专题3 第2讲 空间点、线、面的位置关系-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第2讲 空间点、线、面的位置关系 考情分析 备考关键 考点 空间位置关系的判定，平行、垂直关系的证明，翻折问题. 考法 高考对此部分的考查，一是空间线面关系命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查，属于中档题. 一是要熟练掌握空间中平行关系与垂直关系的判定定理与性质定理，这是证明平行、垂直关系的理论依据，注意条件的完整性；二是要熟练掌握三角形、特殊四边形等平面多边形中的线线平行与垂直关系，这是证明空间平行与垂直关系的起点；三是明确平面图形翻折前后的相关位置关系的变化. 做真题 明方向 1．[2024·天津卷]若,为两条直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 , ，则 C. 若 , ，则 D. 若 , ，则与相交 【答案】C 【解析】选C.对于A，B，若 ， ，则 与 可能平行、相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若 , ,则，且 与 可能相交，也可能异面，故C正确，D错误． 2．[2023·全国甲卷]如图，在三棱柱中， 平面, ． （1） 证明：平面 平面； （2） 设,，求四棱锥的高． 【答案】 （1） 证明:因为 平面， 平面，所以, 因为 ，所以, 又,, 平面，所以 平面,又 平面，所以平面 平面. （2） 解：如图，过点 作，交 于点，由（1）知平面 平面，又平面 平面， 平面，所以 平面，即四棱锥 的高为. 由题意知,, ,则，故. 又， ，所以. 在等腰直角三角形 中，,为斜边中线，所以,故四棱锥 的高为1. 研考点 破重难 考点一 空间位置关系的判定 1.直线、平面平行的判定及其性质 （1）线面平行的判定定理： ， ， . （2）线面平行的性质定理： ， ，. （3）面面平行的判定定理： ， ，， ， . （4）面面平行的性质定理： ，，. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 （1）线面垂直的判定定理： ， ，，， . （2）线面垂直的性质定理： ，. （3）面面垂直的判定定理： ， . （4）面面垂直的性质定理： ，， ， . ［例1］ （1） [2024·武汉四调]设，是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若， ，则 （2） [2024·黄山模拟]（多选）如图，已知正方体，点，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与共面 B. 平面平面 C. D. 平面 【答案】（1） C （2） AB 【解析】 （1） 如图所示，对于A，设平面 为平面，平面 为平面，为，则 ， ，但 ，故A错误；对于B，设平面 为平面，平面 为平面，为，则 ， ，但 ，故B错误；对于C，过 作平面 与平面 交于直线， ，则， ，可得，则，故C正确；对于D，设平面 为平面，为，为，则， ，但 ，故D错误. （2） A中，在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，连接，所以，而，所以，可得A，，，四点共面，所以 与 共面，所以A正确；B中，由A知,又 平面， 平面，所以 平面，同理，平面，又，, 平面，所以平面 平面，所以B正确；C中，因为，且，,即四边形 为等腰梯形，所以 与 不垂直，所以C不正确；D中，由B知，平面 平面， 平面，所以 与平面 不平行，所以D不正确. 判断与空间位置关系有关的 命题真假的三种方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定、性质、定义进行判断. （2）借助反证法，当从正面入手较难时，可以利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. （3）借助空间几何模型，例如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定. ［对点训练］．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ） A. 直线与直线异面 B. 直线与直线异面 C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】选B.由题意知该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示. 易得，，则，故直线，共面，则直线，共面，B错误；由 平面， 平面，不在直线 上，得直线 与直线 异面，A正确；由,平面， 平面，知 平面，C正确；由，平面， 平面，得 平面，D正确. 考点二 平行、垂直关系的证明 ［例2］ 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 平面， ，，为的中点. （1） 若为的中点，求证：平面； （2） 求证：平面 平面. 【答案】 （1） 【证明】设，连接，， 因为底面 为矩形， 所以 是，的中点， 又因为，分别为,的中点， 所以，. 因为, 平面，, 平面， 所以 平面，平面. 因为,, 平面，所以平面 平面. 又因为 平面，所以 平面. （2） 因为 平面， 平面，所以，因为 ，所以.因为，， 平面，所以 平面.因为 平面，所以.因为，为 的中点，所以.因为，， 平面，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面. 平行关系及垂直关系的转化 ［对点训练］．如图,是所在平面的一条斜线，点是在平面上的射影，且在的高上.，与之间的距离为，点. （1） 证明是二面角的平面角； （2） 当时，证明 平面. 【答案】 （1） 证明：由题意及题图知，， 平面，， 因为 平面，所以. 又因为,, 平面，所以 平面， 因为 平面， 所以，又， 所以 为二面角 的平面角. （2） 由已知，，在 与 中，，所以，又因为 ，所以 ，故有，由（1）得 平面， 平面，所以，又，， 平面，所以 平面. 考点三 翻折问题 ［例3］ （多选）如图，在矩形中，，分别为，的中点，且，现将沿向上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BD 【解析】对于A，， ，因此，不平行， 即不存在点，使得，故A错误； 对于B，如图， 取 的中点，连接，，，，当 时， 因为， 即，则， 而，，， 平面，所以 平面， 又，分别为，的中点， 则，于是 平面，而 平面，则，故B正确； 对于C，假设，又，，， 平面， 所以 平面， 所以，这与 矛盾，故不存在点，使得，故C错误； 对于D，在翻折过程中，设 与平面 所成的角为 ， 则点 到平面 的距离 ， 又 的面积为， 因此三棱锥 的体积为 ， 当且仅当 ，即 平面 时，等号成立， 所以三棱锥 体积的最大值为，故D正确. 翻折问题的处理策略 （1）解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，相对位置关系也不变，而处在折线两侧的线、面位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决此类问题的突破口. （2）在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形，善于将翻折后的量放在原平面图形中进行分析求解. ［对点训练］． 1．已知正方形中，为的中点，为的中点，，分别为，上的点，，，将沿着翻折得到空间四边形，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ） A. B. 与相交 C. 与异面 D. 与异面 2．[2024·开封质检]在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为 的二面角，当点与点之间的距离为3时，________. 【答案】1．B 2． 【解析】 1．选B.如图，由，，得 且，由，分别为，的中点，得 且，所以，且，所以四边形 为梯形.梯形 的两腰，延长必交于一点，所以 与 相交，与 平行，故A，C，D不正确，B正确. 2．分别作，，垂足为，，则，.由，可得，所以，，.因为，则 ，故. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $