专题01 三视图与表面展开图的重难点题型汇编（十大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版九年级下册

专题01 三视图与表面展开图的重难点题型汇编 题型一：平行投影 题型二：中心投影 题型三：正投影 题型四：简单几何体的三视图 题型五：由三视图还原几何体 题型六：求几何体的表面积和体积 题型七：圆锥侧面积 题型八：求圆锥底面的半径/周长 题型九：求圆锥侧面展开的圆心角 题型十：圆锥侧面展开最短路径问题 题型一：平行投影 1．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影的定义，掌握平行投影的定义是解题的关键．根据太阳光线是平行的，同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的，影子的方向也应相同即可求解． 【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 3．在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 【答案】60 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 4．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 【答案】 【分析】该题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据题意证明四边形是矩形，得出，根据太阳光线与地面成的角，得出，求出，在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，根据题意是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 5．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 6．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的影子落在墙上的长度为 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确地构造直角三角形． （1）连接，过点作的平行线即可； （2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可． 【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 题型二：中心投影 1．如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键． 根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， 表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯， 当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，， 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短； 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长； ∴小颖在地上的影子先变短后变长， 故选：A ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 【答案】6 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． 3．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【答案】(1)先变短后变长； (2)见解析 (3)路灯的高度是米． 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据光是沿直线传播的道理分析即可； （2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子； （3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长， 故答案为：先变短后变长； （2）解：如图，线段即为所求作影子； （3）解：如图，连接并延长交直线于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 即路灯的高度是米． 题型三：正投影 1．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 3．如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过A作，交于C点．求出的值，可得结论． 【详解】解：过A作，交于C点．    ∵线段在平面α内的正投影为，，， ∴， ∴，且，则即为所求． ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得． 【详解】解：过点A作于点C， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 题型四：简单几何体的三视图 1．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 2．科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据此灯罩的俯视图特点即可求解． 【详解】解：俯视图是个同心圆，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，根据题意两个圆的轮廓都能看见，所以是两个实线的同心圆． 故选：B ． 3．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据该几何体的三视图逐一判断即可． 此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是能正确区分几何体的三视图． 【详解】解：A、该图是左视图，故此选项不合题意； B、该图不是几何体的三视图，故此选项符合题意； C、该图是主视图，故此选项不合题意； D、该图是俯视图，故此选项不合题意； 故选：B． 4．如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    【答案】详见解析 【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，    【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图.要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 题型五：由三视图还原几何体 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】此题考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟悉圆柱的三视图． 根据几何体的三视图分析解答即可 【详解】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆柱， 故选：C． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图还原几何体，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据三视图进行判断即可． 【详解】解：由三视图可知：几何体的下部分是圆柱体，上部分是圆锥体，且圆柱和圆锥的底面直径相等． 故选D． 3．下面的三视图对应的物体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查由三视图还原实物基本能力，因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此逐项分析即可． 【详解】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有A满足这两点， 故选：A． 4．如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（　　）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B． 【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为：   ． 故选：C． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识． 5．图中的三视图所对应的几何体是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由主视图和左视图、俯视图可判断出此几何体即可． 【详解】解：从俯视图看，有三列，几何体个数分别为3，1，2， 可排除C、D选项， 从主视图看，有三列，几何体个数分别为2，2，1， 再排除A选项， 此几何体只有B选项符合， 故选：B． 【点睛】本题考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状． 6．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若该几何体所用小立方块的个数为，则的最大值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据主视图、俯视图，求出摆放最多时的正方体的个数，进而求出答案． 【详解】解：根据主视图、俯视图，可以得出最多时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下： 最多时需要13个， 因此的最大值为13． 故选：D． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上相应位置标出所摆放的个数是解决问题的关键． 题型六：求几何体的表面积和体积 1．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 2．如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图可知这个几何体是正三棱柱，根据勾股定理求得正三角形的高，进而求得底面面积，根据主视图得出高为，即可求得体积． 【详解】解：根据题意得：正三角形的高为：； ∴这个几何体体积是， 故选：D． 【点睛】考查了由三视图确定几何体和求几何体的体积等相关知识，根据三视图求得底面面积是解题的关键． 3．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 4．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 答：该工件的体积是． 题型七：圆锥侧面积 1．一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 2．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的表面积的计算，根据表面积等于侧面积加上一个圆的面积计算全面积即可． 【详解】解：， ． 故选D． 3．已知圆锥的底面圆直径为6，侧面积为，则圆锥的母线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即圆锥的母线长为， 故选：D． 4．在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算．先根据勾股定理计算出，然后分类讨论：当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4；当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为3，再分别根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积； 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积． 故选：C． 5．如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键：圆锥的侧面积公式为（r为底面半径，l为母线长）． 画纵切面图，求出母线长以及截得的小圆锥体的底面半径和母线长，则圆台的表面积用计算即可． 【详解】解：如图，设圆锥沿高线的纵切面为，则半径为，高为， ∴母线长为， ∴居中的横断面半径为，上部圆锥的母线长为， ∴圆台的表面积为： ， 故选：A． 6．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据底面圆的面积即可得到底面圆的半径为，再根据圆柱的侧面积及圆锥的高即可解答． 【详解】解：∵底面圆面积， ∴底面圆的半径为， ∵圆柱高为，圆锥高为， ∴圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， ∴需要毛毡的面积是：， ∴故选． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，勾股定理，掌握圆柱的侧面积是解题的关键． 题型八：求圆锥底面的半径/周长 1．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【答案】A 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 2．如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 3．一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得． 【详解】解：这个圆锥的底面周长为 故选：C． 4．如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求得弧的长即为圆锥的底面周长，求得底面半径再由勾股定理解答即可． 【详解】解：过B作于点P，连接，      ∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵的圆心角为， ∴的长为， ∴圆锥底面半径， ∴圆锥高为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，三角函数，弧长公式，勾股定理，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积． 题型九：求圆锥侧面展开的圆心角 1．圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可. 【详解】圆锥的底面半径为 圆锥的侧面展开扇形的弧长为 母线长 圆锥的侧面展开扇形的面积为 解得， 侧面展开图的圆心角度数为 故答案选A． 【点睛】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键． 2．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故选：A． 3．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 4．如图，圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数．根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：为边长为的等边三角形， ∴圆锥底面圆的半径为，母线长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∴， ∴， 故选：D． 5．装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图1）和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽（如图2），则橙色扇形卡纸的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面扇形的相关计算，掌握勾股定理，扇形圆心角度数的计算是解题的关键． 根据题意可得圆锥底面圆的半径为，则有锥形侧面展开图的扇形的弧长为，根据扇形弧长公式（是扇形弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形半径）可求出扇形的圆心角的度数，根据橙色扇形卡纸所占的比例即可求解． 【详解】解：已知母线长为、高为的锥形草帽， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的周长，即锥形侧面展开图的扇形的弧长为， 又锥形侧面展开图的扇形的半径为， ∴该扇形的圆心角的度数， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴橙色扇形卡纸的圆心角的度数， 故选：D ． 题型十：圆锥侧面展开最短路径问题 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 2．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 3．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三视图与表面展开图的重难点题型汇编 题型一：平行投影 题型二：中心投影 题型三：正投影 题型四：简单几何体的三视图 题型五：由三视图还原几何体 题型六：求几何体的表面积和体积 题型七：圆锥侧面积 题型八：求圆锥底面的半径/周长 题型九：求圆锥侧面展开的圆心角 题型十：圆锥侧面展开最短路径问题 题型一：平行投影 1．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A．B．C． D． 2．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 3．在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 4．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 5．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 6．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 题型二：中心投影 1．如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 2．如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 3．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 题型三：正投影 1．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 2．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 3．如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    4．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　） A． B． C． D． 题型四：简单几何体的三视图 1．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（   ） A．B． C． D． 3．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    题型五：由三视图还原几何体 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（　　） A． B． C． D． 3．下面的三视图对应的物体是（   ） A． B． C． D． 4．如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（　　）    A．  B．   C．   D．   5．图中的三视图所对应的几何体是（　　） A．B．C．D． 6．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若该几何体所用小立方块的个数为，则的最大值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型六：求几何体的表面积和体积 1．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 4．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 题型七：圆锥侧面积 1．一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面圆直径为6，侧面积为，则圆锥的母线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 5．如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 6．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　）    A．B．C． D． 题型八：求圆锥底面的半径/周长 1．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 2．如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 题型九：求圆锥侧面展开的圆心角 1．圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（    ） A． B． C． D． 2．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（    ）    A． B． C． D． 5．装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图1）和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽（如图2），则橙色扇形卡纸的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十：圆锥侧面展开最短路径问题 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 2．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 3．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $