精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

哈九中2025-2026学年度高一上学期 12月份考试 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 弧度的角的终边在第几象限？（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数（，且）的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（ ） A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 当时，不等式恒成立，则a取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数 ​，若​，则​的最小值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 8. 已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B. 若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C. 点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q坐标为 D. 的值是正数 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 11. 设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 三、填空题：本题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，则______． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______． 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值． （2）已知，求的值． 16. 已知关于x的二次方程. （1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； （2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围. 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 18. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（） （1）每台充电桩第几年年末开始获利； （2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大. 19. 已知定义在上的函数，，． （1）当时，求的零点； （2）若对，，不等式总成立，求实数a的取值范围； （3）若的最大值为，求的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025-2026学年度高一上学期 12月份考试 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 弧度的角的终边在第几象限？（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据负角或象限角的定义判断. 【详解】因为负角是按顺时针方向旋转所形成的角， 所以角是以轴的非负半轴为始边，绕原点旋转所得到的角， 所以终边落在第四象限. 故选：D. 2. 函数（，且）的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象经过定点求解. 【详解】因为对数函数（，且）图象经过定点， 所以函数（，且）的图象经过定点. 故选：A 3. 函数的零点个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域为，根据函数零点与方程的关系，令，解方程再配合函数的定义域即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 令，可化为，即， 解得或， 又，则， 所以函数的零点个数为. 故选：B. 4. 把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（ ） A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数解析式，根据指数函数和对数函数互为反函数即可得到其图象关于直线对称. 【详解】由题意知，.因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，所以的图像与函数的图像关于直线对称. 故选：D. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A. 故选：A. 6. 当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上的图象位于的图象的下方，画出和的图象，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设，其中， 要使得当时，不等式恒成立， 只需在上的图象位于的图象的下方， 如图所示，画出函数和的图象， 当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去； 当时，只需，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 7. 设函数 ​，若​，则​的最小值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求. 【详解】因为数， 若 所以，即 ， 所以， 当且仅当时取等号. 故选：A 8. 已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，可得，且，进而可得恒成立，求出的最大值，进而得到实数k的最小值． 【详解】函数的图象如图所示：    当方程有四个不等实根时， ，即， ，即， 且， 若不等式恒成立， 则恒成立， 由 ，当且仅当时等号成立 故， 故实数k的最小值为， 故选：C． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B. 若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C. 点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 D. 的值是正数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据终边相同角及象限角可判断A；由扇形的面积公式结合二次函数最值可判断B；根据任意角的三角函数的定义可判断C；根据各象限角的三角函数符号可判断D. 【详解】对于A，∵与120°角的终边关于x轴对称，∴则与的终边在同一条直线，∴是第二或第四象限角，故A正确； 对于B，设扇形的半径为弧长为，由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，.故B不正确； 对于C，设，依题意可知，且Q在第一象限.所以，故C正确； 对于D，是第二象限角，，故D不正确. 故选：AC 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D正确； 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件判断出是周期函数，根据周期性和奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的定义域为的偶函数，， 是奇函数，，用替换，得， 又函数为偶函数，，， 再用替换，得，，的周期为， ，令，得，，故A正确； 根据已知条件无法判断的单调性，故B错误； ，， ，由，令，得， ，，故C正确； 由，令，得；令，得，即一个周期内， 即， ，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数在上单调递减，可得函数在上单调递增，则所求问题可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以可化为， 因为， 所以或， 因为函数在上单调递增， 所以或， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可. 【详解】因为， 所以①当时，，此时， 因为，当，即时，， 当时，时，， 即. ②当时，，此时. 因为，当时，即时，； 当时，即时，； 即. 综上，. 时，令，解得，此时有一个零点； 时，，此时无零点； 时，令，解得，此时有一个零点； 时，令，解得，此时有一个零点. 所以共有3个零点. 故答案为：3. 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数的运算法则计算求值. （2）利用弦化切求齐次式的值. 【详解】（1）原式. （2）因. 16. 已知关于x的二次方程. （1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； （2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)把方程根的问题转化为抛物线与轴的交点问题，根据题意画出图像，判断函数值得符号即可； （2）和第一问的方法一样，数形结合，但要考虑对称轴在区间的情况，避免漏解. 【详解】解：（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得 ，故. （2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组 ， 于是有. 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，的最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域为，得到对恒成立，结合二次函数图象得到，解不等式即可得到答案； （2）令，结合对数函数的单调性，将的最小值为转化为的最小值为，即可求出； （3）利用对数函数的单调性，将不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【小问1详解】 对于函数，要使其定义域为，则对恒成立， 令，函数的图象开口向上，若对恒成立， 则，解得， 则实数的范围为. 【小问2详解】 当时，， 令， 因为在上单调递增，的最小值为3， 则的最小值为， 则，解得， 所以实数的值为. 【小问3详解】 当，时，， 不等式可化为，即 因为函数在上单调递减， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 18. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（） （1）每台充电桩第几年年末开始获利； （2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大. 【答案】（1）第年； （2）第年. 【解析】 【分析】（1）构造二次函数模型，由二次函数解得结果； （2）由（1）知年平均利润，结合对勾函数单调性，验证可知，由此可得结果. 【小问1详解】 设每台充电桩在第年年末的利润为， 则， 令，解得：，又，， ，每台充电桩从第年年末开始获利； 【小问2详解】 设为每台充电桩在第年年末的年平均利润， 则； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，，， 每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大. 19. 已知定义在上的函数，，． （1）当时，求的零点； （2）若对，，不等式总成立，求实数a的取值范围； （3）若的最大值为，求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性，可求得函数的值域，根据二次函数的性质以及零点的定义，建立方程，可得答案； （2）整理不等式，利用复合函数的单调性求得函数的最值，利用分类讨论，根据二次函数性质，求得函数的最值，建立不等式，可得答案； （3）利用换元法整理复合函数，根据分类讨论思想，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由函数在上单调递增，且，，则. 由，则，令，解得或. 令，即，解得. 所以函数的零点为. 【小问2详解】 易知不等式等价于， 由函数在上单调递增，且，，则. 由函数在上单调递增，则该函数在上的最大值为. 由的对称轴为直线，则 当，即时，函数在上的最小值为， 令，解得，故； 当，即时，函数在上的最小值为，不合题意； 当，即时，函数在上的最小值为， 令，解得，不合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 令，则. 当，即时，在上的最大值为； 当，即时，在上的最大值为. 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $