＋2kπ，k∈Z， 所以cos (α＋)＝cos (＋2kπ＋)＝cos ＝. 4．解析：选D．由题知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故A错误；当x>2时，f(x)＝＝＝x－，又y＝x是增函数，y＝－在(2，＋∞)上是增函数，故f(x)＝x－在(2，＋∞)上是增函数，故B，C错误． 5．解析：选B．根据题意，圆台的轴截面如图所示， 设圆台的上、下底面半径分别为5x cm，3x cm，因为母线长为8 cm，且母线与上底面所成的角为60°，所以圆台的高为8sin 60°＝4(cm)，并且2x＝8×＝4，解得x＝2.所以圆台的上底面半径为10 cm，下底面半径为6 cm，高为4 cm.由此可得圆台的体积为V＝π(102＋62＋10×6)×4＝π(cm3). 6．解析：选B．记至少有两个球颜色相同为事件A，两个球颜色不同为事件B，则 P(A)＝＝＝， P(AB)＝＝＝， 所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两个球不同色的概率为P(B|A)＝＝＝. 7．解析：选C． 因为ω>0，且x∈[0，2π]， 则ωx＋∈， 由题意可得4π≤2πω＋<5π， 解得≤ω<， 又因为直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，则ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，可知k＝0，ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋)， 所以f()＝sin (＋)＝sin (π－)＝sin ＝. 8．解析：选B．如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB， 设A(x0，)，B(x1，)，C(x2，)，则D(－x0，)，所以kBC＝＝，设抛物线在点D处的切线l的方程为y－＝k(x＋x0)， 由 消去y得到x2－kx－kx0－＝0， 由Δ＝k2＋kx0＋＝0， 得到k＝－x0，所以由题得＝－x0，即x2＝－2x0－x1， 所以kAC＝＝＝－， 又kAB＝，所以kAC＝－kAB，得到AD为∠CAB的平分线，又d1＋d2＝AD，所以d1＝d2＝AD，又△AED，△AFD均为直角三角形，所以∠EAD＝∠FAD＝，得到∠CAB＝， 所以sin ∠CAB＝sin ＝. 9．解析：选BC．由题意知函数f(x)的定义域为(－2，＋∞)，故A错误；当x≥1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－2<x<1时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≥1时，令－x＋2＝3，解得x＝－1(舍去)，当－2<x<1时，令x2＝3，解得x＝－或x＝(舍去)，故x＝－，故C正确；当x≥1时，令－x＋2<1，解得x>1，当－2<x<1时，令x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． 10．解析：选AC．设这组数从小到大排列为a，b，c，d，e，f，g， 由中位数为18，故d＝18， 由唯一众数为20，故e＝f＝20或f＝g＝20或e＝f＝g＝20，即可确定f＝20， 对于A，由7×0.8＝5.6，则该组数据的第80百分位数是f，即为20，故A正确； 对于B，该组数据可能为15，15，16，18，20，20，20， 此时＝＝18－<18，故B错误； 对于C，由题可知g≥20，若g≥21，则a＝g－5≥16，此时只有e＝f＝20， 故a<b<c<d＝18，从而有b≥17，c≥18，d≥19，与d＝18矛盾， 故g＝20，故C正确； 对于D，同B中假设，该组数据可能为15，15，16，18，20，20，20，故D错误． 11．解析：选BCD．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，A1(0，0，2)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，C1(2，2，2)，F(1，1，1)， 对于A，C1F＝(－1，－1，－1)，＝(0，2，1)，显然C1F与不共线，即C1F与AE不平行，A错误； 对于B，A1D＝(0，2，－2)，C1F·A1D＝－1×2－1×(－2)＝0，因此C1F⊥A1D，B正确； 对于C，＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，设平面EAC的法向量n＝(x，y，z)， 则令y＝－1，得n＝(1，－1，2)，而＝(1，1，1)， 点F到平面EAC的距离为d＝＝＝，C正确； 对于D，过点E垂直于平面EAC的直线与平面A1B1C1D1相交，交点为N， 则＝λn＝(λ，－λ，2λ)， 点N(λ，2－λ，2λ＋1)， 由2λ＋1＝2，得λ＝， 即N(，，2)， 当平面α经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面α与平面A1B1C1D1的交线绕着点N旋转， 当交线与线段A1D1，C1D1都相交时，α与正方体所成截面为三角形， 令平面α与平面A1B1C1D1的交线交A1D1于点G，交C1D1于点H， 设GD1＝a，HD1＝b，G(0，2－a，2)，H(b，2，2)，＝(－，－a，0)，＝(b－，，0)， 由∥， 得a＋b＝2ab，a，b∈， Rt△D1GH斜边GH上的高 h′＝， 则截面△EGH的边GH上的高 h＝＝， 截面△EGH的面积 S△EGH＝· ＝ ＝ ＝ ＝， 当a∈时，b＝，ab＝·＝(2a－1＋＋2)∈，所以S△EGH∈，D正确． 12．解析：由题意，得(2a－b)·a＝0，即5×1＋(4－t)×2＝0，解得t＝. 答案： 13．解析：由已知得f(1－x)＝e1－2x－e2x－1＋sin (－x)＋1＝e1－2x－e2x－1－sin (x－)＋1， 所以f(x)＋f(1－x)＝2， 即f(1－x)＝2－f(x)， 则不等式f(2x＋1)＋f(2－x)≥2等价于f(2x＋1)≥2－f(2－x)＝f(x－1)， 由f′(x)＝2e2x－1＋2e1－2x＋cos (x－)>4－＝4－>0， 可得f(x)在R上单调递增，所以2x＋1≥x－1，解得x≥－2. 答案：[－2，＋∞) 14．解析：由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4种情况： ①：甲→甲→甲→甲，其概率为××＝； ②：甲→甲→乙→甲，其概率为××＝； ③：甲→乙→甲→甲，其概率为××＝； ④：甲→乙→丙→甲，其概率为××＝. 所以投掷3次后，球在甲手中的概率为p3＝＋＋＋＝. 设投掷n次后，球在乙手中的概率为qn， 所以当n≥2时，pn＝pn－1＋qn－1＋(1－pn－1－qn－1)＝－qn－1＋， qn＝pn－1＋(1－pn－1－qn－1) ＝－qn－1＋， 所以qn－＝－(qn－1－)， q1－＝－＝， 所以数列是以为首项，－为公比的等比数列，所以qn－＝·(－)n－1，qn＝·(－)n－1＋，所以pn＝－·(－)n＋(n≥2)，p1＝符合该式， 所以pn＝－·(－)n＋. 答案：　－·(－)n＋ 学科网（北京）股份有限公司 $