专题2 第3讲 数列的求和-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第3讲 数列的求和 考情分析 备考关键 考点 分组求和与并项、裂项相消法、错位相减法求和. 考法 近几年高考，数列求和常出现在解答题的第二问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档. 一是要明确数列求和方法选择的依据，所以准确求解通项公式是解决求和问题的基础；二是要辨清数列通项公式的结构特征，准确利用想用的求和方法；三是求和之后可以利用数列前几项代入验证，检验结果是否准确. 做真题 明方向 1．[2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.方法一：设等差数列 的公差为， 由， 得, 则 . 方法二：因为 为等差数列， 所以，得, 则,故选B. 2．[2024· 新课标Ⅱ卷]记为等差数列的前项和.若，，则__. 【答案】95 【解析】方法一：设 的公差为，由，，解得，，则. 方法二：设 的公差为，由，，得，，故，，则. 3．[2023· 新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，． （1） 求的通项公式； （2） 证明：当时，． 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为. 因为 所以,,. 因为,, 所以 整理，得 解得 所以 的通项公式为. （2） 证明：由（1）知, 所以 所以. 当 为奇数时，. 当 时，, 所以. 当 为偶数时，. 当 时，, 所以. 综上所述，当 时，. 研考点 破重难 考点一 分组求和与并项求和 ［例1］ 已知正项数列满足，. （1） 求的通项公式； （2） 若数列满足,求的前项和. 【答案】 （1） 【解】由, 得当 时， ， 因为，故． 当 时，符合，所以. （2） 因为 ， 所以． （1）分组转化法求和 数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求通项公式，然后通过对通项公式变形，转化为等差（等比）数列或可求前项和的数列． （2）分组转化法求和的常见类型 ［对点训练］1．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1 033 B. 2 057 C. 1 034 D. 2 058 【答案】A 【解析】选A.由题得，，.所以,所以. 2．[2024·南京六校联考]在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ） A. 2 045 B. 2 046 C. 4 093 D. 4 094 【答案】C 【解析】选C.由，得，又，解得， 所以 的前11项的和为. 考点二 裂项相消法求和 ［例2］ 已知等比数列的前项和为,且满足,. （1） 求数列的通项公式； （2） 设,求数列的前项和. 【答案】 （1） 【解】设等比数列 的公比为, 由题意可知，,① ，② 显然,, 则 得，, 解得,将 代入①式得，, 所以. （2） 由（1）可知，, 所以, 所以 , 所以 . 裂项相消法求数列前 项和的基本步骤 注意 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. ［对点训练］．已知等差数列的公差为2，前项和为,且,,成等比数列. （1） 求数列的通项公式； （2） 令,求数列的前项和. 【答案】 （1） 解：因为,,. 由题意得, 解得,所以. （2） . 当 为偶数时，. 当 为奇数时，+…-. 所以 或. 考点三 错位相减法求和 ［例3］ [2024·安徽一模]己知数列满足,且. （1） 求数列的通项公式； （2） 证明：. 【答案】 （1） 【解】, 故 为常数列， 其中,故, 故,即. （2） 证明：设，的前 项和为, 则,,① ,② 得， , 故, 即. 运用错位相减法求和的关键 注意①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“”和“”的表达式时将两式“错项对齐”，以便准确写出“”的表达式. ［对点训练］．已知公差不为0的等差数列的前项和为,是与的等比中项，. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和. 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为. 则 即 解得 所以. （2） 由（1）得,① 则,② 得,所以. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $