13.1三角形中的边角关系（基础篇） 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过思维导图系统梳理三角形知识体系，按“三角形的边—角—重要线段”分块呈现，涵盖定义、定理、分类及三边关系、内角和等核心要点，用层级结构清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，聚焦三角形内角和应用、外角性质等专题，如“已知∠A=50°，∠B=60°求∠C”培养推理意识，通过“中线分面积”题提升运算能力。针对30至70分学生，基础题巩固概念，综合题深化理解，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可按专题突破。

23.2中心对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 三角形的边 · 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 三角形的边、顶点与内角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是(A)、(B)、(C)的三角形，记作“△(ABC)”，读作“三角形(ABC)”。△(ABC)的三边，有时也用(a)、(b)、(c)来表示，顶点(A)所对的边(BC)用(a)表示，顶点(B)所对的边(AC)用(b)表示，顶点(C)所对的边(AB)用(c)表示。 · 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，即(a + b > c)，(a + c > b)，(b + c > a)。 · 三角形按边分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 · 等腰三角形：有两边相等的三角形（相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角）。 · 等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 2. 三角形的角 · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于，即在△(ABC)中，。 · 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 三角形外角的性质： · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 · 三角形按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于）的三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（等于）的三角形（夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，直角三角形可用符号“Rt△”表示，直角三角形的两个锐角互余）。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（大于且小于）的三角形。 3. 三角形中的重要线段 · 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（内心到三角形三边的距离相等）。 · 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心（重心到顶点的距离是它到对边中点距离的(2)倍）。 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）。三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心（锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边的高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部）。 型 习 练 题 三角形内角和的应用 1．如图，，，，是的（   ）倍． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形外角的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．如图为一个简易的“人”字梯，已知，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据，求出，根据三角形外角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图： 故选：B． 3．在中，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．根据三角形内角和为求解出，再根据三角形的分类即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 4．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，结合已知条件建立方程求解． 【详解】∵在中，， 又，， ， 即， ， 故选：C． 5．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和为，三角形外角定理，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用三角形内角和为可求出，再由三角形外角定理求出，根据对顶角性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 和为对顶角 故选：B 三角形外角的性质 6．如图中的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出∠1的度数． 【详解】解：如图所示， 是的一个外角 ． 故选：B． 7．将两把直尺如图放置，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角，三角形外角的性质．由题意可知，，由邻补角可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 故选：D． 8．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先由三角形外角的定义及性质求出，从而得出，即可得解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用平行线的性质得出同位角相等，再通过三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：令交于点 ∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵是的外角，， ∴， ∴， 故选： 10．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 根据三角形中线求值 11．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 12．如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 13．如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线．根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 14．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 【详解】解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 15．如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，根据为边上的中线，得出，又因为于点E，于点F，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 三角形三边关系 16．下列长度的线段，能与长度为，的两条线段，首尾相接组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，已知两边为和，因此第三边长度范围应为大于且小于． 【详解】解：设第三边长为， ∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，，， ∴ x的取值范围为， ∴ 能与和组成三角形的是． 故选：C． 17．若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，需注意两边之和必须严格大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，推导a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴根据三角形三边关系得，即 选项A.2不在范围内，B.5不满足，C.7满足，D.9不满足． 故选：C． 18．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．6米 B．10米 C．20米 D．26米 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， 即， ∴； 故A，B间的距离不可能是26米； 故选D． 19．上数学课时，老师让同学们分别将一根长的细铁丝（不会弯曲）剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形，下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系（构成三角形的条件），熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边；简便方法是：看较小的两个数之和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； B. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； C. ，，能组成三角形，故选项符合题意； D. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：． 20．现使用两根长度分别为和的直铁丝做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（   ） A．a，b都可以 B．只有可以 C．只有可以 D．a，b都不可以 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，将一根铁丝折成两段后，与另一根铁丝组成三角形，需验证三角形不等式是否成立． 【详解】解：若折铁丝成两段，设一段为，另一段为， 则恒成立， 所以折铁丝成两段可满足题意； 若折折铁丝成两段，设一段为，另一段为， 则，不能构成三角形， 故此种情况不满足题意 综上，只有折铁丝成两段可以构成三角形， 故选：B． 三角形角平分线 21．如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 22．如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 23．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 24．如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 25．如图，折叠一张钝角三角形纸片（是钝角），不能成功折出的是（    ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的高线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高和中线，根据三角形的角平分线、高和中线的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当与重合时，折痕为的角平分线，该选项不合题意； 、∵是钝角三角形且是钝角， ∴边上的高线位于外部， ∴不能成功折出边上的高线，该选项符合题意； 、当点重合时，折痕为边上的中线，该选项不合题意； 、边上的高线位于内部，能成功折出，该选项不合题意； 故选：． 直角三角的两个锐角 26．如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 27．如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余， 先根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． 在中，， ∴． 故选：B． 28．如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 29．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 30．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2中心对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 三角形的边 · 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 三角形的边、顶点与内角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是(A)、(B)、(C)的三角形，记作“△(ABC)”，读作“三角形(ABC)”。△(ABC)的三边，有时也用(a)、(b)、(c)来表示，顶点(A)所对的边(BC)用(a)表示，顶点(B)所对的边(AC)用(b)表示，顶点(C)所对的边(AB)用(c)表示。 · 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，即(a + b > c)，(a + c > b)，(b + c > a)。 · 三角形按边分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 · 等腰三角形：有两边相等的三角形（相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角）。 · 等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 2. 三角形的角 · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于，即在△(ABC)中，。 · 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 三角形外角的性质： · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 · 三角形按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于）的三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（等于）的三角形（夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，直角三角形可用符号“Rt△”表示，直角三角形的两个锐角互余）。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（大于且小于）的三角形。 3. 三角形中的重要线段 · 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（内心到三角形三边的距离相等）。 · 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心（重心到顶点的距离是它到对边中点距离的(2)倍）。 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）。三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心（锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边的高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部）。 型 习 练 题 三角形内角和的应用 1．如图，，，，是的（   ）倍． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．如图为一个简易的“人”字梯，已知，则（　　）． A． B． C． D． 3．在中，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 三角形外角的性质 6．如图中的度数为(   ) A． B． C． D． 7．将两把直尺如图放置，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 8．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 根据三角形中线求值 11．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 13．如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 14．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 三角形三边关系 16．下列长度的线段，能与长度为，的两条线段，首尾相接组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 17．若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 18．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．6米 B．10米 C．20米 D．26米 19．上数学课时，老师让同学们分别将一根长的细铁丝（不会弯曲）剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形，下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 20．现使用两根长度分别为和的直铁丝做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（   ） A．a，b都可以 B．只有可以 C．只有可以 D．a，b都不可以 三角形角平分线 21．如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 22．如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 23．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 24．如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25．如图，折叠一张钝角三角形纸片（是钝角），不能成功折出的是（    ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的高线 直角三角的两个锐角 26．如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $