专题4 第2讲 概率-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第2讲 概 率 考情分析 备考关键 考点 古典概型、相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查.互斥事件、古典概型概率的求解，定义法判断或求解相互独立事件.条件概率、全概率公式常以解答题的形式考查. 要明确概率模型，掌握计算公式，求古典概型概率问题的关键是准确计算样本点的个数，判断两个事件是否相互独立的方法是定义法和转化法，计算条件概率用条件概率公式及全概率公式. 做真题 明方向 1．[2024·全国甲卷]某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.画出树状图： 则甲、乙、丙、丁四人的出场次序共有24种排法，其中丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的排法共有8种，所以所求概率为. 2．[2024·天津卷],,,,五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为________；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为________． 【答案】； 【解析】由题意知甲选到 的概率；记乙选择 活动为事件，乙选择 活动为事件，则，， 所以. 3．[2024· 新课标Ⅰ卷]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛.在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________. 【答案】 【解析】因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3. 若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：，，，. 若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为，，，； 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有，，，或，，，或，，，，共3种组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7种组合． 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有（种），所以甲的总得分不小于2的概率. 研考点 破重难 考点一 古典概型 1.古典概型的概率公式 . 2.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能同时发生. 3.两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立. ［例1］ 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为,,则（ ） A. 的概率为 B. 能被5整除的概率为 C. 为偶数的概率为 D. 的概率为 【答案】B 【解析】设试验的样本点，样本点总数，对于A，“”包含的样本点有,,，,，共5个，所以,故A错误；对于B,“能被5整除”包含的样本点有，，，，，，，共7个，所以（能被5整除）,故B正确；对于C，“为偶数”的对立事件为“为奇数”，“为奇数”等价于“和均为奇数”，所以（为奇数），故（为偶数），故C错误；对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，易知，所以,所以，故D错误. 求古典概型概率的注意点 （1）对于较复杂的题目，列出样本点数时要正确分类，分类时要做到不重不漏. （2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率 ［对点训练］． 1．[2024·杭州重点中学联考]第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物挂件完全相同，无区别）．若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A. B. C. D. 2．[2024·湖南名校联考]（多选）已知随机事件，满足，，则（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件，互斥，则 【答案】1．D 2．AC 【解析】 1．选D.设6个挂件分别为A，A，B，B，C，C，则将这6个挂件分为3组，每组2个，有5种可能的情况：，，；，，；，，；，，；，，.再将这分成3组的挂件分给3位同学，有 种情况，恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件为分组①②③，有 种情况，所以恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是. 2．选.对于A，因为事件A，B互斥，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，事件A与事件B是互斥事件，则 为必然事件，所以，故D错误. 考点二 相互独立事件的概率 事件的相互独立性 （1）定义：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立. （2）性质：若事件与相互独立，则与,与，与也都相互独立. ［例2］ （1） [2024·日照一模]已知样本空间,,,含有等可能的样本点，且,，,,则（ ） A. B. C. D. 1 （2） [2024·上海春季卷]有四个礼盒，前三个里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面上述三种礼品都装的有，现从中任选一个礼盒．设事件为“所选礼盒中有中国结”，事件为“所选礼盒中有记事本”，事件为“所选礼盒中有笔袋”，则下列说法中正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 由题意得，，，，所以，所以事件A与B相互独立，则A与 也相互独立，所以. （2） 由于第四个礼盒中既有中国结，又有记事本，若抽到第四个礼盒，则事件A和事件B就同时发生了，因此事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；由于，，,因此事件A与事件B相互独立，故B正确；由于第四个礼盒中既有中国结，又有记事本，还有笔袋，若抽到第四个礼盒，则事件A和事件 就同时发生了，因此事件A与事件 不是互斥事件，故C错误；由于，，，因此事件A与事件 不是相互独立的，故D错误. 求相互独立事件的概率的方法 （1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. （2）正面计算较复杂（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可计算其对立事件. ［对点训练］．[2024·四川名校联考]某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对的概率为，乙队和丙队答对的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题．则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率. 考点三 条件概率与全概率公式 1.条件概率的性质 设，则 （1）； （2）若与是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则. 2.全概率公式 一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ,且，,2, ,,则对任意的事件 ，有. 角度1 条件概率 ［例3］ （多选）一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，2， ，10，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由题意，. 事件 表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”， 则，A错误； 事件 表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，B正确； ，C正确； 事件 表示“第2，10只出笼的猫都是黑猫”， 则， 则，D正确. 条件概率的两种求解方法 角度2 全概率公式 ［例4］ 芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块、8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为，则甲生产该芯片的次品率为________． 【答案】 【解析】设，分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的，“取得的芯片为次品”，甲生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得，解得． 利用全概率公式的思路：首先按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件，然后求和所求事件在各个互斥事件发生的条件下的概率，代入全概率公式计算． ［对点训练］． 1．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件“取到的两个数的和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则________. 2．[2024·长沙适应性考试]已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球，现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为__________. 【答案】1． 2． 【解析】 1．因为,所以，则，所以. 2．设事件“在甲盒中取到红球”，“在乙盒中取到红球”.因为甲盒中有3个红球，2个黄球，所以，，又乙盒中有2个红球，1个黄球，所以，，所以. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $