6.3反比例函数的应用专项练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

6.3反比例函数的应用专项练习 一、单选题 1．反比例函数图象过点，该图象也可能过点（    ） A． B． C． D． 2．一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 4．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（   ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A．120 B．100 C．96 D．90 9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 二、填空题 11．已知点在反比例函数的图像上，则 ． 12．若函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 13．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.25米，则王老师镜片的度数为 度． 14．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．连接，求点到线段的距离 ． 15．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 三、解答题 16．如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 17．如图，A，B，D都在格点(网格线的交点)上，是的中位线，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． (3)将点A向左平移，当平移距离等于________时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 18．天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的横坐标为3，点的纵坐标为，经过点的直线与轴，轴分别交于、，与反比例函数在第一象限交于点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)当时， （ⅰ）点为反比例函数在第一象限的图象上一点，若的面积是面积的两倍时，求点的坐标； （ⅱ）点为直线上一点，点为坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C． (1)反比例函数的表达式为______，m的值为_____； (2)观察图象，直接写出时，x的取值范围； (3)已知点，作直线，将直线向上平移f（）个单位长度后，与反比例函数的图象有一个交点，求f的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《6.3反比例函数的应用专项练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C D B A A C 1．C 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得函数解析式是解答的关键． 由点在反比例函数图象上，可求出反比例函数的解析式，再验证各选项点是否满足解析式。 【详解】解：设反比例函数的一般形式为， ∵点在图象上， ∴，解得， ∴函数解析式为． 验证选项： A. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意； B. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意； C. ：，该图象过此点，故符合题意； D. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了待定系数法求得反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据反比例函数定义，设解析式为，代入点 求出，得到函数解析式．然后验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设解析式为， ∵ 反比例函数图象过点， 代入得：， ∴ 函数解析式为， A、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； B、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； C、当 时， ，满足，故本选项符合题意； D、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意． 故选：C 3．D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 4．B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 5．C 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，两点间的距离公式，一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是掌握以上知识点．根据题意，先求出点和点的坐标，进一步得，再根据两点间的距离公式求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求值． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， 即，， ． ， ． 设点，（） ． 解得，或（不符合题意，舍去）， ， 即点， 将点代入得， ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了中点坐标，已知比例系数求特殊图形的面积，反比例函数与几何综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先用表示出点的坐标，再用表示出点的坐标，从而可用表示出与到的距离，再求出的面积． 【详解】解：∵双曲线经过A点， ∴设， ∵E为的中点， ∴E点的横坐标为， E点的纵坐标为， ∵轴，垂足为D，交于点E， ∴点的纵坐标为， ∵双曲线经过B点， ∴点的横坐标为， ∴， 点到的距离为， ∴的面积是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表中数据，气压p与体积V的乘积均为96，故p与V成反比例关系，即，代入计算即可得p值． 【详解】解：∵由表数据：， ∴，即p与V成反比例关系． 当时，． ∴ p为， 故选A． 9．A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意可以求得和的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决． 【详解】解：等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，轴，， ， ∴， 即， ，， 点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 故选A． 10．C 【分析】本题考查了反比例函数与一下函数的综合，掌握反比例函数，一次函数与几何图形的交点坐标得到线段的关系是解题的关键． 由反比例函数图形课判定A选项；设，则，可得直线的解析式为，则，分别得到线段的值，结合几何图形面积，周长的计算课判定B，C，D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点， ∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意； 设，则， ∵轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴B，D选项正确，不符合题意； ∴，，， ∴的周长为， 的周长为， ∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意； 故选：C ． 11． 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，点在函数图像上，则点的坐标满足函数的解析式． 将点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ，解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数解析式得到，是解决本题的关键． 根据函数解析式，可得，，进而得出，进一步进行计算即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∴ 故答案为：． 13．400 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数解析式的确定及代入求值是解题的关键． 先设反比例函数解析式，利用已知点求出函数表达式，再代入焦距计算度数． 【详解】解：设反比例函数解析式为（）． ∵图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． ∵镜片焦距， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 先确定，根据两点的纵坐标相等可得轴，且，，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴轴，且，， ∴， 设点到线段的距离为h， 又∵， ∴， 解得：， ∴点到线段的距离为． 故答案为：． 15．3 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 16．(1)， (2)或． 【分析】本题考查了待定系数法求解函数表达式，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，以及与不等式的关系． （1）先将点代入求出双曲线表达式，再求出，然后将点，代入，解方程组求出，即可求解； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入，则， ∴双曲线表达式为， 将点代入，则， ∴， ∴， 然后将，代入，得， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：∵，， ∴当时，或． 17．(1) (2)1 (3)6 【分析】本题考查求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将点C代入反比例函数解析式求出k，即可得解； （2）根据8的约数可分别取，列表求出函数值，从而描点连线即可； （3）求出点A的坐标，找出反比例函数图象上与点A的纵坐标相等的点，根据两点间的距离回答即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）列表格如下： x 1 2 8 y 8 4 1 描点连线得： （3）∵是的中位线，， ∴点C是的中点， 又∵反比例函数的图象经过点， ∴点A向左平移6个单位长度，则可使得点A恰好落在这个反比例函数的图象上， 故答案为：6． 18．(1) (2) 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． （2）令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 19．(1)正比例函数解析式：，反比例函数解析式： (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数图象的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据正比例函数与反比例函数图象都是中心对称图形，可得关于原点对称，结合题意求得的坐标，代入解析式，即可求解； （2）（ⅰ）作轴于，作轴于，证明，根据已知得出，在上取一点，使得，结合题意得出点在上，根据求得点的坐标，进而求得直线直线的解析式为，联立解析式，即可求解； （ⅱ）分三种情况讨论①，②，③，根据菱形的性质，以及中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）∵正比例函数与反比例函数图象都是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点， ∴关于原点对称， ∵点的横坐标为3，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴正比例函数解析式：，反比例函数解析式： （2）（i）如图1，作轴于，作轴于， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得 ∴， ∴点到的距离是点到距离的两倍， ∴当点在上时，的面积是面积的两倍， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设 ∵ ∴ 解得：或（舍去） 当时， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：（负值舍去） ∴ （ⅱ）如图 ∵， ∴， ∴ ∴的中点为 ①当时，则点和重合时， ∵、、、为顶点的四边形为菱形 设， ∴的中点重合， ∴ 解得； ∴； ②当时， 设 ∴ 解得：或 ∴或 ∴或 ∴或 解得：或 ∴或 ③当，则垂直平分， ∴ 解得： ∴, ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 20．(1)，2 (2)当时，x的取值范围为或 (3) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把函数关系式联立可求出两个函数图象交点坐标，同时数形结合直观得出不等式的解集． （1）把点A坐标代入一次函数关系式可求出m的值，确定点A的坐标，再代入反比例函数关系式可求出的值即可求解； （2）根据图象可得出当时，的取值范围； （3）先求直线表达式为，由题意得方程有实数根，根据根的判别式求出f的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 将代入反比例函数得， ， ∴反比例函数表达式； 故答案为：，2； （2）解：观察图象得，当时，x的取值范围为或； （3）解：当时，， 所以点C的坐标为． 设直线对应的函数表达式为，则， 解得， 所以直线对应的函数表达式为． 将直线向上平移f（）个单位长度后表达式为． 因为反比例函数的图象与平移后直线有一个交点， 所以方程有唯一解， 即关于x的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得，（不合题意，舍去），所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $