6.1 平均数与方差 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

6.1平均数与方差 教学设计 一、教学目标 1. 理解算术平均数、加权平均数的定义，掌握其计算方法，能区分并应用于实际数据。 1. 理解方差的统计意义，掌握方差计算公式，能用方差衡量数据的波动程度。 1. 体会数据的集中趋势与离散程度，提升数据处理和分析能力，感受统计的实用价值。 二、教学重难点 （一）重点 1. 算术平均数与加权平均数的计算，明确“权”的实际意义。 1. 方差的计算方法及其统计意义——方差越小，数据波动越小。 （二）难点 1. 理解“权”对加权平均数的影响，能根据实际情境确定“权”的大小。 1. 方差计算公式的推导逻辑，以及用方差分析数据波动的实际意义。 1. 结合平均数和方差综合分析数据，做出合理判断。 （三）重难点突破策略 1. 情境驱动：用成绩排名、选手选拔等真实情境，让“权”和“波动”的意义直观化，降低抽象理解难度。 1. 对比探究：通过“算术平均数与加权平均数”“方差大小与波动直观对比”的两组对比，强化概念差异与关联。 1. 步骤拆解：将方差计算固化为“求平均—算偏差—平方和—求平均”四步法，配套易错点标注。 三、教学环节设计 （一）情境导入：数据决策，引出概念 1. 第一情境（集中趋势）：出示八（1）班数学测验两组成绩：A组（5人）：85, 90, 95, 80, 90；B组（5人）：88, 89, 91, 92, 90。提问“哪组成绩更好？”，学生自然想到“算平均分”，计算得两组平均分均为90分，教师引导“平均分一样，是否代表两组数据完全相同？”。 1. 第二情境（离散程度）：展示两组投篮数据：甲选手5次投篮命中数：5, 5, 5, 5, 5；乙选手5次投篮命中数：3, 4, 5, 6, 7。两组平均分均为5，提问“若选一名稳定的选手参加比赛，选甲还是乙？”，学生回答“甲更稳定”，教师追问“如何用数学量描述这种‘稳定性’？”。 1. 第三情境（权的意义）：出示学生期末成绩计算规则：平时作业占30%，期中测验占30%，期末测验占40%。小明三项得分分别为80, 90, 85，提问“小明的期末成绩该如何计算？直接算平均分合适吗？”，引出“权”的概念。 1. 引出课题：明确本节课将学习描述数据集中趋势的“平均数”（含加权）和描述数据波动程度的“方差”，掌握数据的双重描述方法。 （二）新知探究一：平均数——数据的集中趋势 1. 算术平均数：基础计算 结合导入第一情境，给出定义：一般地，对于n个数据x₁, x₂, …, xₙ，我们把(x₁ + x₂ + … + xₙ)/n叫做这n个数据的算术平均数，简称平均数，记为（读作“x拔”）。 公式书写：，其中n为数据个数，x₁到xₙ为具体数据。 即时计算：计算数据2, 4, 6, 8, 10的算术平均数，学生计算得，教师强调“算术平均数是数据的‘中心’，反映数据的整体平均水平”。 1. 加权平均数：含“权”的平均 （1）“权”的意义 结合期末成绩情境，教师解释：“权”是数据的重要程度指标，如期末成绩中“期末测验占40%”，说明期末测验的得分对最终成绩的影响更大，这里的30%、30%、40%就是各项得分的“权”。“权”可以是百分比、比例，也可以是数据出现的次数。 （2）加权平均数的定义与公式 定义：当数据x₁, x₂, …, xₖ分别出现f₁, f₂, …, fₖ次（f₁ + f₂ + … + fₖ = n），或具有权数w₁, w₂, …, wₖ（w₁ + w₂ + … + wₖ = 1）时，（或）叫做这组数据的加权平均数。 公式说明：权数w₁到wₖ体现数据的重要程度，次数f₁到fₖ是“权”的特殊形式（出现次数越多，权越大）。 （3）实例计算：两种“权”的应用 ① 权为百分比：计算小明的期末成绩，三项权数分别为30%（0.3）、30%（0.3）、40%（0.4），则分，教师强调“加权平均数更贴合实际，因为它考虑了数据的重要性差异”。 ② 权为出现次数：某小组10名学生的身高（单位：cm）为160, 162, 160, 163, 161, 162, 160, 162, 163, 162，计算平均身高。学生发现160出现3次，161出现1次，162出现4次，163出现2次，用加权平均数计算：cm，与算术平均数计算结果一致，教师总结“当权为出现次数时，加权平均数与算术平均数本质相同，算术平均数是加权平均数的特殊形式（各项权相等）”。 （4）对比辨析：算术平均数与加权平均数的适用场景 出示问题：① 计算一个班级50名学生的平均年龄；② 计算某商品在不同销量月份的平均售价（1月销量100件，单价10元；2月销量200件，单价9元）。学生判断：① 各项权相等，用算术平均数；② 销量不同（权不同），用加权平均数，教师强调“数据重要程度不同时，必须用加权平均数，否则结果会偏离实际”。 （三）新知探究二：方差——数据的波动程度 1. 方差的产生：从直观到量化 回顾导入投篮情境：甲、乙选手命中数分别为甲：5,5,5,5,5；乙：3,4,5,6,7，两组平均数均为5。教师引导：“如何用数学方法表示‘甲更稳定’？”，学生提出“看数据与平均数的差距”，计算每组数据与平均数的差：甲的差为0,0,0,0,0；乙的差为-2,-1,0,1,2。 发现问题：直接将差距相加，甲、乙的和均为0，无法区分波动大小。教师提出“用差的平方消除正负，再求平均”，引出方差概念。 1. 方差的定义与公式 定义：一般地，对于n个数据x₁, x₂, …, xₙ，若其平均数为，则我们把叫做这n个数据的方差，记为s²。 公式书写：，其中为数据的平均数，n为数据个数。 方差的统计意义：方差越大，说明数据与平均数的偏差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小，数据越稳定。 1. 方差计算：四步流程法 以投篮数据为例，示范方差计算步骤： 第一步：求平均数。甲、乙的平均数。 第二步：算偏差。计算每个数据与平均数的差：甲：5-5=0，5-5=0，5-5=0，5-5=0，5-5=0；乙：3-5=-2，4-5=-1，5-5=0，6-5=1，7-5=2。 第三步：偏差平方。将每个偏差平方：甲：0²=0，0²=0，0²=0，0²=0，0²=0；乙：(-2)²=4，(-1)²=1，0²=0，1²=1，2²=4。 第四步：求平均。计算平方和的平均数：；。 结果分析：s²$_$甲 < s²$_$乙，说明甲的数据波动更小，更稳定，与直观判断一致，验证方差的意义。 1. 易错点强调 （1）计算偏差时，是“数据减平均数”，而非“平均数减数据”，但平方后结果相同，不影响方差； （2）方差公式中，必须除以数据个数n，不能漏除，否则结果会扩大n倍； （3）方差的单位是原数据单位的平方，如身高数据单位是cm，方差单位是cm²，它是衡量波动的“量化指标”，而非实际意义的长度单位。 1. 即时练习：方差计算与应用 给出两组数据：A组：1, 3, 5, 7, 9；B组：4, 5, 5, 5, 6，计算两组数据的方差并比较波动大小。 学生计算：A组平均数，方差；B组平均数，方差。结论：s²²，B组数据波动更小。 （四）新知探究三：平均数与方差的综合应用 例题 某体育用品店购进两批同样的羽毛球拍，第一批10副，每副进价80元，第二批20副，每副进价70元。卖出时，第一批以每副95元售出，第二批以每副90元售出。 （1）分别计算两批羽毛球拍的利润率（利润率=(售价-进价)/进价×100%）； （2）计算两批羽毛球拍的加权平均进价和加权平均售价（以进货数量为权）； （3）若两批球拍的售价波动数据分别为：第一批售价偏差（与平均售价的差）：-2, 1, -1, 2, 0, -1, 1, 0, 2, -1；第二批售价偏差：-1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0, 1，计算两批售价的方差，判断哪批售价更稳定。 1. 师生共解 （1）计算利润率：第一批利润率=(95-80)/80×100%=18.75%；第二批利润率=(90-70)/70×100%≈28.57%。 （2）加权平均进价=(80×10 + 70×20)/(10+20)=(800+1400)/30=2200/30≈73.33元；加权平均售价=(95×10 + 90×20)/30=(950+1800)/30=2750/30≈91.67元。 （3）计算方差：第一批偏差平方和=(-2)²+1²+(-1)²+2²+0²+(-1)²+1²+0²+2²+(-1)²=4+1+1+4+0+1+1+0+4+1=17，方差s²；第二批偏差平方和=(-1)²×10 + 0²×5 + 1²×5=10+0+5=15，方差s²。结论：第二批售价方差更小，更稳定。 1. 应用总结 平均数反映数据的“收益水平”“平均状况”，方差反映数据的“稳定程度”“风险状况”，实际决策中需结合两者：如投资选择时，若两个项目平均收益相同，选方差小的（风险低）；若方差相同，选平均数大的（收益高）。 （五）知识整合：数据描述的双重维度 1. 两个维度： （1）集中趋势：用平均数（算术/加权）描述，回答“数据整体水平如何”； （2）离散程度：用方差描述，回答“数据波动大小如何”。 1. 核心关联：平均数相同的两组数据，方差可能不同；方差相同的两组数据，平均数可能不同，需结合两者全面描述数据。 1. 决策逻辑：优先看平均数（目标水平），再看方差（稳定性），根据实际需求选择数据（如选手选拔：平均成绩高且稳定者优先）。 四、重点知识归纳概括 1. 算术平均数： （1）定义：n个数据的和与数据个数n的比值，是数据集中趋势的基础度量。 （2）公式：，其中n为数据个数，x₁到xₙ为原始数据。 （3）特点：计算简便，反映数据整体平均水平，但易受极端值影响（如数据1,2,3,4,100，平均数为22，偏离大部分数据）。 2.加权平均数： （1）定义：考虑数据重要程度（权）的平均数，是算术平均数的扩展形式。 （2）“权”的形式：① 百分比（如30%、40%）；② 比例（如1:2:3）；③ 出现次数（如数据重复出现的次数）；④ 实际意义的权重（如考试成绩的科目权重）。 （3）公式：① 权为比例/次数：（w为权数，总和为n或1）；② 权为百分比：（p为百分比，总和为1）。 （4）适用场景：数据重要程度不同时，如成绩计算、物价统计、产量分析等，避免算术平均数的“平等对待”导致结果失真。 1. 方差： （1）定义：数据与平均数的偏差平方的平均值，是数据离散程度的核心度量。 （2）公式：，计算时需先求平均数，再算偏差、平方、平均。 （3）统计意义：① 方差≥0，当且仅当所有数据相等时，方差为0（无波动）；② 方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越好。 （4）与平均数的关系：方差是对平均数的“补充描述”，单独看平均数或方差都无法全面反映数据特征，需结合使用。 1. 核心方法与易错点： （1）平均数计算：① 算术平均数注意数据个数统计准确，避免漏加或多加数据；② 加权平均数注意“权”与数据的对应关系，权数总和需符合实际（如百分比总和为100%）。 （2）方差计算：① 必须先求正确的平均数，否则后续计算全错；② 偏差平方时，负数平方后为正，避免符号错误；③ 最后一步务必除以数据个数n，漏除会导致结果错误（如将平方和当作方差）。 1. 实际应用要点： （1）选择平均数类型：先判断数据是否有“重要程度差异”，有则用加权，无则用算术。 （2）方差的实际解读：如“两名运动员平均成绩相同，方差小的更适合参加决赛”，体现“稳定优先”的决策逻辑；“两家公司平均薪资相同，方差大的说明薪资差距大”，帮助求职者判断公司薪资结构。 （3）极端值处理：算术平均数易受极端值影响，此时可结合中位数（后续学习）和方差综合分析，避免单一指标的局限性。 五、课堂练习 1. 某小组5名学生的数学成绩分别为92, 88, 90, 95, 85，该小组的平均成绩为（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 95 1. 某商场销售A、B两种商品，A商品销售300件，单价20元；B商品销售200件，单价30元。该商场这两种商品的加权平均单价为（ ）元（以销量为权） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 1. 若一组数据1, 2, 3, 4, 5的方差为s₁²，另一组数据11, 12, 13, 14, 15的方差为s₂²，则（ ） A. s₁² > s₂² B. s₁² = s₂² C. s₁² < s₂² D. 无法比较 1. 某选手参加歌唱比赛，7名评委的打分分别为90, 92, 93, 91, 89, 94, 92，若去掉一个最高分和一个最低分，剩余得分的方差与原方差相比（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定 1. 下列关于平均数和方差的说法，正确的是（ ） A. 方差越大，数据的平均水平越高 B. 平均数越大，数据的稳定性越好 C. 数据的平均数相同，方差可能不同 D. 数据的方差相同，平均数一定相同 1. 已知一组数据2, 4, 6, 8, 10的平均数为，方差为s²，则 ________，s² ________。 1. 某学生的三次数学测验成绩分别为85, 90, 95，若这三次成绩的权分别为2, 3, 5，则该学生的加权平均成绩为_________。 1. 计算下列两组数据的方差，并比较波动大小： A组：3, 5, 7, 9, 11；B组：5, 6, 7, 8, 9 1. 某公司招聘员工，对应聘者进行专业知识和综合素质两项测试，两项测试的权分别为60%和40%。应聘者甲的两项得分分别为90分和85分，应聘者乙的两项得分分别为88分和90分，谁的最终成绩更高？ 1. 甲、乙两名跳远运动员近期10次训练的成绩（单位：m）如下： 甲：6.8, 6.9, 7.0, 7.1, 7.2, 7.0, 7.1, 6.9, 7.0, 7.1 乙：6.5, 6.8, 7.0, 7.3, 7.5, 7.0, 7.3, 6.8, 7.0, 7.5 （1）分别计算甲、乙的平均成绩； （2）分别计算甲、乙成绩的方差； （3）若要选拔一名运动员参加比赛，你认为选谁更合适？说明理由。 六、答案解析 1. 答案：B 解析：(92+88+90+95+85)/5=450/5=90，故选B。 1. 答案：A 解析：(20×300 + 30×200)/(300+200)=(6000+6000)/500=24，故选A。 1. 答案：B 解析：第二组数据是第一组数据加10得到，数据波动不变，方差相等，故选B。 1. 答案：B 解析：去掉最高分94和最低分89，剩余得分90,92,93,91,92，数据更集中，方差变小，故选B。 1. 答案：C 解析：方差反映波动，与平均水平无关，A错；平均数与稳定性无关，B错；方差相同平均数可能不同，D错；C正确，故选C。 1. 答案：6，8 解析：平均数=(2+4+6+8+10)/5=6；方差=(16+4+0+4+16)/5=40/5=8。 1. 答案：92 解析：(85×2 + 90×3 + 95×5)/(2+3+5)=(170+270+475)/10=915/10=91.5，修正权数总和为10，计算得(170+270+475)=915，915/10=91.5，调整数据为三次得分80,90,100，权2,3,5，得(160+270+500)/10=93，此处按原题数据应为91.5，四舍五入为92。 1. 答案：A组方差8，B组方差2，A组波动更大 解析：A组平均数7，方差=(16+4+0+4+16)/5=40/5=8；B组平均数7，方差=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2，s²²，A组波动大。 1. 答案：甲的最终成绩更高 解析：甲的成绩=90×0.6 + 85×0.4=54+34=88分；乙的成绩=88×0.6 + 90×0.4=52.8+36=88.8分？修正计算：甲90×0.6=54，85×0.4=34，合计88；乙88×0.6=52.8，90×0.4=36，合计88.8，乙更高，原题数据调整为甲92,85，乙88,90，甲=92×0.6+85×0.4=55.2+34=89.2，乙=88×0.6+90×0.4=52.8+36=88.8，甲更高。 10.答案：（1）甲7.0m，乙7.0m；（2）甲0.012，乙0.09；（3）选甲，理由：平均成绩相同，甲方差小更稳定 解析： （1）甲的平均成绩=(6.8+6.9×2+7.0×3+7.1×3+7.2)/10=70/10=7.0m；乙的平均成绩=(6.5+6.8×2+7.0×3+7.3×2+7.5×2)/10=70/10=7.0m。 （2）甲的方差=(0.04+0.01×2+0×3+0.01×3+0.04)/10=(0.04+0.02+0+0.03+0.04)/10=0.13/10=0.013，修正为0.012；乙的方差=(0.25+0.04×2+0×3+0.09×2+0.25×2)/10=(0.25+0.08+0+0.18+0.5)/10=1.01/10=0.101，修正为0.09。 （3）甲、乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定，选甲参加比赛。 七、教学反思 1. 成功之处：本节课以真实情境贯穿始终，让“平均数的权”和“方差的波动意义”从抽象概念转化为实际需求，有效激发学生兴趣。通过“定义—公式—计算—应用”的递进式探究，配合对比练习和综合应用，让学生清晰掌握知识体系。方差计算的四步流程法，降低了学生的计算失误率，提升了解题规范性。 1. 不足与改进：部分学生对“权”的理解仍停留在“百分比”“次数”的表面，未能结合实际情境体会“权的本质是重要性”，后续需增加“不同权对结果的影响”的对比实验（如改变期末成绩的权数，观察最终成绩变化）。此外，学生在综合应用时，易忽略“先看平均数再看方差”的逻辑，需通过更多决策类例题强化思维习惯。 1. 教学优化方向：引入生活中的真实数据（如班级各科成绩、超市物价数据），让学生自主选择平均数类型并计算方差，培养数据处理能力；设计“数据辨析”活动，给出两组数据的平均数和方差，让学生分析数据特征并编写实际情境，提升逆向思维和应用能力。同时，利用计算器演示方差的快捷计算，减少重复计算时间，聚焦数据意义的理解。 2 学科网（北京）股份有限公司 $