【福建专用】45分钟综合训练卷（4）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 基础模块上册》（高教版）教材第5～8章以及数列、向量章节。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点，则线段中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（   ） A．6，22 B．3，22 C．6，11 D．3，11 4．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两套设备生产的同类型产品共件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）件. A．1800 B．1600 C．1900 D．1000 6．两条平行直线与的距离是（   ） A．5 B． C． D． 7．计算 （ ） A． B． C． D． 8．某次考试后，对甲、乙两个班的数学成绩进行统计分析，根据分层抽样法从每班抽取了10名同学的试卷，记录成绩如下（百分制）： 甲班：81，88，85，84，91，87，88，82，89，85； 乙班：89，84，85，88，90，90，84，83，87，80． 由此可以估计，甲、乙两个班（　　） A．平均分一样但甲班的波动性较大 B．平均分一样但乙班的波动性较大 C．平均分甲班高但甲班的波动性较大 D．平均分乙班高但乙班的波动性较大 9．已知向量，满足，，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知函数，则 . 12．在等比数列中，若，则公比 . 13．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在 内，其中支出金额在内的学生有人，频率分布直方图如图所示，则等于 ．      14．若圆与直线只有一个公共点，则的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人. 口罩使用数量 频率 0.2 m 0.3 n 0.1    (1)求m，n的值； (2)根据表中数据，完善上面的频率分布直方图； (3)计算A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差. 16．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 17．已知数列的前项和记为，首项. (1)若是等差数列，且，求该数列的通项公式； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求该数列的前项和. 18．2025年5月阿富汗加入中巴经济走廊，其作为“一带一路”倡议的旗帜项目升级为中巴阿经济走廊.我国与阿富汗“一带一路”合作国家计划联合修建一条跨国铁路和圆形环城公路，如图所示.跨国铁路直线从我国西部喀什地区通往阿富汗港口；环城公路以阿富汗首都喀布尔为圆心，规划半径为3公里的圆形公路，用于连接周边卫星城.    (1)求铁路线的直线方程； (2)判断港口是否在环城公路的圆形路径上，并说明理由； (3)若阿富汗计划在铁路线上修建一座车站，要求车站到首都C的距离最短，求该车站的坐标及最短距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 基础模块上册》（高教版）教材第5～8章以及数列、向量章节。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点，则线段中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式求值即可. 【详解】已知点， 则线段中点的坐标，即. 故选：D. 2．直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程即可求解交点坐标. 【详解】联立方程，解得， 所以两直线交线为． 故选：A. 3．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（   ） A．6，22 B．3，22 C．6，11 D．3，11 【答案】A 【分析】根据长方体的体积和表面积公式分别求解即可. 【详解】长方体的长，宽，高分别为3，2，1， 长方体的体积为， 长方体的表面积为． 故选：A. 4．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点求解. 【详解】∵，则， 令，， ∴函数的图像过定点． 故选：C. 5．甲、乙两套设备生产的同类型产品共件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）件. A．1800 B．1600 C．1900 D．1000 【答案】A 【分析】根据题意结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】样本容量为80，抽取的比例为， 又样本中有50件产品由甲设备生产，样本中30件产品由乙设备生产， 乙设备生产的产品总数为． 故选：. 6．两条平行直线与的距离是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两平行线之间的距离公式求值即可. 【详解】已知两条平行直线与， 则它们之间的距离为． 故选：D. 7．计算 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算即可得解. 【详解】 ， 故选：. 8．某次考试后，对甲、乙两个班的数学成绩进行统计分析，根据分层抽样法从每班抽取了10名同学的试卷，记录成绩如下（百分制）： 甲班：81，88，85，84，91，87，88，82，89，85； 乙班：89，84，85，88，90，90，84，83，87，80． 由此可以估计，甲、乙两个班（　　） A．平均分一样但甲班的波动性较大 B．平均分一样但乙班的波动性较大 C．平均分甲班高但甲班的波动性较大 D．平均分乙班高但乙班的波动性较大 【答案】B 【分析】分别求出甲、乙两班成绩的平均数与方差，再根据计算结果判断两班成绩的平均分与波动情况即可； 【详解】由题可知，甲班的平均分为； 乙班的平均份为； 解法一（对应高教版）：甲班的方差为： ; 乙班的方差为： ； 解法二（对应人教版）： 甲班的方差为： ; 乙班的方差为： ； 所以，即甲、乙两个班的平均分相同； 因为，所以乙班波动大； 故选：B 9．已知向量，满足，，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】因为，，，所以. 故选：A. 10．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线，得出这些三角形的周长形成等比数列，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形， 根据三角形中位线的性质，第个三角形周长是周长的，即周长为， 同理，第个三角形周长也是第个三角形周长的， 设第个三角形周长为，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 即第10个三角形的周长等于. 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知函数，则 . 【答案】0 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】 故答案为：0. 12．在等比数列中，若，则公比 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，所以，解得. 故答案为：. 13．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在 内，其中支出金额在内的学生有人，频率分布直方图如图所示，则等于 ．      【答案】 【分析】由频率分布直方图得出金额在的频率，再列方程求解即可. 【详解】由频率分布直方图知， 支出金额在内的频率为， ， 则， ∴． 故答案为：. 14．若圆与直线只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据直线与圆相切，结合圆心到直线的距离为半径即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线即的距离为， 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人. 口罩使用数量 频率 0.2 m 0.3 n 0.1    (1)求m，n的值； (2)根据表中数据，完善上面的频率分布直方图； (3)计算A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差. 【答案】(1). (2)图象见解析. (3)平均数为7，方差为6.4. 【分析】（）根据题意结合频率直方图的性质即可得解. （）根据题意作出频率分布直方图即可得解. （）根据题意代入方差公式即可得解. 【详解】（1）由已知，. （2）频率分布直方图如下：    （3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为 ， 方差为． 16．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以， 所以． （3）由，得， 所以， 又，所以． 17．已知数列的前项和记为，首项. (1)若是等差数列，且，求该数列的通项公式； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求该数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式来求解即可. （2）由等差中项得，进而求比公比，再由等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）是等差数列，首项，设公差为，由， 可得，解得， 所以该数列的通项公式为. （2）是等比数列，设公比为， 由，3，成等差数列，可得，且， 可得，所以， 所以该数列的前项和. 18．2025年5月阿富汗加入中巴经济走廊，其作为“一带一路”倡议的旗帜项目升级为中巴阿经济走廊.我国与阿富汗“一带一路”合作国家计划联合修建一条跨国铁路和圆形环城公路，如图所示.跨国铁路直线从我国西部喀什地区通往阿富汗港口；环城公路以阿富汗首都喀布尔为圆心，规划半径为3公里的圆形公路，用于连接周边卫星城.    (1)求铁路线的直线方程； (2)判断港口是否在环城公路的圆形路径上，并说明理由； (3)若阿富汗计划在铁路线上修建一座车站，要求车站到首都C的距离最短，求该车站的坐标及最短距离. 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3)车站的坐标为，车站到首都C的距离最短为 【分析】（1）根据两点，计算斜率，利用点斜式得到直线方程； （2）求得环城公路的圆形路径方程，然后代点计算判断即可； （3）根据点到直线的距离，然后求得垂线的方程与联立可知. 【详解】（1）由题可知：直线经过，两点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即. （2）由题可知：环城公路的圆形路径的圆心为，半径为3公里，所以方程为， 由，所以港口不在环城公路的圆形路径上. （3）由题可知：过点作的垂线交于点，如图：    所以，由，设直线的方程为， 由直线过点，所以，所以直线的方程为. 所以，则， 所以车站的坐标为，车站到首都C的距离最短为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $