广东省汕头市金培实验学校2025-2026学年上学期人教版九年级数学月考（三）试题

2025-2026学年度第一学期座号： 九年级数学素养训练（三）测试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 1、 选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分. 1．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（    ） A．是轴对称图形不是中心对称图形 B．是中心对称图形不是轴对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2．下列关于二次函数的说法正确的是（      ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与轴交于正半轴 D．有最大值，最大值为 3．为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长 为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（   ） A．4 B．8 C． D． 4．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种农作物种子，经过两年不断努力地培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 第3题图 第7题图 第8题图 5．若点，，都在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换m，使方程没有实数根的是（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．如图，把△ABC绕着点逆时针旋转100°，得到△DEC，若点恰好在的延长线上，则的度数是（　　　） A．90° B．80° C．70° D．75° 8．如图，△ABC内接于⊙O，是⊙O的直径，，点是△ABC的内心，的延长线交⊙O于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 10．如图，正方形的边长为，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿，向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分. 11．若双曲线的图像经过第一、三象限，则的取值范围是 ． 12．将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ． 13．欧阳修在《卖汕翁》中写道：“（翁）乃取葫芦置于地，以钱覆其口徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．  14．如图，⊙O的直径垂直弦于点E，若，，则弦的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中， OABC的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则 OABC的面积为 ．    第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分. 16．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____；小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (3)用配方法完整解方程 17．如图，在平面直角坐标系中，点A(3，3)，点B(4，0)，点C(0， －1)． (1)以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； (2)求点A经过的路径弧AA′的长(结果保留)． 18．如图，△ABC的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)将△ABC向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分. 19．化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； (1)若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到制取氧气的实验的概率为______； (2)小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 20．（1）课本再现：在⊙O中，是弧AB所对的圆心角，是弧AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若⊙O的半径为2，分别与⊙O相切于点A，B，，求的长． 21．阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． (1)下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O和⊙O外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交⊙O于点； ③作直线和． 直线即为所求作⊙O的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作⊙O的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为⊙M的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在⊙O上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． (2)李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交⊙O于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交⊙O于点M；④作直线，则直线即为过点P所求⊙O的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作⊙O的切线的理由． 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22．在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知△ABC是边长为2的等边三角形． (1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； (2)【探究应用】如图为△ABC内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值． 23．如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与x轴相交于点B，交y轴于点C． （1）求n和k的值； （2）观察函数图像 ，当时，的取值范围是______________； （3） 如图，以为边作菱形，使点F在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接、，求； （4） 若P为坐标轴上一点，请你探索：当以点A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的P点坐标． 25-26上 九年级数学素养训练（三）测试卷 第5页 共6页 25-26上 九年级数学素养训练（三）测试卷 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026第一学期 九年级数学素养训练（三) 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 分 6 答案 B C D A D 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分 11.k>112.y=-2(x-22+3或y=-2x2+8x-5 14.215.) 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分. 16.(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 三 (3)解：二次项系数化为1，得x2+4x-3=0 移项，得x2+4x=3. 配方，得x2+4x+4=3+4,即(x+2)=7 由此，可得x+2=±√万 所以x=V7-2,x2=-V7-2 17.(1)如图所示：△A'B'C是所求的图形； (2）AC=V32+42=5 弧A4'=90 5元=27 180 试题答案 7 8 9 10 B B 13.1 4π (1)解：由图可知点A(7,-4),点B(2,0),点CL,6), :反比例函数y=(x>0)的图象经过点CL,6. 小6 .k=-6, ·这个反比例函数的表达式为y=-6 x (2)解：设yB=c+b,将4(7，.点B2,0,代入得2k+b=0 [7k+b=-4 4 k=- 解得 8 b= (5 48 ·yB= 5 令x=4,y=- 4×488 555 点4》 对于y=-6 8 令y= 5' -86 5x' 解得，x= 4 △ABC平移的距离为4- 151 44 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分 19.(1)解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果 有3种(A、C、D), ·选到实验室制取氧气的实验的概率为3 (2)解：列表如下： A B D A (A,B) （A,C) (A,D) B (B,A (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,D) D （D,A (D,B (D,C) 共有12种等可能的结果，其中两个实验均能制取氧气的结果有：(A,C),（A,D),(C,A, (C,D),(D,A,（D,C),共6种， :两个实验均能制取氧气的概率为 61 2=2 20.解：(1)①如图2，连接C0,并延长C0交⊙0于点D, D c 图2 .OA=OC=0B, ∴.∠A=∠ACO,∠B=∠BCO .'∠AOD=LA+∠ACO=2LACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2LBCO, .∴.∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB, LACB=LAOB: 如图3，连接CO,并延长CO交⊙O于点D, 图3 ·.'OA=OC=OB ∴.∠A=∠ACO,∠B=∠BCO, ,∠AOD=∠A+∠ACO=2LACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO, .∴.∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB LACB=?∠AOB; (2)如图4，连接OA,OB,OP, ⊙ A 0 图4 ,∠C=60° .∴.∠AOB=2∠C=120° PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, L0AP=L0BP=90,∠AP0=∠BP0=3∠APB=;(180°-120）=30， 'OA=2 ∴.OP=2OA=4 .PA=V42-22=2V3 21.(1)解：如图所示 P M 图1 直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)证明：：BC是⊙0的直径，点M在00上， 1 ∴.OM=5BC OD BC. &oM专pD即M为0n的中恩 由作图可知，PD=P0, .PM⊥OM PM为00的切线. 五、解答题（三)：共两小题，第22小题13分，第23小题14分， 22@号 (2)证明：将线段AD绕点A逆时针旋转60得到AE, .AD=AE,∠DAE=60, .∠ADE=∠AED=60°， .∠ADB=120°， ABC是等边三角形 .AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE, .∠BAD=∠CAE, AABD≌AACE(SAS）, .∴.∠ADB=∠AEC=120°， .∠BEC=60, ∠BEC=∠AED=60°， .EB平分LAEC; (3)解：当点D在线段BC上时，△DEC的周长存在最小值，如图 .·△ABD≌△ACE, ∴.CE=BD ∴.△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE, 共27分. ∴.当点D在线段BC上时，△DEC的周长=BC+DE, △DEA为等边三角形， .DE=AD .AD的最小时，△DEC的周长最小，此时AD L BC, .BD-AAD-5DDE. ∴.△DEC的周长的最小值为2+√ 23解：1)由题意可把点44，代入-次函数川--3可得 3 n=。×4-3=3 2 A4,3), .k=3×4=12; (2)的取值范围是y2≤-4或y2>0 (3)过点E作EH⊥AB于点H,过点A作AG⊥x轴于点G,如图所示： B G 由(1)(2)可得B(2,0),A4,3), .AG=3 ,四边形ABFD是菱形 AB=V4-2)2+(3-02=3=BF, Se号4B-EH.5n=A8-EH=BFAG, 5e-amxi店x3 1 2 2 (4)由题意可得C(0,-3),则当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，可分： ①当点P在x轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形，如图所示： P B P 设点P(a,0), 当∠CAP=90°时，根据勾股定理及两点距离公式可得： (4-0)2+3+3)2+(4-a)2+(3-02=(a-0)2+(0+3)2, 解得：a= 2 侣 当∠CP,A=90°时，同理可得P3+2,0: 当∠CRA=90°时，同理可得P(2-3,0: 当∠ACP=90°时， 同理可得月（号0 ②当点P在y轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形 设点P(0,m, 如图所示： 当∠4C=90时，同理可得0智)月 当∠CP。A=90°时， .P。A/x轴， .P,(0,3) 综上所述：当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时， （02-.o2+i.或(0） 点Po,或0号)或