数学期末复习讲义（不等式）-2025-2026学年高一上学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—不等式 核心考点 复习目标 考情规律 比较大小 会利用作差法比较两个数或代数式的大小 基础考点，常与其他知识结合，常出现在选择题、填空题 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小 高频易错点，常出现在选择题、填空题中，常因忽略正数的同向不等式的乘性导致求解错误 区间 能用区间表示数集 基础考点，出现在各种题型中，一般不单独考查，常与集合运算、解不等式结合 一元二次不等式 会解一元二次不等式；能根据已知条件求一元二次不等式的参数 重点考点，各种题型均有可能，常与求函数定义域结合；有将分式不等式转化成一元二次不等式求解题型 含绝对值的不等式 会利用去绝对值号法则解含绝对值的不等式 重点考点，各种题型均有可能，重点在于正解去掉绝对值号 不等式应用举例 利用不等式解决生活和生产实践中问题 难点考点，常出现在解答题中，把实际问题转化成二次不等式、绝对值不等式求解 第二章 不等式 知识点1 比较大小 1. 实数的大小性质 依据 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定它们的差a-b和0的大小关系 2. 作差法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 知识点2 不等式的性质 性质 性质内容 对称性 a>b⇔b<a 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向可加性 a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d 同向同正可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 可乘方性 a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2) 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 知识点3 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点4 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2 (x1<x2) 有_两相等__实根 x1＝x2＝－ _没有__ 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R 且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 知识点5 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 知识点6 绝对值不等式的解法 1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R 2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 一、单选题 1．（23-24高三上·广东深圳·期末）下列结论正确的是（  ）. A．若 ，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·全国·课前预习）在实数，，0，，中，最大的一个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·河北·专题练习）设集合，集合，则(      ) A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2025高三·河北·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·河北·专题练习）一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·河北·专题练习）不等式的解集是 （    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·重庆·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·浙江台州·期末）苹果的进价是每千克2元，销售中估计有5%的损耗，商家至少要把每千克苹果的价格定为元才能不亏本，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 答案 1．B 【分析】根据不等式的性质和特殊值代入法，逐一分析求解即可. 【详解】对于选项A：若，当时，；当时，，故A错误； 对于选项B：若，则一定有，故B正确； 对于选项C：若，当时，；当时，，故C错误； 对于选项D：当时，满足，但，故D错误. 故选：B. 2．C 【分析】将实数进行大小排序即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 故实数中最大的数是， 故选：C． 3．A 【分析】根据题意，结合区间的运算，即可求解. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 4．A 【分析】根据题意解不等式组即可得解. 【详解】不等式组， 解得， 在数轴上表示为  ， 故选：. 5．B 【分析】根据作差法比较大小即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 6．D 【分析】根据题意结合作差法比较大小即可得解. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：. 7．A 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 8．A 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，所以， 解得，所以不等式的解集是. 故选：A. 9．A 【分析】根据分式不等式的解法，即可求解. 【详解】将分式不等式转化为整式不等式得： ； 用区间表示为，因此A项正确； 故选：A. 10．B 【分析】设购进了千克苹果，根据题意列出不等式即可得解. 【详解】设购进了千克苹果， 由题意可知，为了不亏本，则，整理得， 故选：. 题型一 不等式性质的应用 【典例1】（25-26高三上·四川·一模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以，， 所以，即，故选项A不成立； 对于选项B，因为，所以，故选项B不成立； 对于选项C，当时，，所以，当时，， 又因为，所以，故选项C不一定成立； 对于选项D，因为函数是单调递增函数， 又，所以，故选项D成立. 故选：D. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）设，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作差法比较代数式的大小即可. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如果，那么（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·河北·专题练习）设，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 答案 1、【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质的即可解答. 【详解】如果，则， 又，所以， 故选：B. 2、【答案】A 【分析】根据题意，利用作差法，即可比较大小． 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：A. 题型二 一次不等式（组） 【典例】（24-25高一下·广东佛山·月考）一元一次不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据一元一次方程组的解法即可求解. 【详解】 解不等式组得. 即不等式组的解集为. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集． 2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决． 3. 解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式】（2026高三·四川·专题练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   答案 【答案】C 【分析】解一元一次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 数轴表示为， 故选：. 题型三 一元二次不等式（不含参） 【典例1】（24-25高一上·广东中山·期末）不等式的解集是（     ） A．全体实数 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式的解集为. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式即， 则，解得， 故不等式解集为：. 故选：C. 【典例3】（21-22高一上·浙江金华·期末）不等式的解集是（   ） A． B．R C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，，即，解得； 则不等式的解集是； 故选：C. 解｜题｜技｜巧 解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 【变式1】（24-25高三上·山西吕梁·期末）不等式的解集（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·广东梅州·期末）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得或， 所以解集为， 故选：. 2、【答案】D 【分析】先根据算术平方根底数为非负和分母不为零，列出关于的不等式组，解之即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 因此函数的定义域是， 故选：D. 题型四 一元二次不等式（含参） 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，即， 又，所以或， 即不等式的解集为. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·江苏·期末）一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集结合一元二次方程根与系数的关系即可解得. 【详解】由题可知，题中一元二次方程的解集为， 则的两根分别为， 故，解得， 则. 故选：D 解｜题｜技｜巧 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： ①一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． ②由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数． 【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·安徽·专题练习）不等式的解集为则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 答案 1、【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据已知条件判断出和的大小即可． 【详解】因为，所以， 的两个根为和， 所以不等式的解集为． 故选：A． 2、【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系及根与系数关系即可求解. 【详解】因为解集为，所以为方程的两根， 由根与系数关系可得，所以， 则，所以，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型五 分式不等式 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，移项得， 即，等价于且， 解得，所以原不等式的解集为. 故选：B. 【典例2】（22-23高一下·广东梅州·期末）不等式 的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可解得. 【详解】由题，不等式， 则，解得， 即不等式解集为. 故选：B 解｜题｜技｜巧 解题步骤： 1. 移项通分：将不等式一端化为零，另一端通分为一个分式。 2. 化为标准形式：得到形如g(x)/f(x)​>0（或其他不等号）的形式。 3. 转化为整式不等式：考虑分子分母同号或异号。 4. 考虑定义域：分母不能为零，需排除使分母为零的点。 解整式不等式：通常通过根轴法（穿针引线法）求解。 【变式1】（23-24高三上·陕西宝鸡·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25高一上·四川自贡·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】解分式不等式易得答案. 【详解】不等式， 当时，，所以无解， 当时，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2、【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可得解. 【详解】将不等式转化为， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 题型六 绝对值不等式的解法 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，所以或， 解得或，即不等式的解集为或. 故选：B. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 解题步骤： 1.识别形式，判断是“小于”还是“大于”。 2.直接套用基础公式。 3.解出简化后的不等式。 【变式1】（2025高三·河北·专题练习）不等式的整数解的个数为 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2025高三·河北·专题练习）不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，所以， 解得，即不等式的解集是， 故整数解有共有3个. 故选：B. 2、【答案】D 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】解， ，解得； ，解得或； 所以不等式的解集为. 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $