专题03 指数函数与对数函数（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个专题，内容为专题指数函数与对数函数。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03指数函数与对数函数 一、课标解读 1.了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2.了解幂函数，其中的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，}． 3.理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则． 4.理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程． 5.了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 7 对数函数图像 4 （1）题型：集中在选择题填空题，2022-2023年有解答题，近两年未出解答题. （2）分值：4-18分. （3）内容：指数函数、对数函数. 2024 选择题 5 指数函数与对数函数 4 填空题 14 指数函数与对数函数 4 2023 选择题 7 指数函数与对数函数 4 选择题 9 指数函数与对数函数 4 解答题 16 指数函数与对数函数 10 2022 选择题 8 指数函数与对数函数 4 解答题 16 指数函数与对数函数 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有1-2道题目考查指数函数和对数函数，题型为选择或填空，分值各4分，共8分.2025年指数函数对数函数只出了一道题，未来题型可能会更趋向于选择填空。具体考点可能涉及如下内容： · 指数函数的图像和性质 · 对数函数的图像和性质 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶　 函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 1．已知，，则（    ） A．8 B．11 C．12 D．18 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 4．若函数，若，则实数的取值范围是（   ） A        B C        D 5．函数与的图像关于下列哪条直线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 6．已知函数（且）的图像过定点，则（   ） A． B． C． D． 7．设，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D．R 10．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．D 【分析】根据对数的运算性质进行求解. 【详解】因为，，所以， 则， 所以. 故选：D. 2．D 【分析】根据对数的运算以及对数函数的单调性求解即可. 【详解】. 又，，. 故选：D. 3．D 【分析】对数式转化为指数式即可. 【详解】， . 故选：D. 4．C 【分析】由分段函数的表达式知，需要对的正负进行分类讨论，结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，， 当时，，此时， 即，因为，所以函数在上为增函数，则； 当时，，此时， 即，因为，所以函数在上为增函数， 此时，解得，又因为，所以 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C. 5．B 【分析】根据指数函数的图像求解即可. 【详解】作出函数与的图像得，两个函数图像关于轴对称. 故选：B.    6．D 【分析】根据指数函数的性质求出定点进而求解即可. 【详解】因为函数（且）， 令，此时，即， 图像过定点，即，， 所以. 故选：D. 7．D 【分析】利用指数函数的性质计算即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减，所以， ，所以. 故选：D. 8．C 【分析】由解析式列出不等式组求解. 【详解】要使函数有意义，则须满足解得 故该函数的定义域为 故选：C. 9．B 【分析】由指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为在上单调递增， ，可得，解得， 所以解集为. 故选：B. 10．D 【分析】根据题意，结合指数函数、反比例函数的图像和性质，对数的运算及奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】是指数函数，是非奇非偶函数，故选项A不符合题意； 的图像由反比例函数向右平移一个单位得到， 故函数图像不关于原点对称，即不是奇函数，故选项B不符合题意； 因为满足偶函数的定义，是偶函数，不是奇函数，故选项C不符合题意； 函数的定义域是，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，故选项D符合题意. 故选：D. 六、经典例题解析 （一）指数函数 【例1】（2020·湖南对口升学高考）函数，若，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性 【分析】分析函数是偶函数，且在上单调增，从而得到，解之即可得解. 【详解】因为，定义域为， 又，所以是偶函数， 当时，，单调递增， 因为， 所以，则，解得. 所以a的取值范围是. 故选：B. 【例2】（2023·湖南对口升学高考）已知函数 ，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将自变量代入可求函数解析式，然后解指数不等式即可. 【详解】已知函数 ，且满足， 则有， 所以函数解析式为， 令， 故不等式的解集是， 故选：C （2） 对数函数 【例3】（2020·湖南对口升学高考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据对数函数定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以即. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【例4】（2021·湖南对口升学高考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意可得，， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【例5】（2022·湖南对口升学高考）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【详解】（1）由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. （2）若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 【例6】（2023·湖南对口升学高考）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C. 【例7】（2024·湖南对口升学高考）已知函数，若，且，则 【答案】1 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 【例8】（2025·湖南对口升学高考）函数与的图像（    ） A. 关于x 轴对称 B.关于y轴对称 C. 关于原点对称 D.关于直线称 【答案】A​ 【分析】用对数函数的性质、图像结合判断图像对称性 【详解】，所以图像关于x轴对称 （3） 指对幂函数结合 【例9】（2022·湖南对口升学高考）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】∵指数函数底数，为减函数， 且， ∴， ∵底数，为增函数，且， ∴， 故， 即， 【例10】（2024·湖南对口升学高考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 2. 解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解得漏解 未考虑真数 先写定义域再求解 底数分类错误 解未讨论 或 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简误为 未用公式 弄清对数运算法则与换底公式条件 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 运算条件反射：每日5题指数/对数混合运算（强化公式变形能力） 图象思维渗透：解方程/不等式必画草图辅助分析 2、高频考向精炼：比大小 3、真题演练方向： 近三年高考题中指对数运算，比较大小，求解指对数不等式，求解指对数方程。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $