专题3 第3讲 空间角、距离的计算 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．如图，已知圆柱的高和底面半径均为4，为上底面圆周的直径，点是上底面圆周上的一点且，是圆柱的一条母线，则点到平面的距离为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】选D.由题可得，因为，所以.因为 平面，且，所以.因为，所以，所以.设点 到平面 的距离为，又,即，解得. 2．[2024·武汉五调]已知菱形，，将沿对角线折起，使以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大，则此时异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.记 的中点为，连接,,因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，此时，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,所以，，设异面直线 与 所成的角为 ,则，，所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 3．在四面体中， ，，，，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由题意知，，两两垂直，以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ，，， 连接，所以，， ， ， ， 所以点 到直线 的距离 . 4．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，，，分别为，，的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.设正三棱柱的棱长为2，取 的中点D，连接，，可得,,两两垂直， 以D为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，.设平面 的法向量为，则 取，则，，故 为平面 的一个法向量，所以，所以 与平面 所成角的正弦值为. 5．（多选）已知正方体的棱长为1，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】选.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，. 设 ，则， ， 故点A到直线 的距离，故A错误； 易知，平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离,故B正确;,,. 设平面 的法向量为， 则 所以 令，得，，所以. 所以点 到平面 的距离. 易得平面 平面， 所以平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离，所以平面 与平面 间的距离为，故C正确； 因为， 所以， 又，则， 所以点 到直线 的距离 ，故D错误. 6．如图，若矩形的两边，， 平面，且，则二面角的正切值为________. 【答案】 【解析】如图，过点 作，垂足为，连接，由题知，，所以 是二面角 的平面角.因为，所以，所以，所以二面角 的正切值为. 7．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（包括端点），则直线与直线所成角的正弦值的最小值为________. 【答案】 【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，，，， 设，得，所以， ， 因为，所以，， 则，所以直线 与直线 所成角的正弦值的最小值为. 8．[2024·宁波“十校”联考]已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，. （1） 证明：平面 平面； （2） 若，与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 【答案】 （1） 证明：由题得在 中，，可得，，从而 是等边三角形，平分，因为 为 的中点，所以，所以， 又因为，且， 平面，所以 平面，又因为 平面，所以平面 平面. （2） 解：取 的中点，连接，因为，所以 于点，因为平面 平面，平面 平面， 平面,所以 平面，连接，可得 为 与平面 所成的角，则， 在 中，， 在等边三角形 中，为 的中点，可得,，在 中，可得， OB,,两两垂直，故以 为原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，， 设， 可得， 则， 由 解得，，满足题意， 所以点 到平面 的距离为. ［B 综合运用］ 9．[2024· 新课标Ⅱ卷]如图，平面四边形中，，，， ， ，点，满足，.将沿翻折至，使得． （1） 证明：； （2） 求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】 （1） 证明：由题得，，，又 ， 所以由余弦定理得，故. 又，所以. 由 及翻折的性质知，， 又，， 平面，所以 平面.又 平面，所以． （2） 解：如图，连接，又，， ，故. 又，，所以，故． 又，，， 平面，所以 平面. EF，，两两垂直，故以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 连接，则，，，． 设平面 的法向量为， 则 可取. 设平面 即平面 的法向量为， 则 可取. . 故平面 与平面 所成二面角的正弦值为. 10．[2024·贵阳适应性考试]如图，正三棱柱中，，.设点为棱上（包含端点）的一点，过点，作平面的垂面 . （1） 画出平面 与正三棱柱表面的交线（保留作图痕迹，不需证明）； （2） 若点到平面 的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】 （1） 解：平面 与正三棱柱 表面的交线如图1中的四边形 所示.（画法：如图1，连接，分别取，的中点，，连接，，过点 作 的平行线，交 于点，连接，则四边形 即为所求.） （2） 如图2，连接，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设， 则点 的坐标为. ，， 设平面 的法向量为， 则 所以 则，令，则 ， 所以. 又，所以点 到平面 的距离，得，所以. 因为，所以直线 与平面 所成的角等于直线 与平面 所成的角. 记直线 与平面 所成的角为 ， 则，所以直线 与平面 所成角的正弦值为. ［C 素养提升］ 11．如图，已知多面体中， 底面，，，点是以为直径的半圆上的动点（异于，两点），为正三角形. （1） 若，求证：平面； （2） 记，问 能否为整数.若能，求出 的值，并求此时二面角的余弦值；若不能，请说明理由. 【答案】（1） 证明：由题意可得，则，又 为锐角，则 ，因为 为正三角形，所以 ，可得 ，即.所以，又 平面， 平面，所以 平面. （2） 解：由已知得，所以 为等腰三角形，其底边 上的高为2，.设， 则，，易知， 则. 所以， 则， 整理得关于 的方程， 由，得，若 为整数，则. 此时，满足题意.下面求二面角 的余弦值.以 为坐标原点，所在直线为 轴，在平面 内过点 作 的垂线为 轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，则有，，，，，，，. 设平面 的法向量为，则 取，则，，所以平面 的一个法向量为. 设平面 的法向量为， 则 取，则，，所以平面 的一个法向量为.所以，由图可知所求二面角为钝角，故二面角 的余弦值为. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $