25.2 用列举法求概率&25.3 用频率估计概率 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

当堂练习 1,A2.C3.C4.等边三角形5.解：∠B与∠F相等.理由如下：：将△ABC以点 C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,∴∠B=∠DEC.:AF∥BE,∠F= ∠DEC,.∠B=∠F. 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 (-x,-y) 当堂练习 1.C2.C3.C4. 1 5.解：(1)如图，△ABC1即为所求，其中点C1的坐标为 (-2,-1): (2)如图，△A2B2C即为所求. 2-O123456 -5 -6 23.3 课题学习 图案设计 当堂练习 1.C2.D3.D4.D5.D 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ②任意两点 直径目两点间的部分半圆优弧劣弧④等圆等弧 当堂练习 1.B2.B3.10°4.535.22 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①轴直线②平分平分垂直平分 当堂练习 1.B2.A3.过圆心的直线圆心4.65.解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,连接OD,0B,则AE=BE=AB=×4=2,DF=CF=2CD=合X4=2。 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE=√OB-BE=√（√5）2-22=1.同理可得OF= 1.AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°，∴.四边形OEPF 为矩形，∴.OE=PF=1.在Rt△OFP中，由勾股定理，得OP=√OF十PF=√I+1 =√2 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①圆心②相等相等 当堂练习 1.B2.A3.67.5°4.①②③④5.证明：DE∥AB,CO⊥AB,∴DE⊥C0.D 是CO的中点，.DE垂直平分CO,.CE=OE.又OE=OC,.OE=OC=CE, △COE是等边三角形，∴.∠COE=60°.，CO⊥AB,∴.∠COB=90°，.∠EOB=90° ∠COE=90°-60°=30°，∴∠C0E=2∠EOB,.EC=2BE 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①圆上相交②一半③相等④直角直径 当堂练习 1.C2.A3.B4.D5.0°<∠P0C<110°6.4 第2课时圆内接四边形 知识梳理 圆内接多边形外接圆互补 当堂练习 1.C2.B3.B4.D5.1609 第46页（共48页） 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 ①d>rd=rd<x②不在同一条直线上外接圆外接圆的圆心外心③假 设命题的结论不成立所作假设不正确原命题成立 当堂练习 1.C2.B3.在△ABC中，最多有一个锐角4.点P在⊙O内或⊙O上5.解：易得 OA=√OD十AD=√6+6=6V2,OB=√OD+BD=√6+8=10，OC= √OD+CD=√62十(53)2=√1I.又：OA<r,OB=r,OC>r,∴.点A在⊙0内， 点B在⊙O上，点C在⊙O外. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 知识梳理 ①相交割线相切切线切点相离②d<rd=rd>r 当堂练习 A2.D3.2cm或8cm4,3<≤4或r=号5，解：过点0作0DLAB于点D 1 :∠A=90,∠C=60°，∠B=30.B0=x,.0D=2x令2x=2,得x=4.当0< x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；当x=4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4 时，AB所在的直线与⊙O相离. 第2课时切线的判定与性质 知识梳理 ①垂直于这条半径②过切点的半径 当堂练习 1.A2.A3.49°4.44°5.证明：AB是⊙O的直径，.∠ACB=∠ACD=90°. :点F是DE的中点，.CF=EF=DF,.∠AEO=∠FEC=∠FCE.:OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC..OD⊥AB,.∠OAC+∠AEO=90°，.∠OCA+∠FCE=90°，即 ∠OCF=90°，即OC⊥FC.OC是⊙O的半径，∴.CF是⊙O的切线. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 ①相等平分②内切圆角平分线的交点 当堂练习 1.D2.D3.A4.219°5.解：(1)PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .PA=PB=6,ED=BD,CE=AC,,.△PCD的周长为PD十DE十PC+CE= 2PA=12:(2)连接OE,OA,OB.PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，∴.∠AOB+∠P=180°，∴.∠AOB=180 -∠P=180°-50°=130°.易得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,.∠COD=∠EOC +∠B0D=号（∠A0E+∠EOB)=∠A0B=合X130=65. 24.3正多边形和圆 知识梳理 ①相等相等②中心半径中心角边心距 当堂练习 1.D2.B3.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接ON,NF.由题意 可得FN=ON=OF,∴.△FON是等边三角形，.∠NFA=60°，∴∠NMA=60°，同理 可得∠ANM=60°，∴.∠MAN=60°，∴.△AMN是正三角形；(3)连接OD,OC.正五 边形ABCDE内接于⊙0，∠COD=360°=72，易得AF⊥CD,.∠DOF=36, 5 ∴.∠DON=∠FON-∠D0F=60°-36°=24°.360°÷24°=15，.n的值是15. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识梳理 02R ②πR2nπR 360 9多R 当堂练习 1.B2.B3.π4.解：(1)：∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∴.∠COA OA=OB, =∠BOD.在△OCA和△ODB中，∠COA=∠DOB,..△OCA≌△ODB(SAS), OC=OD, ∴.AC=BD:(2)由(1)知△OCA≌△ODB,∴.SAOCA=S△oDB,.S阴影=S前形onB一Sm形0cD =90-R-90C=年(R-P). 360 360 第47页（共48页） 第2课时圆锥的侧面积和全面积 知识梳理 ①扇形半径弧长侧面积底面圆的面积 当堂练习 1.C2.A3.A4.D5.216°6.102 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 当堂练习 1.D2.B3.C4.D5.蓝 25.1.2概率 当堂练习 1.c2.C3.A4.号5.-6号7. 1 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 当堂练习 1.A2.C3. 1 6 4.解：(1)③(2)根据题意，列表如下： 小明 A B C D 小涵 A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可以看出，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中小明和小 涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的结果有4种，即(A,A),(A,B),(B, A),(B,B),所以P(小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产)=着 = 第2课时用树状图法求概率 当堂练习 1.A2.C3.B4. 6 5.解：我会选择转盘A.理由如下：根据题意，可以画出如下 的树状图：转盘A 9 由树状图可以看出，所有可能出现的结果 转盘B348348348 共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中转盘A上的数字大于转盘B上的数字的 结果有5种，转盘A上的数字小于转盘B上的数字的结果有4种，所以P(选转盘A 赢)=号，P(选转盘B赢)=告.因为号>号，所以我会选择转盘A6,解：1) (2)将4部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A,B,C,D.根 据题意，可以画出如下的树状图：人 R由树状图可以看出，所有 BCDACDABDABC 可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中《九章算术》和 《孙子算经》的结果有2种，所以P(恰好选中《九章算术》和《孙子算经》)=2=6 21 7.解：(1)4 (2)根据题意，可以画出如下的树状图：小西 小幸态&在杰 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其 中小西和小安抽到不同题目的结果有12种，所以P(小西和小安两名同学抽到不同题 123 目)=16=41 25.3用频率估计概率 当堂练习 1.D2.123.8004.解：(17(2)根据题意，得号×10%=40%，解得m=23. 第48页（共48页）25.2用列举法求概率 第1课时 用列表法求概率 当堂练习 1.小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》三本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和 《昆虫记》的概率是 ( A号 B司 c号 2 0. 2.小明要用如图所示的两个相同转盘做“配紫色”游戏，每个转盘 白 蓝 均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘（当指针指在两个 蓝 红 红 扇形的交线时，需重新转动转盘)，转盘停止时指针所指的颜色 恰好配成紫色（红色和蓝色能配成紫色）的概率为 A吉 B c号 D 3.我市博览馆有A,B,C三个入口和D,E两个出口，小明入馆游览，他从A口进、E口出的 概率是 4.为了落实“双减”精神，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校在课外兴趣班中拟开 展如下活动：A(瑞昌剪纸)、B(瑞昌竹编)、C(九江山歌)、D(德安潘公戏).小明和小涵随 机报名参加其中的一项兴趣活动 (1)“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是 ;(填序号) ①必然事件；②不可能事件；③随机事件. (2)请用列表法，求小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的概率， ·42· 第2课时用树状图法求概率 当堂练习 1.某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1,2,3.若小军和小 娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为 ( ) B合 c n号 2.桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是K.两人做游戏，游戏规则是：随机 取2张牌并把它们翻开.若2张牌中没有K,则红方胜，否则蓝方胜.赢的机会大的一方 是 ) A.红方 B.蓝方 C.两方机会一样 D.不确定 3.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是 女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为 ( A B号 c D 4.小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为 “上册、中册、下册”的概率是 5.有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A,B,如图.游戏规定：转动两个转盘各一 次，指向大的数字获胜.现由你和小明各选择一个转盘，你会选择哪一个？为什么？ 转盘A 转盘B ·43· 6.中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我 国古代数学的重要文献。 (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好 选中《九章算术》和《孙子算经》的概率. 7.为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛.比赛题目分为“数与代数”“图形 与几何”“统计与概率”“综合与实践”四组（依次记为A,B,C,D).小西和小安两名同学 参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽 取一组. (1)小安抽到C组题目的概率是 (2)请用画树状图的方法，求小西和小安两名同学抽到不同题目的概率 ·44 25.3用频率估计概率 当堂练习 1.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凹面向上”的频率约为0.53， 测可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为 ( A.0.53 B.0.51 C.0.50 D.0.47 2.在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区 别.摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球40次，其 中10次摸到黑球，则估计盒子中有白球 个 3.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域 某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发 现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地有 只A种候鸟 4.一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有8个黄球. ()若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机 事件”，则m的最大值为 (2)若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记 下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%， 问n的值大约是多少？ ·45·