19.1二次根式及其性质（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第1课时 二次根式的概念 19.1 二次根式及其性质 第十九章 二次根式 第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 19. 2 二次根式的乘法与除法 二次根式的概念 二次根式的性质 19. 3 二次根式的加法与减法 二次根式的加减 二次根式的混合运算 二次根式的乘法 二次根式的除法 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 理解二次根式的定义，能准确识别形如（）的式子是二次根式，明确“根号形式”与“被开方数非负”的双重特征 掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解含字母的二次根式中字母的取值范围. 通过辨析、讨论、举例等活动，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养 章节导入 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广。 实际上，广播电视塔高与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系，其中是地球半径，。如果两个广播电视塔的高分别是，，那么它们的传播半径之比是。 就像整式和分式一样，我们可以用含有根号式子表示数量关系，但与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？ 导入新课 其实，在之前学习平方根时，我们就已经接触过了根号这一数学符号，你还记得平方根及其相关的知识吗？根号下的数有什么特点？ 平方根 定义：如果一个数的平方等于（），即,那么这个数叫做的平方根（或二次方根） 算术平方根 定义：对于非负实数（即），存在唯一的非负实数，使得，则称为的算术平方根 特殊情况 注：只有非负实数才具有平方根 新知探究 （1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m²，则它的宽为____m （2）一个大正方形的面积是一个边长为的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为______。 设长方形的宽为米 可得方程 大正方形面积= 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： 思考 新知探究 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：s）与开始落下时离地面的高度（单位：m）的关系近似为。如果用含有的式子表示，那么为______。 两边除以5，得：  由于时间为正数，取算术平方根：     新知探究 上面问题的结果分别是： 思考 ，， 这些式子都有什么特点？ ②根指数都是2 ③被开放数都是非负数 ①它们都表示一些数算术平方根 结合以上特点，你能否总结出二次根式的定义？ 定义：一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式 注： 中的可以是一个数，也可以是一个式子，但都要保证非负 新知总结 “”叫做“二次根号” 二次根式的特点 一定含有二次根号“” 被开方数 二次根式 典例分析 例1.是任意实数，下列各式中： ①；②；③；④；⑤ 一定是二次根式的是_______ 式子中是否含有二次根号 含有 被开方数是否未非负数 是 二次根式 非二次根式 结合过程分析，①⑤中并非对任意实数都哦成立，故不是二次根式 ②③④是二次根式 ②③④ 新知探究 二次根式中,为什么不能是负数？ ①二次根式的本质是“算术平方根”，它表示非负数的算术平方根 ②在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，因此实数的平方性质也限制了被开方数的范围 ③如果是负数，在实数范围内无意义 思考 典例分析 例2 当满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 【分析】 被开方数 有意义 被开方数 无意义 解：由，得 当时，在实数范围内有意义 新知探究 当满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢？ 的被开方数是 的被开方数是 0的立方为0 负数的立方为负 任何实数的平方均为非负数 对任意实数都有意义 正数的立方为正 有意义的条件是 对所有实数成立 立方的符号与底数一致 思考 典例分析 例3当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) （2）二次根式的被开方数是 解：（1） 由，得 当时，在实数范围内有意义 （2）根据实数的平方性质： 因此 无论取何实数 始终大于0 【分析】（1）二次根式有意义的条件是 巩固练习 1.下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥ 其中一定是二次根式的有____________ ①：可能为负数（如），被开方数可能为负 ②：可能为负数 ③：，故 ④：可能为负数 ⑤：因式分解为， ③⑤⑥ 巩固练习 2.若分式在实数范围内有意义，则的取值范围为______。 【分析】分子中的二次根式有意义：被开方数非负，即 分母不为0：即 解：解不等式组： 由得； 由得 综上，的取值范围为 巩固练习 3.当时，求下列二次根式的值. （1） （2） 解：(1) 代入，被开方数为 因此， (2) 代入，计算被开方数 因此， 拓展提升 1.如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根. 【分析】是二次根式的条件为： ①根指数； ②被开方数 解：由，代入得 ，，故； 算术平方根为 课堂总结 二次根式的概念 （二次根号） 开方运算 可以是一个数，也可以是代数式 感谢聆听! $